小学五年级奥数精讲：《奇偶性》习题及答案
绝世美人儿
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2021年01月29日 07:56
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小学五年级奥数精讲：《奇偶性》习题及其答案
一、知识总结：
整数按照能不能被
2
整除，可以分为两类：
（
1
）能被
2
整除的自然数叫
偶数
，例如
0
，
2
，
4
，
6
，
8
，
10
，
12
，
14
，
16
，
…
（
2
）不能被
2
整除 的自然数叫
奇数
，例如
1
，
3
，
5，
7
，
9
，
11
，
13
，
1 5
，
17
，
…
整数由小到大排列，奇、偶数是交替出现的 。相邻两个整数大小相差
1
，所以肯定是一奇
一偶。因为偶数能被
2
整除，所以偶数可以表示为
2n
的形式，其中
n
为整数；因为奇数不能
被
2
整除，所以奇数可以表示为
2n+1
的形式，其中
n
为整数。
每一个整数不是奇数就是偶数，
这个属性叫做这个数的奇偶性。奇偶数有如 下一些重要
性质：
（
1
）两个奇偶性相同的数的和（或差）一定是 偶数；两个奇偶性不同的数的和（或差）
一定是奇数。反过来，两个数的和（或差）是偶数，这两个数奇 偶性相同；两个数的和（或
差）是奇数，这两个数肯定是一奇一偶。
（
2< br>）奇数个奇数的和（或差）是奇数；偶数个奇数的和（或差）是偶数。任意多个偶数
的和（或差） 是偶数。
（
3
）两个奇数的乘积是奇数，一个奇数与一个偶数的乘积一定是偶数。
< br>（
4
）若干个数相乘，如果其中有一个因数是偶数，那么积必是偶数；如果所有因数都是
奇数，那么积就是奇数。反过来，如果若干个数的积是偶数，那么因数中至少有一个是偶数；
如 果若干个数的积是奇数，那么所有的因数都是奇数。
（
5
）在能整除的情况 下，偶数除以奇数得偶数；偶数除以偶数可能得偶数，也可能得奇
数。奇数肯定不能被偶数整除。
（
6
）偶数的平方能被
4
整除；奇数的平方除以
4的余数是
1
。
因为（
2n
）
2
=4
n
2=4×
n
2
，所以（
2n
）
2
能被
4
整除；
因为（
2n+1
）
2
= 4n
2
+4n+1=4×
（
n
2
+n
）
+ 1
，所以（
2n+1
）
2
除以
4
余
1。
（
7
）相邻两个自然数的乘积必是偶数，其和必是奇数。
（
8
）如果一个整数有奇数个约数（包括
1
和这个数本身），那么这 个数一定是平方数；
如果一个整数有偶数个约数，那么这个数一定不是平方数。
整数 的奇偶性能解决许多与奇偶性有关的问题。有些问题表面看来似乎与奇偶性一点关
系也没有，例如染色问 题、覆盖问题、棋类问题等，但只要想办法编上号码，成为整数问题，
便可利用整数的奇偶性加以解决。
二、小试牛刀
例
1
、
下式的和是奇数还是偶数？
1+2+3+4+…+1997+1998
。
例
2
、
能否在下式的
□
中填上
“+”
或
“
-
”
，使得等式成立？
1□2□3□4□5□6□7□8□9=
66
。
例
3
、任意给出一个五位数，将组成这个五位数的
5
个数 码的顺序任意改变，得到一个
新的五位数。那么，这两个五位数的和能不能等于
99999？
例
4
、在一次校友聚会上，久别重 逢的老同学互相频频握手。请问：握过奇数次手的人
数是奇数还是偶数？请说明理由。
例
5
、
五（
2
）班部分学 生参加镇里举办的数学竞赛，每张
试卷
有
50
道
试题
。评分 标准
是：答对一道给
3
分，不答的题，每道给
1
分，答错一道扣1
分。试问：这部分学生得分的
总和能不能确定是奇数还是偶数？
例
6
、
用
0
～
9
这十个数码组 成五个两位数，每个数字只用一次，要求它们的和是奇数，
那么这五个两位数的和最大是多少？
例
7
、
7
只杯子全部杯口朝上放在桌子上，每 次翻转其中的
2
只杯子。能否经过若干次
翻转，使得
7
只杯子全部杯 口朝下？
例
8
、
有
m
（< br>m≥2
）只杯子全部口朝下放在桌子上，每次翻转其中的（
m-1
）只杯子。经
过若干次翻转，能使杯口全部朝上吗？
例
9
、
一本论文集编入
15
篇文章，这些文章排 版后的页数分别是
1
，
2
，
3
，
…
，15
页。
如果将这些文章按某种次序装订成册，并统一编上页码，那么每篇文章的第一面是 奇数页码
的最多有几篇？
例
10
、
有大、
小两个盒子，
其中大盒内装
1001
枚白棋子和
10 00
枚同样大小的黑棋子，
小盒内装有足够多的黑棋子。阿花每次从大盒内随意摸出两枚棋子， 若摸出的两枚棋子同色，
则从小盒内取一枚黑棋子放入大盒内；若摸出的两枚棋子异色，则把其中白棋子 放回大盒内。
问：从大盒内摸了
1999
次棋子后，大盒内还剩几枚棋子？它们都是什 么颜色？
例
11
、
一串数排成一 行：
1
，
1
，
2
，
3
，
5
，
8
，
13
，
21
，
34
，
5 5
，
…
到这串数的第
1000
个数为止，共有多少个偶数？
例
12
、
在
7×
7
的正方形的方格表中 ，以左上角与右下角所连对角线为轴对称地放置棋
子，要求每个方格中放置不多于
1
枚 棋子，且每行正好放
3
枚棋子，则在这条对角线上的格
子里至少放有一枚棋子，这是为 什么？
例
13
、
对于左下表，每次使其中的 任意两个数减去或加上同一个数，能否经过若干次
后（各次减去或加上的数可以不同），变为右下表？为 什么？
例
14
、
左下图是一套房 子的平面图，
图中的方格代表房间，
每个房间都有通向任何一个
邻室的门。有人想从某 个房间开始，依次不重复地走遍每一个房间，他的想法能实现吗？
例
15
、
左下图是由
14
个大小相同的方格组成 的图形。试问能不能剪裁成
7
个由相邻两
方格组成的长方形？
例
16
、
在右图的每个
○
中填入一个自然数（可以相同），使得任意两个相邻的
○
中的数
字之差（大数减小数） 恰好等于它们之间所标的数字。能否办到？为什么？
例
17
、
下页上图是半张中国象棋盘，
棋盘上已放有一只 马。
众所周知，
马是走
“
日
”
字的。
请问：这只马 能否不重复地走遍这半张棋盘上的每一个点，然后回到出发点？
《奇偶性》习题分析与答案
例
1
、【分析与解】
本题当然可以先求出算式的和，
再来 判断这个和的奇偶性。
但如果能不计算，
直接分析
判断出和的奇偶性，那么解法将更加 简洁。根据奇偶数的性质（
2
）
，和的奇偶性只与加数
中奇数的个数有关，与 加数中的偶数无关。
1
～
1998
中共有
999
个奇数，< br>999
是奇数，奇
数个奇数之和是奇数。所以，本题要求的和是奇数。
例
2
、【分析与解】
等号左端共有
9
个数参加加 、减运算，其中有
5
个奇数，
4
个偶数。
5
个奇数的和或差 仍
是奇数，
4
个偶数的和或差仍是偶数，因为
“
奇数
+偶数
=
奇数
”
，所以题目的要求做不到。
例
3
、【分析与解】
假设这两个五位数的和等于
99999
，则有下式：
其中组成两个加数的
5
个数码完全相同。因为两个个位数相加，和不会大于
9+9=18
，
竖式中和的个位数是
9
，
所以个位相加没有 向上进位，
即两个个位数之和等于
9
。
同理，
十位、
百位、
千位
、万位
数字的
和也
都等于
9
。
所以组
成两
个加
数的
10
个数
码之
和等
于
9+9+9+9+9=45
，是奇数。
另一方面，
因 为组成两个加数的
5
个数码完全相同，
所以组成两个加数的
10
个数 码之和，
等于组成第一个加数的
5
个数码之和的
2
倍，是偶数。
奇数
≠
偶数，矛盾的产生在于假设这两个五位数的和等于
99999< br>，所以假设不成立，即
这两个数的和不能等于
99999
。
例
4
、【分析与解】
通常握手是两人的事。甲、乙两人握手，对于 甲是握手
1
次，对于乙也是握手
1
次，两
人握手次数的和是
2
。
所以一群人握手，
不论人数是奇数还是偶数，
握手的总次数一定是偶数。
把聚会的人分成两类：
A
类是握手次数是偶数的人，
B
类 是握手次数是奇数的人。
A
类中每人握手的次数都是偶数，所以
A
类人握手的总次数也是偶数。又因为所有人握
手的总次数也是偶数，偶数
-
偶数
=
偶数，所以
B
类人握手的总次数也是偶数。
握奇数次手的那部 分人即
B
类人的人数是奇数还是偶数呢？如果是奇数，那么因为
“
奇
数个奇数之和是奇数
”
，所以得到
B
类人握手的总次数是奇数，与前面得到的 结论矛盾，所