数列的递推与通项练习题
绝世美人儿
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2021年01月29日 00:13
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名著读后感800字-吃饭快的成语
数列的递推与通项（一）
1
．若数列
a
n
中，
a
1
2
,
a
n
< br>1
a
n
2
，则
a
n
。
2
．若数列
a
n
中，
a
1
2
,< br>a
n
1
1
a
n
，则
a
n
。
2
3
．若数列
a
n
中，
a< br>1
2
,
a
n
1
a< br>n
2
n
，则
a
100
的值是
。
4
．若数列
an
中，
a
1
1
,
a
n< br>
1
a
n
5
．已知数列
a
n
满足
a
n
1
1< br>，则
a
n
。
2
n
a
n
1
且
a
1
1
，又
b
n
，
a
n
2
a
n
1
（
1
）
求证：
b
n
是等差数列；
（
2
）求
a
n
的表达式。
6
． 已知数列
a
n
满足
a
n
1
2
a
n
1
且
a
1
1
，又
b
n
a
n
1
，
（
1
）
求证：
b
n
是等比数列；
（
2
）求
a
n
的表达式。
7
． 已知数列
a
n
满足
a
n
1
3
a
n
2
a
n
1
(
n
2
)
且
a
1
1
,
a
2
3
，又
b
n
a
n
1
a
n
，
（
1
）求证：
b
n
是等差数列；
（
2
）求
a
n
的表达式。
8
． 已知数列
a
n
满足
a
n
1
S
n
(
n
1
)
且
a
1
1
，求
a
n
和
S
n
的表达式。
9
．
已知数列
a
n
中，
S
n
表示数列的前
n
项和，
满足
S
n
S
n
1
(
n
2
)
且
a
1
1
，
求
a
n
的通项公式
a
n
。
2
S
n
1
1
10
．已知数列
a
n
满足
S
n
n
2
a
n
且
a
1
1
，试探求
a
n
的通项公式
a
n
。
x
2
< br>x
n
11*
．设函数
y
(
n< br>
N
*)
的最小值为
a
n
，最大值为
bn
，又
c
n
4
a
n
b
n< br>，求和：
x
2
1
S
n
1
1
1
1
(
求函数的值域
) Cn=4n-1
c
1
c
2
c
2
c
3
c
3
c
4
c
n
c
n
1
(
二
)
考点一：已知数列相邻两项的递推关系，求数列的通项公式
1
(
n
2)
,
求
a
n
.
例
1
.
已知数列
{
a
n< br>}
中
a
1
1
,
a
n
< br>a
n
1
2
n
n
变式
1
.
数列
{
a
n
}
中
a
1
1
,
na
n
1
n
1
a
n
1
(
n
1
)
,
求
a
n
.
变式
2
.
数列
{
a
n
}
中a
1
2
,
a
n
1
2
a
n
3
2
n
(
n
1)
,
求
a
n
.
1
例
2
.
数列
{
a
n
}
中
a
1
2
,
a
n
a
n
1
(1
1
)(
n
2)
,
求
a
n
.
n
2
变式
．
已知数列
a
n
，
满足
a
1
=1
，
则
a
n
的通项
a
n
< br>
a
n
a
1
2
a
2
3
a
3
(
n
1
)
a
n
1
(
n
≥2)
，
例
3
．已知数列
a
n
满足
a
1
1
,
a
n
1
2
a
n
1
(
n
N
*
).
求数列
a
n
的 通项公式；
例
4
．
已知数列
{
a
n}
中，
a
1
1
，
2
a
n< br>
1
a
n
n
.
求数列
a
n
的通项
；
2
变式．
设
a
0
为常数，且
a
n
3
n
< br>1
2
a
n
1
(
n
< br>N
*
)
，
求
a
n
例< br>5
．
在数列
a
n
中，
a
1
2
，
a
n
1
a
n
n
1
(2
)2
n
(
n
N
)< br>，
其中
0
．
求数列
a
n
的
通项公式；
1
n
1
例
6
．在数列
{
a
n
}
中，
a
1
1,
a
n
1
(1
)
a
n
n
n
2
a
（
I
）设
b
n
n
，求数列
{
b
n
}
的通项公式
;
（
II
）求数列
{
a
n
}
的前
n
项和
S
n
n
例
7.
已知数列
{
a
n
}
的首项
a
1
3
3
a
n
2，
．求
{
a
n
}
的通项公式；
< br>，
a
n
1
，
n
1< br>，
5
2
a
n
1
变式
1
． 已知数列
a
n
满足
a
1
a
0
，
a
n
1
a
n
a
n
1
2
a
n
，求数列
a
n
的通项公式
.
例
8.
（< br>06
江西
22
）已知数列
a
n
满足：
a
1
＝
3
na
n-
1
3
， 且
a
n
＝
，求数列
（
n
2
，< br>n
N
）
2
2
a
n
＋< br>n
－
1
－
1
a
n
的通 项公式；
变式
1.
在数列
{
a
n}
中，
a
1
=1
，
a
n
+1
=
a
n
，求
a
n
.
1
na< br>n
例
9
。
（
10
全国）
已知数列
a
n
中，
a
1
1,
a
n
1
c
通项公式。
1
5
1
.
设
c
,
b
n
，求数列
b
n
的
an
2
a
n
2
变式
2
．已知
a
1
=2
，点
(
a
n
,a
n+
1
)
在函数
f
(
x
)=
x
2
+2< br>x
的图象上，其中
n
N
(1)
证明数列｛
lg(1+
a
n
)
｝是等比数列；
(2)
求数列
a
n
的通项；
变式
3
.
已知数列
a
n
满足：a
1
0,
a
n
1
a< br>n
1
2
a
n
1
，则
a
n
考点二：已知数列相邻三项的递推关系，求数列的通项公式
例
1.
（
06
福建
22
）已知数列
a
n
满足
a
1
1
,
a
2
3,
a
n
2
3
a
n
1
2
a
n
(
n
N
*
) .
求数列
a
n
的通
项公式；
5
5
2
变式
1
：
已知数列
a
n
满足
a
1
1,
a
2
,
a
n
2
a
n
1
a
n
(
n
N
*
).
求< br>a
n
3
3
3
2
例
2
．
设数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
,
已知
a
1
1
,
S
n
1
4
a
n
2
（
I
）设
b
n
a
n
1
2
a
n
，证明数列
{
b
n
}
是等比数列
；
（
II
）求数列
{
a
n
}
的通 项公式。
高考递推数列题型分类归纳解析
(
三
)
类型
1
a
n
1
a
n
f
(
n
)
解法：把原递推公式转化为
a
n
1
a
n
f
(
n
)
，利用
累加法
(
逐差相加法
)
求解。
例
1.
已知数列
a
n
满足
a
1
1
1
，
an
1
a
n
2
，求
a< br>n
。
2
n
n
变式
:
已知数列
{
a
n
}
中
a
1
1
，且
a
2k
=
a
2k
－
1
+(
－
1)
K
,
a
2k+1
=
a
2k
+3
k
,
其中
k=1,2,3,
……
.
（
I
）求
a
3
,
a
5
；
（
II
）求
{
a
n
}
的通项公式
.
类型
2
an
1
f
(
n
)
a
n
解法：把原递推公式转化为
例
1:
已 知数列
a
n
满足
a
1
例< br>2:
已知
a
1
3
，
a
n
1
a
n
1
f
(
n
)
，利用
累乘法
(
逐商相乘法
)
求解。
a
n
2
n
a
n
，求
a
n
。
，
a
n
1
3
n
1
3
n
1
a
n
(
n
1
)
，求
a
n
。
3
n
2
变式
:
（
2004
，< br>全国
I,
理
15
．
）
已知数列
{
a
n
}
，
满足
a
1
=1
，
a
n
a
1
2
a
2
3
a
3
(
n
1
)
a
n
1
(
n
≥
2)
，
则
{
a
n
}
的通项
a
n
n
1
1
___
n
2
类型
3
a
n
1
pa
n
q
（其中
p
，
q
均为常数，
(
pq
(p
1
)
0
)
）
。
解法（待定系数法）
：把原递推公式转化为：
a
n
1
t
p
(
a
n
t
)
，其中
t
数列求解。
例
:
已知数列
a
n
中，
a
1
1
，
a
n
1
2
a
n
3
，求
a
n
.
变式
:
（
2006
，重庆< br>,
文
,14
）
在数列
a
n
中，若
a
1
1
,
a
n
1
2
a
n
3(
n
1)
，则该数列的通项
a
n
_______________
变式
:
（
2006.
福建
.
理
22.
本小题满分
14
分）
< br>已知数列
a
n
满足
a
1
1
,
a
n
1
2
a
n
1(
n
N
*
).
（
I
）求数列
a
n
的通项公式；
3 < br>q
，再利用
换元法
转化为等比
1
p
（II
）若数列
{
b
n
}
滿足
4
14
2
4
n
（Ⅲ
）证明：
b
1
b
1
b
1
(
a
n
1
)
b
n
(
n
N
*
),
证明：数列
{
b
n
}
是等差数列；
a
n
1
a
1
a
2
n
...
n
(
n
< br>N
*
).
2
3
a
2
a
3
a
n
1
2
类型
4
a
n
1
pa
n
q
n
（其中
p
，
q
均为常数，
(
pq
(
p< br>
1
)(
q
1
)
0
)
）
。
（或
a
n
1
pa
n
rq
n
,
其中< br>p
，
q,
r
均为常数）
。
解法：
一般地，
要先在原递推公式两边
同除
以
q
n
1
，
得：
a
n
1
p
a
n
1
a
n
引入辅助数列
（其中
）
，
b
b
n
nn
1
n
n
q
q
q
q
q得：
b
n
1
p
1
b
n< br>
再待
定系数法
解决。
q
q
5
1
1
n
1
,
a
n
1
a
n
(
)
，求
a
n
。
6
3
2
4
1
2
a
n
2
n
1
，
n
1,2,3,
3
3
3
例
:
已 知数列
a
n
中，
a
1
变式
:
（
2006
，全国
I,
理
22,
本小题 满分
12
分）
设数列
a
n
的前
n
项的和
S
n
n
3
2
n< br>
，证明：
T
i
（Ⅰ）求 首项
a
1
与通项
a
n
；
（Ⅱ）设
T
n
，
n
1,2,3,
2
S
n
i
1
类型
5
递推公式为
a
n
2
pa
n
1
qa< br>n
（其中
p
，
q
均为常数）
。
解 法一
(
待定系数法
)
：先把原递推公式转化为
a
n
2
sa
n
1
t
(
a
n
1
sa
n
)
其中< br>s
，
t
满足
s
t
p
st
q
解
法
二
(
特
征
根
法
)
：
对
于
由
递
推
公
式
a
n
2
pa
n
1
qa
n
，
a
1
,
a
2
给
出
的数
列
a
n
，
方
程
x2
px
q
0
，叫做数列
a
n
的特征方程。若
x
1
,
x
2< br>是特征方程的两个根，当
x
1
x
2
时，数列
a
n
的通
项
为
a
n
Ax
1
n
1
n
1
，
其< br>中
A
，
B
由
a
1
,< br>a
2
决
定
（
即
把
a< br>1
,
a
2
,
x
1
,
x
2< br>和
n
1
,
2
，
代
入
< br>Bx
2
n
1
n
1
，得到关于< br>A
、
B
的方程组）
；当
x
1
x< br>2
时，数列
a
n
的通项为
a
n
(
A
Bn
)
x
1
，其
a
n
Ax
1
n
1
Bx< br>2
中
A
，
B
由
a
1
< br>,
a
2
决定（即把
a
1
,a
2
,
x
1
,
x
2
和
n
1
,
2
，代入
a
n
(
A
Bn
)
x
1
，得到关于
A
、
B
的
方程组）
。
解法一（待定系数——迭加法）
:
数列
a
n
：
3
a
n
2
5
a
n
1
2
an
0
(
n
0
,
n
N
)
，
a
1
a
,
a2
b
，求数列
a
n
的通项公式 。
n
1
4
例
:
已知数列
a
n
中，
a
1
1
,
a
2
2
,
a
n
2
变式
:
2
1
a
n
1
a
n
，求
a
n
。
3
3
1.< br>已知数列
a
n
满足
a
1
1
,
a
2
3,
a
n
2< br>
3
a
n
1
2
a
n< br>(
n
N
*
).
（
I
） 证明：数列
a
n
1
a
n
是等比数列；
（
II
）求数列
a
n
< br>的通项公式；
（
III
）若数列
b
n< br>
满足
4
b
1
1
4
b
2
1
...4
n
2.
已知数列
3.
已知数 列
b
1
(
a
n
1)
b
n
(
n
N
*
),
证明
< br>b
n
是等差数列
an
中，
a
1
1
,
a
2< br>
2
,
a
n
2
2
a< br>n
1
1
a
n
，求
a
n
3
3
a
n
中，
S
n
是其前
n
项和，并且
S
n
1
4
a
n
2(
n
1
,2,
),
a
1
1
，
a
n
1
2
a
n
(
n
1
,
2
,
)
，求证：数列
b
n
是等比数列；
a
n
,
(
n
1
,
2
,
)
，求证：数列
c
n
是等差数列；⑶求数列
a
n
的通项公式及前
n
项和。
2
n⑴设数列
b
n
⑵设数列
c
n
类型
6
递推公式为
S
n
与
a
n
的关系式。
(或
S
n
f
(
a
n
)
)
S
1
(
n
1
)
解法：
这种类型一般利用
a
n
与
a
n
S
n
S
n
1
f
(
a
n
)
f
(
a
n
1
)
消去
Sn
(
n
2
)
S
S
(
n
2
)
n
1
n
或与
S
n< br>
f
(
S
n
S
n
1< br>)
(
n
2
)
消去
a
n
进 行求解。
例：
已知数列
a
n
前n
项和
S
n
4
a
n
< br>1
2
n
2
.
（
1
）求
a
n
1
与
a
n
的关系；
（
2< br>）求通项公式
a
n
.
（
2
）应用类型
4< br>（
a
n
1
pa
n
q
n
（其中
p
，
q
均为常数，
(
pq
(
p
1
)(
q
1
)
0
)
）
）的方法，上式两边同乘
以
2
n
1
得：
2
n
1
a
n
1< br>
2
n
a
n
2
由
a< br>1
S
1
4
a
1
< br>1
a
1
1
.
于
是
数< br>列
2
n
a
n
是
以
2
为
首< br>项
，
2
为
公
差
的
等
差
数< br>列
，
所
以
1
2
2
n
2< br>n
a
n
2
2
(
n
< br>1
)
2
n
a
n
n< br>
1
2
变式
:
（
2 006
，陕西
,
理
,20
本小题满分
12
分
)
已知正项数列
{a
n
}
，其前
n
项和
S
n
满足
10S
n
=a
n
2
+5a
n
+6
且
a
1
,a
3
,a
15
成等比数列，求数列
{a
n
}
的通项
a
n
变式
:
(2005,
江西
,
文
,22
．本小题满分
14
分）
已知数列{
a
n
}
的前
n
项和
S
n
满 足
S
n
－
S
n
－
2
=3
(
)
1
2
n
1
3
(
n
3
),
且
S
1
1
,
S2
,
求数列
{
a
n
}
的 通项公式
.
2
、
0
，a
0
)
类型
7
a
n
1
pa
n
an
b
(
p
1
解法：这种类型 一般利用
待定系数法
构造等比数列，即令
a
n
1
x
(
n
1
)
y
p
(
a
n
xn
y
)
，与已知 递推
5