数列求通项与求和常用方法归纳+针对性练习题
温柔似野鬼°
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2021年01月29日 00:05
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数列通项与求和常见方法归纳
一、知能要点
1
、求通项公式的方法：
(1)
观察法：
找项 与项数的关系，
然后猜想检验，
即得
通项公式
a
n
；
(2)
利
用
前
n
项
和
与
通< br>项
的
关
系
S
1
a
n< br>＝
S
n
－
S
n
－< br>1
n
＝
1
，
n
≥2
；
(3)
公式法：利用等差
(
比
)
数列求通项公式；
a
n
＋
1
(4)
累加法：
如
a
n
＋
1
－
a
n
＝
f
(
n
)
，
累积法，
如
a
＝
f
(n
)
；
n
(5)
转化法：
a
n＋
1
＝
Aa
n
＋
B
(
A
≠0
，且
A
≠1)
．
2
、求和常用的方法：
(1)
公式法：
①
S
②
n
n
(
a
1
a
n
)
n
(
n
1
)
na
1
d
2
2
na
1
(
q
1
)
S
n
a
1
(
1
q
n
)
(
q
1
)
1
q
(2)
裂项求和：将数 列的通项分成两个式子的代数差，
即，然后累加时抵消中间的许多项
.
应掌握以下常见
的裂项：
1
1
①
n< br>(
n
1
1)
n
n
1
1
1
1
(
)
②
n
(
n
1
k
)
k
n
n
k
1
1
(
);
③
k
1
k
1
1
1
2
k
1
k
1
2
2
1
1
1
1
1
1
1
2
k
k
1
(
k
1)
k
k
(
k
1)
k
k
1
k
1
1
1
1
[
]
④
n
(
n
1)(
n
2)
2n
(
n
1)
(
n
1)(
n
2)
⑤
2(
n
1
n)
2
n
n
1
1n
2
n
n
1
2(< br>n
n
1)
(3)
错位相减法：
如果数列的通项是由一个等差数列的
通项与一个等比数列的通项相乘构成，
那么常选用错位相减法
(
这也是等比数列前
n
项和公式的推导方
法
) .
(4)
倒序相加法：
若和式中到首尾距离相等的两项和有
其共性 ，
则常可考虑选用倒序相加法，
发挥其共性的
作用求和
(
这是等差数 列前
n
项和公式的推导方法
) .
(5)
分组求和法：< br>在直接运用公式法求和有困难时，
常
将
“
和式
”
中< br>“
同类项
”
先合并在一起，再运用公式法求
和
.
二、知能运用典型例题
n
1
考点
1
：求数列的通项
[
题型
1]
a
n
1
an
f
(
n
)
解法：
把原递推公式转化为
a
差相加法
)
求解。
a
n
f
(
n
)
，
利 用累加法
(
逐
【例
1
】已知数列
a
< br>满足
a
1
，
a
2
n
1
n
1
a
n
1
n
2
n
，求
a
。
n
解：由条件知：
a
n
1
a
n
1
1
1
1
n
2
n
n
(
n
1
)
n
n
1
分别令< br>n
1
,
2
,
3
,
< br>
,
(
n
1
)
， 代入上式得
(
n
1
)
个等式累加之，即
(
a
2
a
1
)
(
a
3
a
2
)
(
a
4
a
3
)
(
a
n
a
n
1
)
1
1
1
1
1
1
1
(
1
)
(
)
(
)
(
)
2
2
3
3
4
n
1
n
所以
a
a
1
1
2
n
a
1
1
1
n
，
a
n
1
1
3
1
1
2
n
2
n
[
题型< br>2]
a
n
1
f
(
n
)
a
n
解法：把原递推公式转化为
a
a
商相乘法
)
求解。
n
1
n
f
(
n
)
， 利用累乘法
(
逐
2
【例
2
】已知数列
a
满足
a
3
，
a
n
1
n
1
n
a
n
n
1
，求
a
。
n
解：由条件知
a
a
(
n
1
)
n
1
n
n
n
1
，分别令
n
1
,
2
,
3
,
,
(
n
1
)
，代入上式得
个等式累乘之，即
又
a
1
a
a
a
2
a
3
a
4
1
1
2
3
n
1
n
•
•
•
•
n
a
1
n
a
1
a
2
a
3
a
n
1
2
3
4
n
2
3
，
a
n
2
3
n
[
题型
3]
a
n
1
pa
n
q
(
其中
p
，
q
均为 常数，且
pq
(
p
1
)
0
)
。
n
1
t
p
(
a
n
t
)
解法
(
待定系数法
)
：转化为：
a
，其中
t
1
q
p
，
再利用换元法转化为等比数列求解。
【例
3
】已知数 列
a
中，
a
1
，
a
n
1
n
1
2
a
n
3
，求
a
。
n
n
1
解：
设
递
推
公
式
a
a
n
1
2
a
n
t
t
3
n
1
2
a
n
3
可
以
转
化
为
a
n
1
t
2
(
a
n
t
)即
.
故
递
推
公
式
为
a
n
3
2
(
a
n
3)
,
令
b
n
a
n
3，
则
b
1
a
1
3
4
,
且
b
b
n
1
a
n
1
3
2
a
n
3.
所以
b
是以
b
4
为 首项，
2
为公比
n
1
的等比数列，则
b
[
题型
4]
a
n
1
pa
n
q
n
n
4
2
n
1
2
n
1
,
所以
a
n
2
n
1
3
.
(
其中
p
，
q
均为常数，
且
pq
(
p
1
)(
q
1
)
0
)。
,
其中
p
，
q,
r
均为常数
)
。
(
或
a
n
1
pa
n
rq
n
解法：
一般地，
要先在原 递推公式两边同除以
q
，
得：
n
1
a
n
1
n
n
q
n
1
p
q
•
a
q
n
1
q
引入辅助数列
b
n
(
其中
b
n
a
q
n
)
，
得：
b
p
1
n
1
q
b
n
q
再待定系 数法解决。
【例
4
】已知数列
a
n
中，
a
1
5
6
,
a
1
n
1
a
(
1
n
2
)
n
1
3
，求
a
n
。
解：在
a
n
1
n
1
a
(< br>1
1
n
)
n
1
3< br>2
两边乘以
2
n
1
得：
2
•a
2
n
1
3
(
2
n•
a
n
)
1
令
b
n
2
n
•
a
2
n
，则
b< br>n
1
3
b
n
1
,
解之 得：
b
3
2
(
2
n
3
)
n
所以
a
b
n
1
n
1n
n
2
n
3
(
2
)
2
(
3
)
[
题型
5]
递推公式为
S
n
与
a
n
的关系式。
(
或< br>S
n
f
(
a
n
)
)
< br>解
法
：
这
种
类
型
一
般
利< br>用
a
S
1
< br>
< br>
(
n
1
)
n
< br>S
n
S
n
1
< br>
(
n
2
)
a< br>n
S
n
S
n
1
< br>f
(
a
n
)
f
(
a
n< br>
1
)
消去
S
n
(
n
2
)
或与
S
n
f
(
S
n
S
n
1
)
(
n
2
)
消去
a
n
进行求解 。
【例
5
】已知数列
a
n
前
n
项和
S
n
4
a
n
1
2
n
2
.
(1)< br>求
a
n
1
与
a
n
的关系；
(2)
求通项公式
a
n
.
解：
(1 )
由
S
1
n
4
a
n
1
2
n
2
得：
S
n
1
4
a
n
1
2
n
1
于是
S
n
1
S
n
(
a
n
a
n
1
)
(
1
2
n
2
1
2
n
1
)
所以
a
1< br>n
1
a
n
a
n
< br>1
2
n
1
a
1
1< br>n
1
2
a
n
2
n< br>.
与
(2)
应用题型
4(
a
p q
(
p
1
)(
q
1
)
0
n
1
pa
n
qn
，其中
p
，
q
均为常数，且
n
1
)
的方法，上式两边同乘以
2
得：
1
a
1
1
1
2
2
2
n
1
a
n
1
2
n
a
n
2
由
a
S
1
1
4
a
1
.
于是数列
2
a
是以
2
为首项，
2
为公n
n
差的等差数列，所以
2
a
n
n
2
2
(
n
1
)
2
n
a
n
n
2
n
1
[
题型
6]
r
a
n
1
pa
n
(
p
0
,
an
0
)
解法：这种类型一般是等式两边取对数后 转化为
a
n
1
pa
n
q< br>，再利用待定系数法求解。
n
【例
6
】
已知数列< br>{
a
}
中，
a
1
,
a
1
n
1
1
2
a
n
(
a
0
)
a
，
求数列
{
a
}
的通
n
项公式。
解：由
a
令
bn
n
1
1
2
a
na
两边取对数得
lg
a
2
b
n
< br>lg
1
a
n
1
2
lg
a
n
lg
1
a
，
n
lg
a
n
，
则
b
n
1
a，
再利用待定系数法解得：
1
a
(
)
2n
1
a
。
考点
2
：数列求和
[
题型
1]
公式法
【例
7
】已知
a
是 公差为
3
的等差数列，数列
b
满足
n
n
1
b
1
1
,
b
2
,
a
n
b
n
1
b
n
1
nb
n
.
3
(1)
求
a
的通项公式；
n
(2)
求
b
的前
n项和
.
n
解
：
(1)
依
题
a
1
b
2
+
b
2
=
b
1
，
b
1
=1
，
b
2
=
1
3
，
解
得
a
1
=2
…2
分
通
项
公
式
为
a
n
=2+3(
n
-1)=3
n
-1
…6
分
(2)
由
(
Ⅰ
)知
3
nb
n
+1
=
nb
n
，
b
n
+1
=
1
b
，所以
{
b
}< br>是公
n
n
3
比为
1
的等比数列
…9
分
3
所
S
n
=
以
{
b
n
}
的
前
n
项
和
1
1
(
)
n
3
3
1
n
1
1
2
2
3
1
3
…12
分
[
题型
2]
裂项求和
【例
8
】
S
为数列
{
a
}
的前
n
项和
.
已知
a
＞
0
，
a
n< br>n
n
2
n
2
a
n
4< br>S
n
3
.
(1)
求
{
a
}
的通项公式；
n
(2)
设
b
n
1
a
n
a
n
1
,
求数列
{
b
}
的前
n
项和
.< br>
n
解析：
(1)
a
=
2
n
1
；
n
1
1
1
1
(2)
由
(1)
知，
b
=
(2
n
1) (2
(
)
，
n
3)2
2
n
1
2
n
3
n
所
以
数
列
{
b
1
b
2
L
b
n
b
n
}前
n
项
和
为
1
1
1
1
11
1
1
=
1
.
[(
)< br>
(
)
L
(
)]
=
2
3
5
5
7
2
n
1
2
n
3
6
4
n
6
[
题型
3]
错位相减求和
【例
9
】已知数列
{
a
}
和
{
b}
满足，
a
2,
b
1,
a
n
n
1
1
n
1
2
a
n
(n
N
*
),
1
1< br>1
b
1
b
2
b
3
< br>L
b
n
b
n
1
< br>1(n
N
*
)
2
3
n
.
(1)
求
a
与
b
；
n
n
(2)
记数列
{
a
b
}
的前
n
项和为< br>T
，求
T
.
n
n
n
n
解 析：
(1)
由
a
2,
a
1
1
2
n
1
2
a
n
，得
a
n
2
n
.
当
n
1
时，
b
b
1
，故
b
2.
2
当
n
2
时，
1
b< br>n
n
b
n
1
b
n< br>，整理得
b
b
n
n
1
n
n
1
n
，所以
b
n
.< br>
n
(2)
由
(1)
知，
a
b
2< br>n
n
n
n
2
n
所以
T
2
2
2
3
2
L
n
2
3
2
T
n
2
2
2
2
3
3
2
4
L
(
n
1)
2
n
n
2
n
1
所以
T
2
T
T
2
2
2
L
2
2
3
n
n
n
n
n
2
n
1
(1
n
)2< br>n
1
2
所以
T
(
n
1)2
n
n
1
2
.
[
题型
4]
分组求和
【例
10
】 已知
{
a
n
}
是等差数列，满足
a
1
＝< br>3
，
a
4
＝
12
，
数列
{
b
n
}
满足
b
1
＝
4
，
b
4
＝
20
，且
{
b
n
－
a
n< br>}
为等比数列．
(1)
求数列
{
an
}
和
{
b
n
}
的通项公式；
(2)
求数列
{
b
n
}
的前
n
项和．
解：
(1)
设等差数列
{
a
n< br>}
的公差为
d
，由题意得
a
4
－
a
1
12
－
3
d
＝
3
＝
3
＝
3.
所以
a
n
＝
a
1
＋< br>(
n
－
1)
d
＝
3
n
(
n
＝
1
，
2
，
…)
．
设等比数列
{
b
n
－
a
n
}
的公比为
q，由题意得
b
20
－
12
4
－
a< br>4
q
3
＝
＝
＝
8
，解得
q
＝
2.
b
1
－
a
1
4
－3
所以
b
n
－
a
n
＝
(
b< br>1
－
a
1
)
q
从而
b
n
＝
3
n
＋
2
n
－
1
n
－
1
＝
2
n
－
1
.
(
n
＝
1
，
2
，
…)
．
n
－
1
(2)
由
(1)
知
b
n< br>＝
3
n
＋
2
(
n
＝
1
，< br>2
，
…)
．
3
n
－
1
数 列
{3
n
}
的前
n
项和为
2
n
(
n
＋
1)
，数列
{2
}
的前