数列求和方法(带例题和练习题)
温柔似野鬼°
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2021年01月29日 00:12
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国庆节活动方案-小学周记
数列求和方法
(
带例题和练习题
)
数列的求和
数列求和主要思路：
1
．求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式；
2
．求和过程中注意分类讨论思想的运用；
3
．转化思想的运用；
数列求和的常用方法
一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法
.
1
、
等差数列求和公式：
S
n
n(
a
1
a
n
)
n
(
n
1
)
na
1
d
2
2
(
q
1
)
na
1
n
2
、等比数列求和公式：
S
n
a
1
(
1
q
)
a
1
a
n
q
(
q
1
)
1
q
1
q
3
、
S
n
k
1
2
3
k
1
n
n
1
n
…
n
(
n
1)
2
4
、
S
n
k
2
1
2
2
2
3
2
k
1
1
n
2
n
(
n
1)(2< br>n
1)
6
5
、
S
n
k
k
1
n
3
1
2
3
3
3
3
n
(
n
1)
n
2
3
2
公式法求和注意事项
（
1
）弄准求和项数
n
的值；
（
2
）等比数列公比
q
未知时，运 用前
n
项和公式要分类。
例
1
．求和
1
x
x
x
2
n
2
(
n
2
,
x
0
)
二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前
n
项和公 式时所用的方法，
这种方法主要用于求数列
{a
n
·
b
n
}
的前
n
项和，其中
{ a
n
}
、
{ b
n
}
分别是等差数列和等比数列
.
2
3
n
1例
2
．求和：
S
n
1
3
x
5
x
7
x
(
2
n
1
)
x
例
3
．求数列
2
4
6
2
n
,2
,
3
,
,
n
,
前
n
项的和
.
2
2
2
2
三、倒序相加法
如果一个数列与首末两 端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列前
n
项和即可用
倒序 相加发，如等差数列的前
n
项和就是此法推导的
例
4
．求
sin
1
sin
2
sin
3
sin
88
sin
89
的值
2
2
2
2
2
例
4
变式训练
1
：
求
cos1
°
+ cos2
°
+ cos3
°
+
·
·
·
+ cos178
°
+ cos179
°的值
.
例
4
变式训练
2
：
数列
{a
n
}
：
a
1
1
,
a
2
3
,
a
3
2
,
a
n
2
a
n
1
a
n
， 求
S
2002
.
例
4
变式训练
3
：在各项均为正数的等比数列中，若
a
5
a
6
9
,
求
log
3
a
1
log
3
a
2
log
3
a10
的值
.
数列求和练习
第
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页
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页
数列求和方法
(
带例题和练习题
)
四、分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或
常见 的数列，然后分别求和，再将其合并即可
.
n
例
5
．已 知数列
a
n
的通项公式
a
n
3
n
2
1
，求数列
a
n
的前
n
项和
S
n
。
例
5
变式训练
1
：
求
1
11
111
111
1
之和
.
n
个
1
例
5
变式训练
2
：
求数列的前
n
项和：
1
3,2
4,3
5,< br>例
6
．求数列的前
n
项和：
1
1
,
,
n
(
n
2),
；
11
1
4
,
2
7
,
,
n
1
3
n
2
，
…
a
a
a
五、裂项相消法
：
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用
.
裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后
重新组合，使之能消去一些项，最终达到求 和的目的
.
通项分解
（裂项）
如：
（
1
）
1
1
1
1
1
1
1
(
)
（
2
）
n
(
n
2)
2
n
n
2
n
(n
1
)
n
n
1
1
1
1
1
(
)
(
2
n
1
)(
2
n
1
)
2
2
n
1
2
n
1
（
3
）
若
（
4
）
为等差数列，公差为
d
，则
；
1
n
1
n
n
1
n
(
2
n
)
2
1
1
1
1
(
)
（
5
）
a
n
(
2
n
1
)(
2
n
1
)
2
2
n
1
2
n
1
(6)
a
n
1
1
1
1
< br>[
]
n
(
n
1
)(
n
2
)
2
n
(
n
1
)
(
n
1
)(
n
2
)
n
2
1
2
(
n
1
)
n
1
1
1
1
n
n
,
则
S
1
n
n
1
n
n
n
(
n
1
)
2
n
(
n
1
)
2
n
2
(
n
1
)
2
(
n
1
)
2
(7)
a
n
a
n
f
(
n
1
)
f
(
n
)
例
7
．求数列1
1
2
,
1
2
3
,
,
1
n
n
1,
的前
n
项和
.
例
8
．在数列
{a
n
}
中，
a
n
2
1
2
n
，又
b
n
，求数列
{ b
n
}
的前
n
项的和
.
a
n
a
n
1
n
1
n
1
n
1
数 列求和练习
第
1
页
共
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页
数列求和方法
(
带例题和练习题
)
例
8
变式训练1
：
求数列的前
n
项和：
参考答案：
例
2
解：
x
1
时
1
1
1
,
,
,
1
3
2
4
3
5
,
1
,
n
(
n
2)
；
S
n
1
3
x
5
x
2
7
x
3
(
2
n
1
)
x
n
1
………………………
①
2
3
4
n
设
xS
n
1
x
3
x
5
x
7
x
(
2
n
1
)
x
……………………….
②
（设制错位）
2
3
4
n
1
n
①－②得
(
1
x
)
S
n
1
2
x
2
x
2
x
2x
2
x
(2
n
1
)
x
（错位相减
）
1
x
n
1< br>(
1
x
)
S
n
1
< br>2
x
(
2
n
1
)< br>x
n
1
x
(
2
n
< br>1
)
x
n
1
(
2
n< br>
1
)
x
n
(
1
x< br>)
∴
S
n
(
1
x
)
2
x
1
时
略
例
3
解：由题可知，
{
2
n
1
}
的通项是等差数列
{2n}
的通项与等比数列
{
}
的通项之积
n
n
2
2
2
4
6
2
n
设
S
n
2
3
n
…………………………………
①
2< br>2
2
2
1
2
4
6
2
n
S< br>n
2
3
4
< br>
n
1
………………………………
②
（设制错位）
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
n
①－②得
(1
)
S
n
2
3
4
n
n
1
（错位相减
）
2
2
2
2
2
2< br>2
1
2
n
2
n
1
n
1
2
2
n
2
∴
S
n
4
n
1
2
2
2
2
2
2
例
4
．解：设
S
sin
1
s in
2
sin
3
< br>sin
88
sin
89
………….
①
将①式右边反序得
S
sin
89
sin
8 8
sin
3
sin
2
sin
1
…………..
②
（倒序）
又因为
sin< br>x
cos(
90
x
),
sin
x
cos
x
1
①
+
②得
（反序相加）
2
2
2
2
2
2
2
2
S
(sin
2
1
cos
2
1
)
(sin
2
2
cos
2
2
)
(sin
2
89
cos
2
89
)
＝
89
∴
S
＝
44.5
例
4
变式训练
1
：
解：设
S
n
＝
cos1
°
+ cos2
°
+ cos3
°
+
·
·
·
+ cos178
°
+ cos179
°
∵
cos
n
cos(
180
n
)
（找特殊性质项）
∴
S
n
＝
（
cos1
°
+ cos179
°）
+
（
cos2
°
+ cos178
°）
+
（
cos3
°
+ cos177
°）
+
·
·
·
+
（
cos89
°
+ cos91
°）
+ cos90
°
（合并求和）
数列求和练习
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页
数列求和方法
(
带例题和练习题
)
＝
0
例
4
变式训练
2
：
解： 设
S
2002
＝
a
1
a
2
< br>a
3
a
2002
由
a
1
1
,
a
2
3
,
a
3
2
,
a
n
2
a
n
1
a
n
可得
a
4
1
,
a
5
3
,
a
6
2
,
a
7
1
,
a
8
3
,a
9
2
,
a
10
1< br>,
a
11
3
,
a
12
2
,
……
a
6
k
1
1
,
a
6
k
2
3
,
a
6
k
3
2
,
a
6
k
4
1
,
a
6
k
5
3
,
a
6
k
6
2
∵
a
6
k
1
a
6
k
2
a
6
k
3
a
6
k
4
a
6
k
5
a
6
k
6
0
（找特殊性质项）
∴
S
2002
＝
a
1
a2
a
3
a2002
（合并求和）
＝
(
a
1
a
2
a
3
a
6
)
(
a
7
a
8
a
12
)
(
a
6
k
1
a
6
k
2
a
6
k
6
)
(
a
1993
a
1994
a
1998
)
a
1999
a
2000
a
2001
a
20 02
＝
a
1999
a
2000
a
2001
a
2002
＝
a
6< br>k
1
a
6
k
2
< br>a
6
k
3
a
6
k
< br>4
＝
5
例
4
变式训练
3
：解：设
S
n
log
3
a
1
log
3
a
2
lo g
3
a
10
由等比数列的性质
m
< br>n
p
q
a
m
a
n< br>
a
p
a
q
（找特殊性质项）
和对数的运算性质
log
a
M
log
a
N
log
a
M
N
得
S
n
(log3
a
1
log
3
a
10
)
(log
3
a
2
log
3
a
9
)
(log
3
a< br>5
log
3
a
6
)
（合并求和）
＝
( log
3
a
1
a
10
)
(l og
3
a
2
a
9
)
(log
3
a
5
a
6
)
＝
log
3
9
log
3
9
lo g
3
9
＝
10
例
5
．略
1
例
5
变式训练
1
：
解：由于
111
< br>
k
个
1
1
1
k
999
9
(
10
1
)
（找通项及
< br>
9
9
k
个
1
特征）
∴
1
11
111
111
1
n
个
1
数列求和练习
第
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页
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数列求和方法
(
带例题和练习题
)
＝
1
1
1
1
1
(
10
1
)
(
10
2
1
)
(
103
1
)
(10
n
1
)
（分组求和）
9
9
9
9
＝
1
9
(
10
1
10
2
10
3
10
n< br>)
1
9
(
1
1< br>
1
< br>
1
)
n
个
1
＝
1< br>10
(
10
n
1
)
9
10
1
n
9
＝
1
81(
10
n
1
10
9
n
)
例
5
变式训练
2
：
∵
n(
n
2)
n
2
2
n< br>，
∴
S
2
2
2
2
n< br>(
n
1)(2
n
7)
n
(1
2
3
…
n
)< br>
2
(1
2
3
…
n
)
6
例
6
．解：设S
1
n
(
1
1
)
(
a
4
)
(
1
a
7)
(
1
2
a
n
1
3
n
2
)
将其每一项拆开再重新组合得
S
n
(
1
1
a
1
a
1
2
a
n
1
)
(
1
4
7
3
n
2
)
当
a
＝
1
时，
S
(
3
n
1
)
n
(
3
n
1
)
n
n
n
2
＝
2
1
1
n
(
3
n
1
)
n
a
a
1
n
当
a
1
时，
S
n
a
1
1
2
＝
a
1
(
3
n
1
)
n
2
a
例
7
．解：设
a
1
n
n
n< br>
1
n
1
n
则
S
1
1
1
n
1
2
2
3
n
n
1
＝
(
2
1
)
(
3
2
)
(
n
1
n
)
＝
n
1
1
例
8
．解：
∵
a
1
n
n
1
2
n
1
n
n
1
n
2
∴
b
2
1
1
n
n
n
1
8
(
n
n
1
)
2
2
∴
数列
{b
n
}
的前
n
项和
S
1
1
1
1
1
n
8
[(
1
2
)
(
2
3
)
(
3
)
1
4
(
n
1
n
1
)]
＝
8
(
1
1
n
1
)
＝
8
n
n
1
数列求和练习
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（分组）
（裂项）
（裂项）
（分组求和）
（裂项求和）
（裂项求和）