著名数学定理1
绝世美人儿
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2021年01月29日 14:20
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作文指导-夏天的雨
著名数学定理
1
著名数学定理
15
定理
15-
定理是由约翰
·
何顿
·
康威
(
John
Horton
Conway
，
1937-)
和
b erger
于
1993
年证明的定理，内容
为：
如果一个二次多项式 可以通过变量取整数值而表示出
1~15
的值
(
更严格的结论是只要表示出< br>1
，
2
，
3
，
5
，
6
，< br>7
，
10
，
14
，
15)
的话
(< br>例如
a
2
+b
2
+c
2
+d
2)
，该二次多项式可以通过变量取整数值而表示出所有正整数
.
6714(
黑洞数
)
定理
黑洞数又称陷阱数，是类具有奇 特转换特性的整数
.
任何一个数字不全相同整数，经有限“重排
求差”操作，总会得某 一个或一些数，这些数即为黑洞数
.
“重排求差”操作即把组成该数的数字重排后得到的最大< br>数减去重排后得到的最小数
.
或者是冰雹原理中的“
1
”黑洞数
.
举个例子，三位数的黑洞数为
495.
简易推导过程：随
便找个数，如< br>297
，三个位上的数从小到大和从大到小各排一次，为
972
和
27 9
，相减，得
693.
按上面做法再做一
次，得到
594
， 再做一次，得到
495.
之后反复都得到
495.
再如，四位数的黑洞数有< br>6174.
阿贝尔
-
鲁菲尼定理
定理定义：阿贝尔
-
鲁菲尼定理并不是说明五次或更高次的多项式方程没有解
.
事实上代数基本
定理说明任意非常数的多项式在复数域中都有根
.
然而代数基本定理并没有说明根的具体形式
.
通过数值方法可以计
算多项式的根的近似值，但数学家也关心根的精确值，以及它们 能否通过简单的方式用多项式的系数来表示
.
例如，
b
b
2
4
ac
任意给定二次方程
ax
+bx+c= 0
(
a
≠
0
)
，它的两个解可以用方程的系数来表示：r
1
,
2
.
2
a
2
这是 一个仅用有理数和方程的系数，
通过有限次四则运算和开平方得到的解的表达式，
称为其代数解
.
三次方程，
四
次方程的根也可以使用类似的方式来表示
.
阿贝尔
-
鲁菲尼定理的结论是：任意给定一个五次或以上的多项式方程：
a
n
x
n
a
n
1
x
n
1
a
1
x
a
0
0
n
5
,
a
n
0
，那么不存在一个通用的公式
(
求根公式
)
，使用
a
0
,
a
1
,
,
a
n
和有
理数通过有限次四则运算和开根号得到它的解
.
或者说，
当
n
大于等于
5
时，
存在
n
次 多项式，
它的根无法用自己的
系数和有理数通过有限次四则运算和开根号得到
.
换一个角度说，
存在这样的实数或复数，
它满足某个五次或更高次
的多项式方程，< br>但不能写成任何由方程系数和有理数构成的代数式
.
这并不是说每一个五次或以上的多项 式方程，
都
5
无法求得代数解
.
比如
x
2
0
的解就是
5
2
.
具体区分哪些多项式方程可 以有代数解而哪些不能的方法由伽罗瓦
给出，
因此相关理论也被称为伽罗瓦理论
.简单来说，
某多项式方程有代数解，
等价于说它对应的域扩张上的伽罗瓦
群是一个 可解群
.
对于一般的二次，
三次和四次方程，
它们对应的伽罗瓦群是二次，< br>三次和四次对称群：
2
,
3
,
4
，
它们都是可解群
.
但一般的五次方程对应的是五次对称群
5
，这是一个不可解群
.
当次数
n
大于等于
5
时，情况也是
如此
.
阿贝尔二项式定理
二项式定理可以用以下公式表示：
a
b
n
n
Cn
r
a
n
r
b
r
.
其中，
C
n
r
r
0
n
n
!
，
又有
r
等
r
!
n
r
!
记法，称为二项式系数， 即取的组合数目
.
此系数亦可表示为杨辉三角形
.
它们之间是互通的关系.
n
n
1
艾森斯坦因判别法
艾 森斯坦判别法是说：给出下面的整系数多项式
f
x
a
n
x
a
n
1
x
a
0
如果存在素数
p
，使得
p
不整除< br>a
n
，但整除其他
a
i
(
i=
0
，
1
，
...
，
n
-1)
；
p²
不整除
a
0
，那么
f
(
x< br>)
在有理数域上是不可约的
.
著名数学定理
1
阿基米德折弦定理
奥尔定理
离散数学中图论的一个定理
)
如果一个总点数至少为
3
的简单图
G
满足：
G
的 任意两个点
u
和
v
度数之和
著名数学定理
1
至少 为
n
，即
deg
(
u
)+
deg
(
v
)≥
n
，那么
G
必然有哈密顿回路
.
它描述了 简单图拥有哈密顿回路的一个充分条件
.
表达式
deg
(
u
)+
deg
(
v
)≥
n
→
G
有哈密顿通路 相关概念：
简单图：
没有重边和环的无向图
.
度数：
某点所连接的边 的数目
.
哈密顿
回路：经过图的所有的点的一条回路
.
阿基米德折弦定理（阿基米德中点定理）
AB
和
BC
是⊙
O
的两条弦
(
即
ABC
是圆的一条折弦
)
，
BC
>
AB
，
M
是弧
ABC
的中点，则 从
M
向
BC
所作垂线之垂足
D
是折弦
ABC
的中点，即
CD
=
AB
+
BD
.
折弦定义：从圆 周上任一点出
发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦
.
伯特兰·切比雪夫定理
伯特兰·切比雪夫定理说明：若整数
n
> 3
，则至少存在一个质数
p
，符合
n
<
p
< 2
n
−
2.
另
一个稍弱说法是：对于所有大于
1
的整数
n
，存在一个质数
p
，符合
n
<
p
< 2
n
.
贝亚蒂定理
定义一个 正无理数
r
的贝亚蒂列
B
r
为
B
r
=[< br>r
]
，
[2
r
]
，
[3
r
]
，
...=[
nr
](
n
≥
1)
，这里 的
[ ]
是取整函数
.
若然有两
个正无理数
p
，< br>q
且
1
1
p
1
，
(< br>即
q
)
，则
B
p
=[
np](
n
≥
1)
，
B
q
=[
nq
](
n
≥
1)
构成正整数集的一个分划：
p
q
p
1
.
B
p
B
q
,
B
p
B
q
Z
布利安桑定理
布利安桑定理叙述如下：如果六边形的边交替地通过两个定点
P
和
Q
，则连接六边形的相对的顶点
的三条对角线是共点的
.
布列安桑
(
Brainchon
)
定理是一个射影几何中的著名定理，它断言六条边和一条圆锥曲线相切
的六边形的三条对角线共点，此点称为该六边形的布列安桑点.
布朗定理
设
P(x)
为满足
p
≤
x
的素数数目，
使得
p
+ 2
也是素数
(
也就是说，
P
(
x
)
是孪生素数的数目
).
那么，
对于
x
≥
3
，
我们有：
P
x
c
x
log
log
x
< br>2
，其中
c
是某个常数
.
2
log
x
著名数学定理
1
婆罗摩笈多定理
裴蜀定理
(
贝祖定理
)
对任何 整数
a
、
b
和它们的最大公约数
d
，
关于未知数< br>x
和
y
的线性不定方程
（称为裴蜀等式）
：
著名数学 定理
1
若
a
,
b
是整数
,
且
(
a
,
b
)=
d
，
那么对于任意的整数
x< br>,
y
,
ax
+
by
都一定是
d
的倍 数，
特别地，
一定存在整数
x
,
y
，
使
a x
+
by
=
d
成立。
著名数学定理
1
半角定理
半角定理
做三角
形内切圆，
在
AB
，
AC
，
BC
边上的切
拿破仑定理
著名数学定理
1
点分别为
D
，
E，
F
，令
s
a
b
c< br> (
其中
A
，
B
，
C
为三角形内角的符号< br>)
，则有
2
r
s
a
tan
B
1
2
s
b
A1
A
B
C
s
b
tan
s
c
tan
，
tan
2
s
a
2
2
2
< br>s
a
s
b
s
c
，
s
tan
s
a
s
b
s
c
，
tan
C
s
2
1
s
c
s
a
s
b
s< br>
c
.
s
代数学基本定理
：
任何复系数一元
n
次多项式
方程在复数域上至少有一根
(
n
≥1)
，
由此推出，
n
次复系数多项式方程
在复数域内有且只有
n
个根
(
重根 按重数计算
).
简介：
(
n
≥
1)
代数学基本定 理说明，任何复系数一元
n
次多项式方程
在复数域上至少有一根
.
由 此推出，
n
次复系数多项式方程在复数域内有且只有
n
个根
(
重根按重数计算
).
有时这个定理表述为：
任何一个非零的一元
n
次复系数多项式，
都正好有
n
个复数根
.
这似乎是一个更强的命题 ，
但
实际上是
“
至少有一个根
”
的直接结果，
因为 不断把多项式除以它的线性因子，
即可从有一个根推出有
n
个根
.
尽 管这
个定理被命名为“代数基本定理”，但它还没有纯粹的代数证明，许多数学家都相信这种证明不存在
.
另外，它也
不是最基本的代数定理；因为在那个时候，代数基本上就是关于解实系 数或复系数多项式方程，所以才被命名为代
数基本定理
.
陈氏定理
任何一个充分大的偶数都可以表示成一个素数和一个不超过两个素数的乘积之和
.
婆罗摩笈多定理
若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的 直线将平分对边
.
如图，圆内
接四边形
ABCD
的对角线
A C
⊥
BD
，垂足为
M
.
EF
⊥
BC
，且
M
在
EF
上
.
那么
F
是
A D
的中点
.
拿破仑定理
拿破仑定理由拿破仑发现：
“< br>以三角形各边为边分别向外侧作等边三角形，则他们的中心构成一个等边
三角形
.
”
该等边三角形称为拿破仑三角形
.
如果向内
(
原三角形不为等边 三角形
)
作三角形，结论同样成立
.
牛顿定理
特指平面几何中的牛顿定理
(
Newton
'
s
Theorem
)
牛顿线：和完全四边形
(
定义：我们把两两相交，且没有三
线共点的四条直线及它们的六个交点所构成的图形，
叫做完全四边形
)
四边相 切的有心圆锥曲线的心的轨迹是一条直
线，是完全四边形三条对角线中点所共的线
.(1)完全四边形三条对角线中点共线；
(2)
圆外切四边形
的两条
对角线的
中点，及该圆的圆心，
三点共线；
(3)
圆的外切四边形的对角线的交 点和以切点为顶点的四边形对角线交点重合
.
清宫定理
设
P，
Q
为
△
ABC
的外接圆上异于
A
，
B
，
C
的两点，
P
关于三边
BC
，
CA< br>，
AB
的对称点分别是
U
，
V
，
W
，且
QU
，
QV
，
QW
分别交三边
BC
，
CA
，
AB
或其延长线于
D
，
E
，
F
，则
D
，
E
，
F
在同一直线上
.
著名数学定理
1
清
宫
定
理
西姆松定理
中线定理
(
阿波罗尼乌斯定理，
重心定理
)
三角 形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半的平方与该边中线平方
燕
著名数学定理
1
的和的两倍
.
燕尾定理
< br>在三角形
ABC
中，
AD
，
BE
，
CF相交于同一点
O
，有
S
△
AOB
∶
S
△
AOC
=
BD
∶
CD
，
S
△
A OB
∶
S
△
COB
=
AE
∶
CE
，
S
△
BOC
∶
S
△
AOC
=
B F
∶
AF
.
共角定理
若两个三角形有一组对应角相等或互补，则它们的面积比等于对应两边乘积的比
.
著名数学定理
1
九点圆
张角定理
在
△
ABC
中，
D
是
BC
上的一点，连结
AD
.
那么
sin
BAD
sin
CAD
sin
BAC
.
AC
AB
AD
著名数学定理
1
西姆松定理
过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线上的垂线，
则三垂足共线
. (
此线常称为
西姆松线
).
西姆松定理的逆定理为：若一点在三角形三边所在 直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上
.
九点圆
三角形三边的 中点，三高的垂足和三个欧拉点
(
联结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点
)
九点共圆
.
通常
称这个圆为九点圆
(
nine
-
point
circle
)
，
或欧拉圆，
费尔巴哈圆
.
九点 圆是一个更一般的定理：
垂心四面体各棱的中点，
各棱相对于对棱的垂心
12
点共球的一个特例
.
当一个顶点被压入所对面的时候，
12
点的共球就退化为
9
点共圆
.
著名数学定理
1
蝴蝶定理
蝴蝶定理
设
M
为圆内弦
PQ
的中点，
过
M
作弦
AB
和
CD
.
设
AD
和< br>BC
各相交
PQ
于点
X
和
Y
，
则< br>M
是
XY
的中点
.
著名数学定理
1
坎迪定理
AB
是圆内的一段弦，
P
是弦
AB上任意一点，
C
，
D
是圆上的任意两点，连接
CP
，< br>DP
并延长分别交圆于
F
，
E
，连接
CE
，
DF
分别交
AB
于
G
，
H
，设
A P
=
a
，
BP
=
b
，
GP
=x
，
HP
=
y
，则
(1/
a
)-(1 /
b
)=(1/
x
)-(1/
y
) .
塞瓦定理
塞瓦定理是指在
△
ABC
内任取一点
O
，
延长
AO
，
BO
，
CO
分别交对边于< br>D
，
E
，
F
，
则
塞瓦线
(
切氏线
)
三角形一个顶点与其对边上一点的连线
托勒密定理
圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积
.
原文：
圆的内接四边形中，
两对角线所包
矩形的面积等于
一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和
.
从这个定理可以推出正 弦，
余弦的和
差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质
.
梅涅劳斯定理
当直线交△
ABC
三边所在直线
BC
，
AC
，
AB
于点
D
，
E
，F
时，
BD
CE
AF
1
.
CD
AE
BF
AF
BD
CE
< br>
1
.
FB
DC
EA
.
几何定理
欧拉定理
在数论中，也称费马
-
欧拉定理，若
n
，
a
为正整数，且
n
，
a
互质，则：
著名数学定理
1
内容：
(1)
设三角形的外接圆半径为
R
，内切圆半径 为
r
，外心与内心的距离为
d
，则
d
2
=
R
2
-2
Rr
．
(2)
三角形
ABC
的< br>垂心
H
，九点圆圆心
V
，重心
G
，外心
O< br>共线
，称为欧拉线
.
拓扑公式：
V
+
F< br>-
E
=
X
(
P
)
，
V
是多 面体
P
的顶点个数，
帕普斯定理
F
是多面体
P< br>的面数，
E
是多面体
P
的棱的条数，
X
(
P
)
是多面体
P
的欧拉示性数
.
如果
P
可以 同胚于一个球面
(
可以
通俗地理解为能吹胀成一个球面
)
，
那么
X
(
P
)=2
，
如果
P
同胚于一个接 有
h
个环柄的球面，
那么
X
(
P
)=2-2
h
.
X
(
P
)
叫做
P
的拓扑不变量，是 拓扑学研究的范围
.
复变函数定理内容：欧拉定理：
e
ix
=
cosx
+
isinx
(
e
是自然对数的底，
i
是虚数
单位
).
它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系 ，它在复变函数论里占有非常重要的
ix
ix
ix
ix
e
e
e
e
sin
,
cos
x
地位
.
将公式里的
x
换成
-
x
，
得到：
e
-
ix
=
cosx
-
isinx
，
然后采用两式相加减的方法得到：
.
2
i< br>2
这两个也叫做欧拉公式
.
将
e
ix
=
co sx
+
isinx
中的
x
取作
π
就得到：
e
i
π
+1=0.
这个等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个 公式，它将数学里最重要的几个数字联系到了一起：两个
超越数：自然对数的底
e
，圆 周率
π
，两个单位：虚数单位
i
和自然数的单位
1
，以及数 学里常见的
0.
数学家们评价
它是
“
上帝创造的公式
”，我们只能看它而不能理解它
.
著名数学定理
1
费马小定理
a
是不能被质数
p
整除的正整数
(
即：假如
p是质数，且
gcd
(
a
，
p
)=1)
，则有< br>a
(
p
-1)
≡1(
mod
p
) .
即：假如
a
是整数，
p
是质数，且
a
，
p
互质
(
即两者只有一个公约数
1)
，那么
a
的< br>(
p
-1)
次方除以
p
的余数恒等于
1.
帕普斯定理
直线
l
1
上依次有点
A
，< br>B
，
C
，直线
l
2
上依次有点
D
，
E
，
F
，设
AE
，
BD
交于
P< br>，
AF
，
DC
交于
Q
，
BF
，EC
交于
R
，则
P
，
Q
，
R
共线
.
斯台沃特定理
任意三角形
ABC
中，
D
是边
BC
上一点，连接
AD
，则
著名数学定理
1
三余弦定理
AB
2
CD
AC
2
BD
AD
2
BC
BD
CD
BC
.
设< br>BC
=
a
，
AC
=
b
，
AB
=
c
，
BD
=
u
，
CD
=
v< br>，
AD
=
w
，
则
著名数学定理
1
c
2
v
b
2
u
w
2
a
uva
.
斯坦纳
-
雷米欧司定理
两角的平分线相等的三角形是等腰三角形
.
调和四边形
调和四边 形是指对边乘积相等的圆内接四边形
.
性质：
1
，
调和四边形的其中一条对角线，与过其余两点的四边形外接圆的两条切线，这三条直线共点；
2
，
设调和四边形
ABCD
中，对角线
AC
中点为
M
，则△
AMB
∽△
DMA
∽△
DCB
，
△
BMC
∽△
CMD
∽△
BAD
；
3
，设调和四边形
ABCD
中，对角线
AC
与过
B
，
D
两< br>点的四边形
ABCD
外接圆的切线所共的点记为
P
，
记
AP
交
BD
于
Q
，
则
AQ
为
△
ABD
的一条陪位中线
(
三角形的一条中线关于与其共顶点的内角平分线的对 称直线在三
角形内所成的线段叫做三角形的陪位中线
)
，
A
，
Q
，
C
，
P
四点为调和点列；取对角
线
AC中点
M
，设四边形
ABCD
外接圆圆心为
O
，则
B
，
P
，
D
，
O
，
M
五点共圆
.
糖水不等式
a
克糖水中有
b
克糖
(
a
>0
，
b
>0
，
且
a
>
b
)
，
则糖的质量和糖水的质量比为：
，
若再添加
c克糖
(
c
>0)
，则糖的质量和糖水的质量比为：
糖后，糖水会 更甜，于是得出一个不等式：
式
”
.
糖水不等式为不等式中的难点
.
费马大定理
当整数
n
>2
时，关于
x
，
y
，
z
的方程
x
n
+
y
n
=
z
n
没有正整数解
.
莫利定理
也称为莫雷角三分线定理
.
将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相交 得到一个交点，则
这样的三个交点可以构成一个正三角形
.
这个三角形常被称作莫利正 三角
形
.
三余弦定理
设二面角
M
－
A B
－
N
的度数为
，在平面
M
上有一条射线
AC
，
它
和
棱
AB
所
成
角
为< br>
，
和
平
面
N
所
成
的
角< br>为
b
a
b
c
.
生活经验告诉我们：添加< br>a
c
b
c
b
(
a< br>>
b
>0
，
c
>0).
趣称之为
“
糖水不等
a
c
a
，
则
si n
sin
sin
(
如 图
).(
注明：折叠角公式
(
又名：三余弦定理
)
以及三正弦定理的应用为立体几何的解题带来了许多方便
.)
若已知二面角其中
一个半 平面内某直线与二面角的棱所成的角，以及该直线与另一半平面所
成的角，则可以求该二面角的正弦值< br>.
密克定理
是几何学中关于相交圆的定理
.1838
年，奥古斯特< br>·
密克
(
Auguste
Miquel
)
叙述并证明了数条相关定理
.
许多有用的定理可由其推出
.
定理陈述：
三圆定理
：设三个圆
C
1
，
C
2
，
C
3
交于
一点
O
，而
M
，
N
，
P
分别是
C
1
和
C
2
，
C
2
和
C
3
，
C
3
和
C
1
的另一交点
.
设
A
为
C
1< br>的点，直线
MA
交
C
2
于
B
，
直线
P
A
交
C
3
于
C
.
那么
B
，
N
，
C
这三点共线
.
逆 定理
：如果是三角形，
M
，
N
，
P
三点分别在边
AB
，
BC
，
CA
上，那么
△
AMP
，
△
BMN
，
△
CPN
的外接圆交于一点
O
.
完全四线形定理：
如果
ABCDEF
是完全四线形，那么三角
形的外接圆交于一点
O
，称为密克点
.
四圆定理：
设
C
1
，
C
2
，
C
3
，
C
4
为 四个圆，
A
1
和
B
1
是
C
1
和< br>C
2
的交点，
A
2
和
B
2
是
C
2
和
C
3
的交点，
A
3
和
B
3
是
C
3
和
C
4
的交点，
A< br>4
和
B
4
是
C
1
和
C
4< br>的交点
.
那么
A
1
，
A
2
，
A
3
，
A
4
四点共圆
当且仅当
B
1
，
B
2
，
B
3
，
B
4
四点共圆
.
五圆定理：
设
ABCDE
为任意五边形，五点< br>F
，
G
，
H
，
I
，
J
分别是
EA
著名数学定理
1
和
BC
，
AB
和
CD
，
BC
和
DE
，
CD
和
EA
，
DE
和
AB
的交 点，那么△
ABF
，△
BCJ
△
CDI
，△DEH
，△
AEG
的外接圆的五个不在五边形上的交点共圆，不穿过这些交点的圆 也穿过五个外接圆的圆心
.
皮克定理
一张方格纸上，上面画着纵横两组平 行线，相邻平行线之间的距离都相等，这样两组平行线的交点，就
是所谓格点
.
如果取 一个格点做原点
O
，取通过这个格点的横向和纵向两直线分别做横坐标轴
OX
和纵坐标轴
OY
，
并取原来方格边长做单位长，建立一个坐标系
.
这 时前面所说的格点，显然就是纵横两坐标都是整数的那些点
.
如图
中的
O，
P
，
Q
，
M
，
N
都是格点
.
由于这个缘故，我们又叫格点为整点
.
一个多边形的顶点如果全是格点，这多边形< br>就叫做格点多边形
.
有趣的是，
这种格点多边形的面积计算起来很方便，
只要数一下图形边线上的点的数目及图内的
点的数目，就可用公式算出
.
这个公式是 皮克
(
Pick
)
在
1899
年给出的，被称为“皮克定理 ”，这是一个实用而有趣的
定理
.
给定顶点坐标均是整点
(
或正方形 格点
)
的简单多边形，皮克定理说明了其面积
S
和内部格点数目
n< br>，边上格点
数目
s
的关系：
S
n
s
1
(
其中
n
表示多边形内部的点数，
s表示多边形边界上的点数，
S
表示多边形的面积
)
2
抽屉原理
(
鸽巢原理
，
重叠原理
，
狄利克雷抽屉原理
)
第一抽屉原理：
原理
1
：
把多于
n
+1
个的物体放到
n
个抽屉
里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件.
原理
2
：把多于
mn
(
m
乘
n< br>)+1(
n
不为
0)
个的物体放到
n
个抽屉里，则< br>至少有一个抽屉里有不少于
(
m
+1)
的物体
.
原理
3
：
把无穷多件物体放入
n
个抽屉，
则至少有一个抽屉里
< br>有无穷个物
体
.
第二抽屉原理：
把
(
mn
－
1)
个物体放入
n
个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有
(
m
—
1)
个物体
(
例如，将
3×
5-1=14个物体放入
5
个抽屉中，则必定有一个抽屉中的物体数少于等于
3-1=2).
德
·
摩根定律
在命题逻辑和逻辑代数中，德
·
摩 根定律
(
或称德
·
摩根定理
)
是关于命题逻辑规律的一对法 则
.
在命题逻
辑中存在着下面这些关系：非
(
P
且
Q
)=(
非
P
)
或
(
非
Q
)；非
(
P
或
Q
)
=
(
非
P
)
且
(
非
Q
).
形式逻辑中此定律表达形式：< br>
P
Q
P< br>
Q
，
P< br>
Q
P
< br>
Q
；
在
集
合
论
中
：< br>
A
B
C
A
C
< br>B
C
n
1
n
1
，
< br>A
B
C
A
C
B< br>C
；在概率论中：
A
B
A
B
，
A
B
A
B
，
An
An
，
An
An
.
n
1
n
1
迪尼定理
在数学中，迪尼定理叙述如下：设
X
是一个紧致的拓扑空间，
f
(
n
)
是
X
上的一个单调递增的连续实值
函数列，即使得对任意
n
和
X
中的任意
x
都有
f
n
(
x
)
≤
f
n
+1
(
x
).
如果这个函数列逐点收敛到一个连续的函 数
f
，那么
这个函数列一致收敛到
f
.
这个定理 以意大利数学家乌利塞
·
迪尼命名
.
对于单调递减的函数列，定理同样成立< br>.
这个定
理是少数的由逐点收敛可推出一致收敛的例子之一，
原因是由单调性这 个更强的条件
.
注意定理中的
f
一定要是连续
的，
否则可以 构造反例
.
比如说在区间
[0
，
1]
上的函数列
{
x
n
}.
这是一个单调递减函数，
逐点收敛到函数
f
：
当
x
属
于
[0
，
1)
时
f
(
x
)
等于
0
，等于
1.
但这个函数列不是一致收敛的，因为
f
不连续
.
等周定理
等周定理，以及其面积之间的关系
.
其中的
“< br>等周
”
指的是周界的长度相等
.
等周定理说明在周界长度相等的
封闭几何形状之中，
以圆形的面积最大；
另一个说法是面积相等的几何形状之中，
以 圆形的周界长度最小
.
它可以以
不等式表达：若
P
为封闭曲线的周界 长，
A
为曲线所包围的区域面积，
4
A
P等周问题有许多不同的推广，例
如在各种曲面而不是平面上的等周问题，
以及在高维的空间 中给定的
“
表面
”
或区域的最大
“
边界长度
”问题等
.
在物理
中，等周问题和跟所谓的最小作用量原理有关
.
一个直观的表现就是水珠的形状
.
在没有外力的情况下
(
例如失重的太
空舱里
)
，水珠的形状是完全对称的球体
.
这是因为当水珠体积一定时，表 面张力会迫使水珠的表面积达到最小值
.
根
据等周定理，最小值是在水珠形状为球状时 达到
.
多项式余数定理（余数定理）
多项式余数定理是指一个多项式
f
(
x
)
除以一线性多项式
x
-
a
的余数是
f
(
a
).
例
2
著名数学定理
1
5
x
3
4
x
2
12
x
1
3
2
如，
的余数是
5
3
4
3
12
3
1
136
.
x
3
棣
莫
弗
定
理
设
两
个
复
数
(
用
三
角
函
数
形
式
表
示
)
Z
1
r
1
cos
1
i
sin
1< br>
，
Z
2
r
2
cos
2
i
sin
2
，
则：
Z
1
Z
2
r
1
r
2
cos
1
2
i
sin
1
2
.
棣莫弗
-
拉普拉斯定理
棣莫弗
—
拉普拉斯中心极限定理，即二项分布以正态分布为其极限分布定律
.
设随机变量
< br>
1
Y
np
η
n
= (
n
=1
，
2…
)
Y
n
B
n
,
p
0
p
1
,< br>n
1
，则对任意实数
x
有
l im
P
n
x
n
np
1
p
2
x
e
t2
dt
2
x
.
笛卡尔定理
(1)
若平面上四个半径为
r
1
，< br>r
2
，
r
3
，
r
4
的圆两两相切于 不同点，则其半径满足以下结论：
(1)
若四圆两两
4
4
4
1
1
1
1
1
1
1
2
2
外切，
则
；
若半径为
r
，
r
，
r
的圆内切于半径为
r
的圆中，
则
.(2)
1< br>2
3
4
2
2
r< br>
r
r
r
r
r
r
i< br>
1
i
i
1
i
i
< br>1
i
1
2
3
4
5< br>
5
1
1
3
若五个球的半径 分别是
r
i
(
i
=1
，
2
，
.. .
，
5)
，满足任意一个球与另外四个球外切，则
.
< br>
2
r
i
1
r< br>i
i
1
i
2
2
2< br>著名数学定理
1
笛沙格定理
凡·奥贝尔定理
3
m
3
m
2
1
2
多项式定理
< br>
a
1
a
2
a< br>m
的展开式的通项是
T
C
n
1
C
n
所以多项式的展开
x
1
C
n
x
1
x
2
C
x
m
a1
a
2
a
3
a
m
，
nx
x
x
x
x
x
x
x