英文歌曲歌词-每月工作总结

2021年1月29日发(作者：我是山姆插曲)
--
高二《数列》专题

1
．
S
n
与< br>a
n
的关系：
a
n


(
n

1)


S
1
,
已知
S
n
求
a
n
，应分
n

1
时
a
1


;
n

2
时
,
a
n
=



S
n

S
n

1
(
n

1)
两步，最后考虑
a
1
是否满足后面的a
n
.
2
．等差等比数列


定义

等差数列

等比数列

a
n

a
n

1

d
(
n

2
）

a
n

a
1

(
n

1
)
d
,
a
n

a
m

(
n

m
)
d
,(
n

m
)

a
n

1

q
(
n

N
*
)

a
n


















，










如果
a
,
G
,
b
成等比数列，那么
G
叫做
a
与
通项

如果
a
,
A
,
b
成等差数列，那么
A叫做
a
与
b
的
等差中
中项

a

b
项
.
A

。

2
等差中项的设法：



















n
(
n

1
)
n
(
a
1

a
n
)
，
S
n

na
1

d

2
2
b
的
等比中项
．

















等比中项的设法
:
a
，
a
，
aq

q
前
n
项和

性

质



S
n




























若
若
m

n

p

q
，则















a
m

a
n

a
p

a
q
(
m
,
n
,
p
,
q

N
*
,
m

n

p

q
)
2
m

p

q
,
则
















S
n
、
S
2
n

S
n
、
S
3
n

S
2
n
为等差数列< br>
若
2
m

p

q
,
则有
a
2
m

a
p

a
q
, (
p
,
q
,
n
,
m

N
*
)

S
n
、
S
2
n

S
n
、
S
3
n

S
2
n
为等比数列

函数
看数
列

a
n

dn

(
a
1

d
)

An< br>
B

d
2
2
d
2
s
n< br>
n

(
a
1

)
n
< br>An

Bn
2
2
a
n

a
1
n
q

Aq
n
q

a
1
a
1
n
s
n


q

A

Aq
n
(
q

1)
1

q< br>1

q
a
n

1
(
n
< br>N
*
)
为一个常数

a
n

an

1

a
n

1
(
n
N
*
,
n

2)


cq
n
(
c
,
q
均是不为
0
常数
)
为
常
数
，
*
（
1
）定义法：证明
a
n

1

a
n
(
n

N
)
为一个常数；

*
(2
）等差中项
:
证明
2
a
n

a
n

1

a
n

1
(
n

N
,
n

2
)


(
１
)
定义法：证明
判定
方法

(2）中项
:
证明
a
n
2
*
（
3
）通项公式：
a
n

kn

b
(
k
,
b
为常数
)(
n

N
)
2
*
（４
)
s
n

An

Bn
(< br>A
,
B
为常数）
(
n

N
）

(3
）
通项公式：
a
n
(
４
）
s
n

Aq
n

A
(
A
,q

A

0,q

0,1
）
3.数列通项公式求法。
(
1)
定义法（利用等差、等比数列的定义
)
；
（
2
）累加法

--
--
(
n< br>
1)

a
n

1

S
1

c
n
型
);(4)
利用公式
a
n


；
(5)
构造法
(
a
n

1

ka
n

b
型）
(6)
倒数
a
n


S
n

S
n

1
(
n

1)
（
3)
累乘法
（
法

等

4
．数列求和

（
1)
公式法；
(2)
分组求和法
;(3
）错位相减法
;
（４)
裂项求和法；
（
5
）倒序相加法。

5
．

S
n

的最值问题
:
在等 差数列

a
n

中，有关
S
n

的最值问题——常用邻项变号法求解
:


(1)
当a
1

0
,
d

0

时
,
满足


a
m

0



的项数ｍ使得
S
m
取最大值
.
a< br>
0

m

1
(2)
当

a
1

0
,
d

0
时，满足
< br>
a
m

0

的项数ｍ使得
S
m
取最小值。

a

0< br>
m

1
也可以直接表示
S
n
，利用二次函 数配方求最值。在解含绝对值的数列最值问题时
,
注意转化思想
的应用。

6.
数列的实际应用



现实生活中涉及到银行利率、 企业股金、产品利润、人口增长、工作效率、图形面积、等实际问题
,
常
考虑用数列的 知识来解决
.

训练题

一、选择题

1.已知等差数列

a
n

的前三项依次为
a
< br>1
、
a

1
、
2
a

3< br>,
则２０
11
是这个数列的

(
ﻩ
B

)
A.
第
10
０６项
ﻩ
ﻩ



ﻩ
B
．第
1007
项












C
．

第
1008
项










D.
第
1
００
9
项

2.
在等比数列
{
a
n
}
中，
a
6

a
5

a
7

a
5

48
,
则S
10
等于












（
A


）

A
．
102
３









B
．
1024









C
．
511










D
．５１２

3.
若< br>{
ａ
n
｝为等差数列，且
a
7
-2
a
4
＝
-1
，
a
３
=
０
,
则公差
d
＝

Ａ
.-2

B
．
-
错误
!












C.
错误
!





D.2
(

)
由等差中项的定义结合已知条件可知
2
a
4
=
ａ
5
+
a
３
，∴
2
d＝
a
7
－
a
5
=-1
，即
d
=-
错误
!
．故选Ｂ
.

4.
已知等差数列{
a
ｎ
}
的公差为正数，且
a
3
·
a
7
＝－
12,
a
4
+
a
6
=－
4,
则
S
20
为
(


Ａ


)
A.180
ﻩ
ﻩ
ﻩ

ﻩ

ﻩ
ﻩ
ﻩ



B
．
-
１８
0
C.
９
0
ﻩﻩﻩﻩ


ﻩﻩﻩ
Ｄ．
-90
５
.(
20
１
0青岛市
)
已知

a
n

为等差数列
,
若
a
1

a
5

a
9


,
则
cos(
a
2

a
8)
的值为（




A



）


ﻩ
A
．

1







2
Ｂ．

3
3
1







C.








ﻩ
D
．

2
2
2
6.
在等比数列
{
ａ
n
}
中
,
若
a
3
a
5
a
7
a
9
a
1 1
=
２
43
，则
错误
!
的值为
ﻩ
（


)
A.
９







B
．
1









C.
２











Ｄ．
3
解析

由等比数列性质可知
a
3
ａ
5
a
７
ａ
9
a
1
１
＝
a
错误
!
=
２
43
，所以得
a
7
＝
3
，又
错误
!
=
错误
!
=
ａ< br>７
,
故
选
D.
--
--
7
． 已知等差数列
{
ａ
n
}
的前
n
项和为
S< br>ｎ
，
a
1
+
a
5
=
错误
!
S
５
，且
a
9
=20,
则
S
11
＝
(


)
Ａ
.26
０



C
．
130


B.2
２０

D
．
1
１０

解析

∵
Ｓ
5
=
＼
ｆ
(
a
1
+
a
５
,
2
）
×
５
,
又∵
错误
!
S
５
=
a
1
+ａ
5
,
∴
a
1
+
ａ
5
=0.
∴
ａ
３
=
０
,
∴
Ｓ
11
＝
错误
!
×
11=
错误
!
×
11
＝
错误
!
×
11=
１
10,
故选Ｄ．
< br>８各项均不为零的等差数列
{
a
n
}
中，若
a
错误
!
-
a
n
－
1
－
a
n＋
1
=0(
n
∈
N
*
,
n
≥ ２）
，则
S
2

０
09
等于

A
．
0

ﻩ
Ｂ．２

C.2 009


D
．
4 018
解析

各项均不为 零的等差数列
｛
ａ
n
}
，
由于
a
错误!
－
a
ｎ
－
1
-
ａ
n
+1< br>＝
0
（
n
∈
N
*
,
ｎ
≥< br>2)
，
则
a
错误
!
-2
a
n
=0
，
a
ｎ
＝２
,
S
2 009
=
４

０１８
,
故选
D.
９．数 列｛
ａ
ｎ
}
是等比数列且
a
n
＞０，
a< br>2
ａ
4
＋
2
a
３
ａ
5
＋< br>a
４
a
6
=25,
那么
a
３
＋ａ
５
的值等于

Ａ．
5


C
．
15

ﻩ
Ｄ．
20
解析

由于
a
2
a
4
＝
a
错误
!
，
ａ
4
a
6
=
ａ
错误
!
,所以
a
2
·
a
4
+2
a
3
·
a
5
＋
a
4
·
ａ
６
=
a
错误
!
＋
2
a
3
a
5
＋
a
错误
!
=(
a
3
+
a
5
）2
=2
５
.
所以
a
３
+
ａ
5
＝
±
５．又
ａ
ｎ
>0,
所以
a
3
＋
a
5
=5
．所以选
A.
10.
首项为１，公差不为０的等差数列
{
a
ｎ
｝中，
a
３< br>,
ａ
４
,
ａ
6
是一个等比数列的前三项
,< br>则这个
等比数列的第四项是
ﻩ

A.8


Ｃ
.
－
6


答案

B
解析

a
错误
!
=
a
3
·
a
6
⇒
(
１
+3
d
)
2
＝(1
＋２
d
)·
(1
＋
5
d
) ⇒
d
(
d
＋
1)
＝
0
⇒
ｄ< br>＝－
1
，∴
a
3
＝－
1
，
ａ
４
=-2
，∴
q
=
２
.
∴
a
6
=
ａ
4
·
q
＝
-4
，第四项为
a
6
·
q
=
－
8.

1
１
.
在△
AB
Ｃ
中，
tan
Ａ
是以
-４为第三项
,
４为第七项的等差数列的公差，
t
ａ
n
B
是以
的等比数列的公比，则这个三角形是
(
B



）

A.
钝角三角形

ﻩ
ﻩﻩﻩﻩﻩ
B.
锐角三角形

C
．等腰三角形



ﻩﻩﻩﻩ
D
．非等腰的直角三角形

12
、
（２０
09
澄海
)
记等差数列

a
n

的前项和为
s
n
，若
s
3

s
10
,
且公差
不为
0
，则当
s
n
取最大值时
,
n

（

）
Ｃ

A.
４或
5



B
．
5
或
6
ﻩ




Ｃ
.6
或７
ﻩ
ﻩ


D
．
7
或８

Ｂ．１
0
(

）

B
．
-8
Ｄ
.
不确定

1
为第三项
,9
为第六项
3
--
--
１３．
在等差数列
{
ａ
n
}
中
,
前
n
项和为
S
n
，
且
S
2 011
＝
-2
０１１，
a
1 007
＝３，
则
S
2 012
的值为
ﻩﻩ
(


)
Ａ．
1 006


ﻩ
B
．
-2 012
C
．
2
０１
2



D
．－
1 006
答案

C
解析

方法一

设等差数列的首项为
a
１
，公差为
d，根据题意可得，

错误
!

即
错误
!
解得
错误
!

所以，
S
2 012
=2
０
12
a
１
＋
错误
!
ｄ



=2
０
1
２
×
（－
4 0
２
1)+2 012
×
2 0
１
1
×
2


=2 0
１２
×
（
4

０
22
－
4

021)
＝
20
１
2.
２

011

a
１
＋
a
2 0
１
1

方法二

由
S
2 011
＝
＝
2 0
１
1
ａ
1
０
06
=-2 0
１１
,
解得
ａ
1 0
０６
＝
-1
，则

2
2

012

ａ
1
＋
a
2 01
２

S
2 0
１
2
＝
=
错误
!
=
错误
!
=
２

0
１
2.

２
１
4.
设函数
f< br>（
x
)
满足
ｆ
(
n
+
１
)
＝
错误
!
(
n
∈
Ｎ
＊
),
且
f
（
1)=2,
则
ｆ
(
２
0
）＝
(
Ｂ

)
A.95


C.105


B.9
７

D
．
19
２


解析

f
（
n
＋１
)=
ｆ
（
n
)+
错误
!
,
∴
错误
!

累加
,
得
f(20)
＝
f
（
1
）＋
(
错误
!+
错误
!
+
…
+
错误
!
)=
f
(1)+
错误
!
=97.
15.
已知数列
< br>a
n

的前
n
项和
S
n
满足
log
（
2
S
n

1
)

n< br>
1
，则通项公式为
(B



）

n
*
A
．
a
n

2
(
n

N
)





















B.
a
n


n


2
(
n

2
)


3
(
n

1
)
n

1
*
C.
a
n

2
(
n

N
)



















D.
以上都不正确


１
6
．一种细胞每
3
分 钟分裂一次
,
一个分裂成两个，如果把一个这种细胞放入某个容器内
,
恰好一 小时充满
该容器
,
如果开始把
2
个这种细胞放入该容器内，则细胞充 满该容器的时间为

（


D

）

Ａ
.15
分钟
ﻩ





B
．３
0
分钟






C
．
4
５分钟
ﻩ



D.
５
7
分钟


二、填空题

1
、等差数列｛
a
n
}
的前
n
项和为
S< br>n
，若
a
2
＝１，
a
3
=3
，则< br>S
4
=




８
.

2
．
(
２００８·广东理
,
２
)
记等差数列
{
ａ
n
}
的前
n
项和为
S
n
,
若
a
1
=
,
S< br>4
=20
，则
Ｓ
6
=
.

４
8
３
.
．
(20
１
0
广州一 模
).
在等比数列

a
n

中
,
a
1

1
,
公比
q

2
，若a
n

64
，则
n
的值为








.7
4
．
（２
008
·海南、宁夏理
,
４）设等比数列
{
a
n
}
的公比
q
=2
，前
n
项和为
Ｓn
,
则
S
4
15
=
.


a
2
2
1
2
--
--
5< br>．等差数列
{
a
n
}
，
{
b
n}
的前
n
项和分别为
S
n
和
T
n，若
错误
!
＝
错误
!
,
则
错误
!
＝
________.
答案

＼
f
（
1
９
9
,
2
９９
)








解析

错误
!
=
错误
!
=
错误
!
=
错误
!

６、数列

a
n

的前
n
项和记为
S
n
,
a
1

1
,
a
n

1

2
S
n

1

n

1

则

a
n

的通项公式





解
:
（Ⅰ）由
a
n

1

2
S
n

1
可得
a
n

2
S
n

1
1

n

2

，两式相减得
a
n
1

a
n

2
a
n
,a
n

1

3
a
n

n
2


n

1
又
a
2
2
S
1

1

3

∴
a
2

3
a
1



故

a
n

是首项为
1
,
公比为
3
得等比数列



∴
a
n

3

7.
已知各项都为正数的等 比数列
{
a
n
}
中，
ａ
2
·
ａ< br>4
=4
，
ａ
１
＋
a
2
＋
a
3
＝１４，则满足
a
n
·
a
ｎ
+1
·
a
n
+2
>
错误
!
的最大正整数
ｎ< br>的值为＿
_______.
答案

4
解析

设等比数列
{
a
n
}
的公比为
q
，其中
q
＞
0
，依题意得
a
错误
!
=
a
2
·
a
4
＝
4.
又
a
3
>
０，因此
a
３
＝
a
1
ｑ
2
＝２，
a
1
＋
ａ
２
＝
a
１
＋
a
1
q
=12,
由此解得
q
＝
＼
f(
１< br>,
２
)
，
a
1
=8,
a
ｎ
＝８
×
(
＼
ｆ
(
１
，
2
））1
＝２
4
－
n
，
a
n
·
a< br>n
+1
·
a
n
＋
2
＝
2
9
－
3
ｎ
.
由于
2
-3
=
8
>
错误
!
，因此要使
2
9-3
n
>
错误
!
，只要９－
3
n
≥
－３，即
n
-11
n
≤
４，于是满足
a
n
·
a
ｎ+
１
·
a
ｎ
+2
>
9
的最大正整数< br>n
的值为
4.
8
．等比数列
{
a
n
｝的首项为
ａ
1
=
１
,
前
ｎ
项和为Ｓ
n
,
若
＼
f
（
S
10
,< br>Ｓ
5
)=
错误
!
,
则公比
ｑ
等于< br>___
＿
____.
1
S
10
31
答案

－
2

解析

因为
S
＝
32
，所以
错误
!
=
错误
!
=-
错误
!
，即
q
5
＝
(-
错误
!
)
5
,
所以
q＝－
错误
!
.

5
三、解答题

１< br>(2010
山东理数）
（
18
）
（本小题满分
12< br>分）

已知等差数列

a
n

满足：
a
3

7
,
a
5

a
7

26
,

a
n

的前
ｎ
项和 为
S
n
．

(
Ⅰ
)
求
a
n
及
S
n
;


(
Ⅱ）令
bｎ
=
1
（
n

Ｎ
*
),
求数 列

b
n

的前
n
项和
T
n.
2
a
n

1
1
【解析】
（Ⅰ)
设等差数列

a
n

的公差为
d
， 因为
a
3

7
,
a
5

a
7

26
,
所以有


a
1

2
d

7
，解得
a
1

3,d

2
，



2
a
1
10
d

26
2
n

1)=2n+ 1
；
S
n
=
3n+
所以
a
n
< br>3

（
（Ⅱ）由（Ⅰ
)
知
a
n
< br>2n+1
,
所以
b
n
＝
n(n-1)
2
=
n
2
+2n
。

2
1
1
1
1
1
1
1
=


(
-
)
,
=
=
2
2
a
n

1
（
2n+1)

1
4
n(n+1)
4
n
n+1
--

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