描写校园景色的作文-好听的粤语老歌

2021年1月29日发(作者：爱就是那样简单)

等差与等比数列知识与方法总结

一、知识结构与要点


定义
a
n

1

a
n

d

a
n

2

a
n

1

a
n

1

a
n


n

N

通项
a
n

a
1

(
n

1
)
d
—等差中项


a
、
b
、
c
成等差

b

基本概念






















推广

a
n

a
m

(
n

m
)
d

























前
n
项和
S
n


等差数列

























当
d>0(<0)
时
{
a
n
}
为递增（减）数列

























当
d=0
时
{
a
n
}
为常数












基本性质





与首末两端等距离的项之和均相等

























a
1

a
n

a
2

a
n

1

c
......

a
i

a
n

i

1

i

N





m

n

p

q

a
m

a
n

a
p

a
q

























{
a
n
}
中共
n
1
n
2
.
......
n
k
成等差则
a
n< br>1
,
a
n
2
,
......
a
nk
也成等差
















第

1
页

共

21
页

a

c

2
(
a
1

a
2
)
n
1

a
1
n

(
n

1
)
nd

2
2

定义
:
a
n
a
a

q

n

2

n

1



n

N

a
n

1
a
n

1
a
n
2
通项

a
n

a
1

q
n

1

等比中项：
a b c
成等比数列

b

ac

基本概念









推广
a
n

a
m

q
n

m

a
1
n
(
q

1
)
前
n
项和
S
n



a
(
1

q
n
)
1
1

q
等比数列


a
1

a
n
q

(
q

1
)
1

q



与首末两端等距离的两项之积相等






a
1
a
n

a
2
a
n

1

......

a
i

a
n

i

1



m

n

p

q

a
m

a
n

a
p

a
q


{
a
n
}
成等比，若
n
1
,
n< br>2
,...
n
k

成等差则
a
1
,
a
n
2
,...
a
nk











成等比




基本性质






当
a
1

0
q

1

或

a
1

0
0

q

1

时

{
a
n
}
为递增数列

















当

a
1

0
q

1
或
a
1

0
0

q

1


时

{
a
n
}
为递减数列

















当

q<0
时

{
a
n
}
为摆动数列

















当

q=1
时

{
a
n
}
为常数数列


二、等差数列、等比数列基础知识与方法概括

（一）
．一般数列

数列的定义及表示方法；数列的项与项数；有穷数列与无穷数列；递增（减）
、摆动、循环数列；数列
{a
n
}
的通项公式
a
n
；数列的 前
n
项和公式
S
n
；

一般数列的通项
a
n
与前
n
项和
S
n
的关系：
a
n



a
1

S
1
(
n

1
)







S

S
(
n

2
)
n

1

n
第

2
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21
页



（二）等差数列

1
．等差数列的概念

[
定义
]
如果一个数列从第
2
项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就
叫做等差数列，这 个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母
d
表示。







即：
a
n

a
n

1

d
(
n

2
,
a
n

0
,
q

0
)

{
a
n
}
成等比数列

2
．等差数列的判定方法

（
1
）定义法：对于数列

a
n

，若
a
n

1
a
n

d
(
常数
)
，则数列

a
n

是等差数列。


（
2
）等差中 项法：对于数列

a
n

，若
2
a
n
1

a
n

a
n

2，则数列

a
n

是等差数列。

3
．等差数列的通项公式

如果等差数列

a
n< br>
的首项是
a
1
，公差是
d
，则等差数列的通项为< br>a
n

a
1

(
n

1< br>)
d
。

[
说明
]
：该公式整理后是关于
n
的一次函数。

4
．等差数列的前
n
项和


（
1
）
．
S
n

n
(
a
1

a
n
)
n
(
n

1
)
d





（

2.
）


S
n

na
1

2
2
[
说明
]
对于公式
2
整理后是关于
n
的没有常数项 的二次函数。

5
．等差中项

如果
a
，
A
，
b
成等差数列，那么
A
叫做
a
与
b< br>的等差中项。即：
A

a

b
或
2
A

a

b

2
[
说明
]
：在一个等差数列中，从第
2
项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一
项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。

6
．等差数列的性质

a
m
是等差数列的第
m项，
（
1
）
．
等差数列任意两项间的关系：
如果
a
n
是等差数列的第
n
项，
且
m

n< br>，公差为
d
，则有
a
n

a
m
< br>(
n

m
)
d

（
2
）< br>.
对于等差数列

a
n

，若
n

m

p

q
，则
a
n

a
m

a
p

a
q
。


a
n





a
1






a
,
a
,
a
,

,
a
n

2
,
a
n

1
,
a
n


a
2

a
n

1

a
3

a
n

2



，如图所示：
1

2

3







a
2

a
n

1
也就是：
a
1< br>
a
n
S
n
是其前
n
项的和，
S< br>2
k

S
k
，
S
3
k
< br>S
2
k
k

N
*
，
（
3< br>）
．
若数列

a
n

是等差数列，
那么
S
k
，
成等差数列。如下图所示：











S

3
k











a
1

a2

a
3



a
k
a
k

1



a
2
k
a
2
k

1



a3
k






















S
k
S
2k

S
k
S
3
k

S
2k
（
4
）
．设数列

a
n

是等差数列，
S
奇
是奇数项的和，
S
偶
是偶数项项的和，< br>S
n
是前
n
项的
和，则有如下性质：①奇数项
a1
,
a
3
,
a
5
,

成等差 数列，公差为
2
d





②偶数项< br>a
2
,
a
4
,
a
6
,
< br>成等差数列，公差为
2
d





③
若有奇数项
2
n

1
项，则
S
奇
a
1

a
2
n

1
(
n

1
)

a
n

1
(
n

1
)

2
第

3
页

共

21
页







S
偶
a

a
2
n

2

n

a
n

1

n
2
所
以
有

S
奇

S
偶

a
n

1

(
2
n

1
)

(
2
n

1
)
a
中




S

S

a

a
n

1
奇
偶
中

S
奇
S
偶
S
奇

S
偶
S
n
n

1
；



2
n

1

S
奇

S
偶
S
奇

S
偶
n
a
1

a
2
n

1

n

n

a
n

2
a

a
2
n

n

n

a
n

1




























S
偶

2
2






所以有
S
偶

S
奇


a
2

a
1



a
4

a
3





a
2
n

a
2
n

1


nd






若有偶数项
2
n
项，则
S
奇

（
5
）
．若等差数列< br>
a
n

的前
2
n

1
项 的和为
S
2
n

1
，等差数列

b
n

的前
2
n

1
项的和为
'
S
2
n

1
，则
a
n
S
2
n

1
。


'
b
n
S
2
n

1
（三）
．等比数列

1
．等比数列的概念

[
定义
]
：
an

q
(
n

2
,
a
n
0
,
q

0
)

{
an
}
成等比数列

a
n

1
[
等比中项
]
如果在
a
与
b
之间插入一个数
G
，使
a
，
G，
b
成等比数列，那么
G
叫做
a
与
b
的
等比中项
。
也就是，如果是的等比中项，那么
2
．等比数列的判定 方法

（
1
）定义法：对于数列

a
n

，若
a
n

1

q
(
q

0
)
，则数列

a
n

是等比数列。< br>

a
n
G
b
2

，即
G
a
G

ab
。

2
（
2
）等比中项：对于数列

a
n

，若
a
n
a
n

2

a
n

1
(
a
n

0
)
，则数列

a
n
< br>是等比数列。

3.
等比数列的通项公式

n
1
如果等比数列

a
n

的首项是
a
1
，公比是
q
，则等比数列的通项为
a
n

a1
q
。

4.
等比数列的前
n
项和

na
1
(
q

1
)



S
n


a
1
(
1

q
n
)
a
1

a
n
q

(
q

1
)

1

q
1

q

5.
等比数列的性质

（
1
）
等比数列任意两项间的关系：
如果
a
n
是等比数列的第
n
项，
a
m
是等差数列的第
m
项，
且
m
< br>n
，公比为
q
，则有
a
n

a
m< br>q
n

m

（
2
）
.
对于 等比数列

a
n

，若
n

m

u

v
，则
a
n

a
m

a
u

a
v

也就是：
a
1< br>
a
n

a
2

a
n
< br>1

a
3

a
n

2
< br>

1

a
n



< br>
a






a
,< br>a
,
a
,

,
a
n

2< br>,
a
n

1
,
a
n

。如 图所示：
1

2

3



< br>


a
2

a
n

1< br>（
3
）若数列

a
n

是等比数列，
S
n
是其前
n
项的和，
k

N
*
，那么
S
k
，
S
2
k

S
k< br>，
S
3
k

S
2
k
成
第< br>
4
页

共

21
页


等比数列。如下图所示：













S

3
k












a
1

a
2

a
3



a
k

a
k

1



a
2
k

a
2
k

1



a
3
k
























S
k
S
2
k

S
k
S
3
k

S
2
k
三、
数列的通项求法

1.
等差，等比数列的通项；

2.
S< br>n

a
n


a
1
,
(< br>n

1
)


S
n

S< br>n

1
,
(
n

2
)
< br>a
n

g
(
n
)

a
n< br>
1
a
2

g
(
2
)

a
1
3.
迭加累加

































，迭乘累乘

若
a
n

a
n
< br>1

f
(
n
),
(
n

2
)
，














若






则
a
2

a
1

f
(
2
)
，




















则
a
3

a
2

f
(
3
)
，






















a
3

g
(
3
)

a
2
a
n

g
(
n
)

a
n

1
a
n

g
(
2
)

g
(
n
)

a
1
………，


































………，

a
n

a
n

1
f
(
n
)
，




















a
n

a
1

f
(
2
)

f
(
3
)


f
(
n
)
，










注：
若
a
n

1

a
n

f
(
n
),
4.
数列间的关系

(1)

a
n

成等差数列

b
a
n
a
n

1

g
(
n
)
呢？

a
n


成等比数列

2

< br>
a
n

成等差数列

a
n
An

B

S
n

An

B n

(2)

a
n

成等比数列

a
n
成等比数列

k



a
n

成等比数列


log
b
a
n

成等差数列

（
3
）递推数列
]

①能根据递推公式写出数列的前
n
项

a
n
0

a
1
,
(
n

1
)②由
f
(
S
n
,
a
n
)
< br>0
,
求
a
n
,
S
n





解题思路：利用
a
n



S

S
,
(
n

2
)
n

1

n


变化（ⅰ）已知
f
(
S
n

1
,
a
n

1
)

0

（ⅱ）已知
f
(
S
n
,
S
n

S
n

1
)

0

③
若
一
阶
线
性
递
归
数 列
a
n
=ka
n
－
1
+b
（
k< br>≠
0,k
≠
1
）
,
则
总
可
以
将
其
改
写
变
形
成
如
下
形
式
:
a
n

b

k
(
a
n

1

b
)
(n
≥
2)，于是可依据等比数列的定义求出其通项公式；

k

1
k
1
四、数列的求和方法（详细讲解见六）

1.
等差与等比数列求和公式

第

5
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21
页


1
1
1
1

(

)
如：
a
n=1/n(n+1)
(
An

B
)(
An

C
)
C

B
An

B
An

C

c
n

成等比数列

3.
错位相减法：
a
n

b
n

c
n
,


b
n

成等差数列，
2.
裂项相消法：


a
n




S
n

b
1
c
1

b
2
c
2



b
n

1
c
n

1

b
n
c
n




则
qS
n

b
1
c
2




b
n

1
c
n

b
n
c
n

1




所以有(
1

q
)
S
n

b
1c
1

(
c
2

c
3


c
n
)
d

b
n
cn

1

如：
a
n
=(2n-1)2
n
4.
倒序相加法： 如已知函数
f
(
x
)

1
1
2
m
求：
(
x

R
)
S

f
(
)

f
(
)

L

f
(
)
。

m
4
x

2
m
m
m
5.
通项分解法：
a
n

b
n

c
n
如：
a
n
=2n+3
n

五、其它方面

1
、在等差数列

a
n

中
,
有关
S
n

的最值问题——常用邻项变号法求解：



(1)
当a
1

0
,d<0
时，满足


a< br>m

0

的项数
m
使得

a
m

1

0
取最大值
.
第

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
a
m

0
(
2)
当
a
1< br>
0
,d>0
时，满足


的项数
m
使得
a

0

m

1
取最小值。

在解含绝对值的数列最值问题时
,
注意转化思想的应用。

2< br>、三个数成等差的设法：
a-d,a,a+d
；四个数成等差的设法：
a-3d ,a-d,,a+d,a+3d
3
、三个数成等比的设法：
a/q,a,aq
；

四个数成 等比的错误设法：
a/q
3
,a/q,aq,aq
3


(
为什么？
)
4
、求数列
{a
n
}
的最大、最小项的方法：



0

①

a
n+1
-an
=
……


0

如
a
n
= -2n
2
+29n-3




0

②

a
n

1
a
n


1
9
n
(
n

1
)





1
(
a
n
>0)

如
a
n
=


n
10


1

③

a
n
=f(n)
研究函数
f(n)
的增减性

如
a
n
=
n

n
2

156
六、专题讲座一

《数列求和题的基本思路和常用方法》

一、利用常用求和公式求和



1
、

等差数列求和公式：
S
n
n
(
a
1

a
n
)
n(
n

1
)

na
1

d< br>



2
2
(
q

1< br>)

na
1

n
2
、等比数列求和公式：< br>S
n


a
1
(
1

q< br>)
a
1

a
n
q


(< br>q

1
)

1

q

1< br>
q
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n
1
1
2
3
、

S
n


k

n
(
n

1
)

















4
、
S
n


k

n
(
n

1
) (
2
n

1
)

6
2
k

1
k

1
n
5
、

S
n


1
3
k

[
n
(
n

1
)]
2


2
k

1
（
x
≠
0
）
，
s
n
数列的前
n
项和，求
s
n
。


,
a
n

x
n
，
n

[
例
1]

已知数列

a
n
解： 当
x=1
时，
s
n

n


< br>当
x
≠
1
时，

a
n

为 等比数列，公比为
x
2
3
n
由等比数列求和公式得




S
n

x

x

x





x


（利用常用公式）

x
(
1

x
n
)































＝

1

x
【巩固练习】
1
：
已知数列
a
n

的通项公式为
a
n

3
n
14
，
s
n
为

a
n
< br>的前
n
项和，

（
1
）求
s
n
；
















（
2
）求
a
n
的前
20
项和。






解：




二、错位相减法求和

这种方法是在推导等比数列的前
n
项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列
{a
n
·

b
n
}
的前
n
项和，其中
{ a
n
}
、
{ b
n
}
分别是等差数列和等比数列
.
2
3
n

1
[
例
2]
求和：< br>S
n

1

3
x

5
x< br>
7
x





(
2< br>n

1
)
x
………
（
x

0
）

2
3
n

1
2
当
x=1
时，
S
n

1

3
•
1< br>
5
•
1

7
•
1

 

(2
n

1)
•
1

1
3

5

L

(2
n
< br>1)

n

2
3
n

1
当
x
≠
1
时，

S
n

1< br>
3
x

5
x

7
x
< br>



(
2
n

1
)< br>x
……………….

①

2
3
n

1
n
两边同乘以
x
得
xS
n




1
x

3
x

5
x



(2
n

3)
x
< br>(2
n

1)
x
…

②


①


（设制错位）

2
3
4
n

1
n
①－②得
(
1

x
)
S
n

1
2
x

2
x

2
x

2x





2
x

(2
n

1
)
x


（错位相减）

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页


1

x
n

1

(
2
n

1
)
x
n

再利用等比数列的求和公式得：
(
1

x
)
S
n

1

2
x

1

x
(
2
n

1
)
x
n

1

(
2
n

1
)
x
n

(
1

x
)

















∴




S
n


(
1

x
)
2

【巩固练习】
2
：
求数列
,
解：由题可知，
{
2
4
62
n
,
,



,
,


前
n
项的和
.
2
3
n
2
2
2
2
2
n
1
}
的通项是等差数列{2n}
的通项与等比数列
{
}
的通项之积

n
n
2
2
2
4
6
2
n
设
S
n


2

3





n
…………………………………
①

2
2
2< br>2
2
4
2(
n

1)
2
n
1

n

1
……………
②








（设制错位）

S
n





2

3


2
2
2
n
2
2
12
2
2
2
2
2
n
①－②得
(
1

)
S
n


2

3

4





n

n

1










（错位相减）

2
2
2
2
2
2
2
1
2
n

















2

n

1

n

1

2
2
n

2








∴



S
n

4

n

1

2
三、反序相加法求和

这是推导等差数列的前
n
项和公式 时所用的方法，
就是将一个数列倒过来排列
（反序）
，
再
把它与原数 列相加，就可以得到
n
个
(
a
1

a
n< br>)
.
0
1
2
n
n
[
例
3]

求证：
C
n

3
C
n

5
Cn





(
2
n
1
)
C
n

(
n

1
)2

0
1
2
n
证明：

设
S
n

C
n

3
C
n

5
C
n





(
2
n

1
)
C
n
…………………………..
①








把①式右边倒转过来得

n
n

1
1
0< br>S
n

(
2
n

1
)
C< br>n

(
2
n

1
)
C
n< br>




3
C
n

C< br>n











（反序）

m
n

m







又由
C
n

C
n
可得

0
1
n

1
n







S
n

(
2
n

1
)
C
n

(
2
n

1
)
C
n





3
C
n

C
n
…………..……..

②

0
1
n

1
n
n



①
+
②得


2
S
n

(
2
n

2
)(
C
n

C
n





C
n

C
n
)

2
(
n

1
)

2







（反
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序相加）

n








∴



S
n

(
n

1
)

2

【巩固练习】
3
：
求
sin
2
1


sin
2
2


sin
2
3






sin
2
88
< br>
sin
2
89

的值

解：设
S

sin
1

sin
2

sin
3





sin
88

si n
89
………….

①

将①式右边反序得







S

sin
89

sin
88





sin
3

sin
2

sin
1
……②




（反序）







又因为

sin
x

co s(
90

x
),
sin
x

cosx

1




①
+
②得












































（反序相加）


2
2
2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2
S

(sin
2
1

cos
2
1

)

(sin2
2


cos
2
2

)





(sin
2
89

< br>cos
2
89

)
＝
89

∴


S
＝
44.5
四、分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等
差、< br>等比或常见的数列，
然后分别求和，
再将其合并即可
.
形如：

a
n

b
n
{ b
n
}
是等差数列、等比数列或常见的数列
.
[
例
4]
求数列的前
n
项和：
1

1
,

的形 式，
其中
{ a
n
}
、
1
1
1

4
,
2

7
,



,
n

1

3
n

2
，
…

a
a
a
1
1
1
解：设
Sn

(
1

1
)

(
4
)

(
2

7
)




(
n

1

3
n
2
)

a
a
a
将其每一项拆开再重新组合得

S
n

(
1

1
1
1

2





n

1
)

(
1

4

7





3
n

2
)







（分组）

a
a
a
(
3n

1
)
n
(
3
n

1)
n
当
a
＝
1
时，
S
n
< br>n

＝












（分组求和）

2
2
1
1

n
(
3
n

1
)
n
a

a
1

n
(
3
n

1
)
n
a

当
a

1
时，
S
n

＝


1
a

1
2
2
1

a
【巩固练习】
4
：
求数列
{n(n+1)(2n+1)}
的前
n
项和
. < br>3
2
解：设
a
k

k
(
k

1
)(
2
k

1
)

2
k

3
k

k

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描写校园景色的作文-好听的粤语老歌

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