著名的15个平面几何定理
温柔似野鬼°
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2021年01月29日 14:30
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团支书职责-挽救的意思
1
、欧拉（
Euler
）线：
同一三角形的垂心、重心、 外心三点共线，这条直线称为三角形的欧拉线；且外心与重心的距离等于垂心与
重心距离的一半
证明
：
利用向量，简单明了
设
H,G,O,< br>分别为
△
ABC
的
垂心
、重心、外心
.
，< br>D
为
BC
边上的中点。
∵
向量
OH=
向量
OA+
向量
AH
=< br>向量
OA+2
向量
OD………………………………………………………………… …
（
1
）
=
向量
OA+
向量
O B+
向量
BD+
向量
OC+
向量
CD
=
向量
OA+
向量
OB+
向量
OC
；
而向量
OG=
向量
OA+
向量
AG
=
向 量
OA+1/3
（向量
AB+
向量
AC
）
………… ………………………………………
（
2
）
=1/3[
向量
OA+
（向量
OA+
向量
AB
）
+
（向量
OA+
向量
AC
）
]
=1/3
（向量
O A+
向量
OB+
向量
OC
）
.
∴向量
OG=1/3
向量
OH
，
∴
O< br>、
G
、
H
三点共线
且
OG=1/3OH
。< br>
2
、九点圆：
任意三角形三边的中点，
三高的垂足及三顶 点与垂心间线段的中点，
共九个点共圆，
这个圆称为三角形的九
点圆；其圆心为三角形 外心与垂心所连线段的中点，其半径等于三角形外接圆半径的一半。
证 明
：
如右图所示，
△
ABC
的
BC
边垂足为
D
，
BC
边中点为
L
。证法为以垂心
H
为
位似中心
，
1/2
为
位似比
作
位似变换。
连结
HL
并延长至
L'
，使
LL'=HL
；做
H
关于
BC
的对称点
D'
。< br>
显然，∠
BHC=
∠
FHE=180°
-
∠
A
，所以∠
BD'C=
∠
BHC=180°
-
∠
A
，从而
A
，
B
，
D'
，
C
四点 共圆。
又因为
BC
和
HL'
互相平分于
L
，所以四边形
BL'CH
为平行四边形。故∠
BL'C=
∠
BHC =180°
-
∠
A
，从而
A
，
B
，
L'
，
C
四点共圆。
综上，
A
，
B< br>，
C
，
D'
，
L'
五点共圆。显然，对于另外两边< br>AB
，
AC
边上的
F
，
N
，
E，
M
也有同样的结论成
立，故
A
，
B
，
C
，
D'
，
L'
，
F'
，
N'
，
E'
，
M'
九点共圆。此圆即
△
ABC
的外接圆 ⊙
O
。
接下来做
位似
变换，做法是所有的点（⊙
O
上的九个点和点
O
本身）都以
H
为
位似中心
进行 位似比为
1/2
的位似变换。那么，
L'
变到了
L
（因为< br>HL'=2HL
），
D'
变到了
D
（因为
D'
是
H
关于
BC
的对称点），
B
变到了
Q
，
C
变到了
R
（即垂心与顶点连线的中点）。其它各点也类似变换。
O
点变成了
OH
中点
V
。
位似变换将圆仍映射为 圆
（容易用向量证明）
，
因此原来在⊙
O
上的九个点变成了在⊙V
上的九个点，
且⊙
V
的半径是⊙
O
的一半。
这就证明了三角形三边的中点，三高的
垂足
和三个
欧拉点
都在一个圆 上。
3
、费尔马点：
已知
P
为锐角△
ABC
内一点，当∠
APB
＝∠
BPC
＝∠
CPA
＝
120
°时，
PA
＋
PB
＋
PC
的值最 小，这个点
P
称
为△
ABC
的费尔马点。
证明
：
如图，以
△
ABC
三边为边向外作等边
△
ABD
、
△
BCE
、
△
ACF
，
连接
CD
、
BF
、
AE
交于点
O
，试 证：
O
是费马点。
证明：在
△
ACD
、
△
ABF
中，
AD=AB,
∠
DAC=
∠
BAF,AC=AF
∴△
ACD
≌△
ABF(SAS)
∴∠
ADC=
∠
ABF
∴
A
、
B
、
O
、
D
四点共圆
。
∴∠
AOB=120°
。
同理可得，∠
AOB=
∠
AOC=
∠
BOC=120°
。
过点
A
、
B
、
C
作
OA
、
OB
、
OC
的
垂线
交于三点
R
、
S
、
T
，易 知
△
RST
是
正三角形
。
在
△
ABC
内作异于
O
一点
G
，作
RS
、
ST
、
RT
的垂线
GX
、
GY
、
GZ
，连接
GA
、
GB
、
GC
。
易用
面积法
得：
OA+OB+OC=GX+GY+GZ
。
∵点到线之间，垂线段最短，
∴
OA+OB+OC=GX+GY+GZ
O
是费马点。
4
、塞瓦（
Ceva
）定理：
在△
ABC
中，过△
ABC
的顶点作相交于一点
P
的直线，分别交边
BC、
CA
、
AB
与点
D
、
E
、
F
，则
；其逆亦真
证明
：
同理
以上三式相乘，得
5
、密格尔（
Miquel
）点：
若
AE
、
AF
、
ED
、
FB
四条直线相交于
A
、
B
、
C
、
D
、
E
、
F
六点，构成四个三角形，它们是△
ABF
、△
AED
、
△
B CE
、△
DCF
，则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点。
证明
：
我们可以反过来思考这个问题，设
M
是
△
ABC
外接圆上任意一点，
D
、
E
、
F
分 别是
AB
、
BC
、
CA
直线
上的点，如果使得D
、
B
、
M
、
E
四点共圆，
C
、
F
、
M
、
E
四点共圆，
A
、
F
、
M
、
D
四点共圆，那么
D
、
E
、
F
三点必然共线。
证明起来也很简单。只需要证明∠
DEB=
∠
CEF
即可。
∵
A
、
B
、
M
、
C
四点共圆
∴∠
DBM =
∠
FCM
∵
A
、
F
、
M
、
D
四点共圆
∴∠
BDM =
∠
CFM
即
△
MBD
∽△
MCF
，∠
BMD =
∠
CMF
；
∵
D
、
B
、M
、
E
四点共圆
∴∠
DEB=
∠
BMD
∵
C
、
F
、
M
、
E
四点共圆
∴∠
CEF =
∠
CMF
∴∠
DEB=
∠
CEF
，即
D
、
E
、
F
三点共线。
6
、葛尔刚（
Gergonne
）点
:
△
ABC
的内切圆分别切边
AB
、
BC
、
CA
于点
D
、
E
、
F
，则
AE
、
BF、
CD
三线共点，这个点称为葛尔刚点。
证明
：< br>∵
AF=AE,BF=BD,DC=DE
（
切线长定理
）
∴
(AF/BF)×
(BD/CD)×
(CE/AE)=1
∴AD
、
BE
、
CF
三线共点（
赛瓦定理
的逆定 理）
7
、西摩松（
Simson
）线：
已知< br>P
为△
ABC
外接圆周上任意一点，
PD
⊥
BC，
PE
⊥
ACPF
⊥
AB
，
D
、E
、
F
为垂足，则
D
、
E
、
F
三点共线，
这条直线叫做西摩松线。
证明
：
已知：< br>ΔABC
外接圆上有一点
P
，过
P
向三边所在直线作垂线，垂 足分别是
X
、
Y
、
Z
，
求证：
X
、
Y
、
Z
三点共线。
证明：
如图，连接
PB
、
PC
∵∠
AYP=
∠
BXP=90°
∴
A
、
Y
、
P
、
X
四点共圆，∠
AYX=
∠APX
同理
C
、
Z
、
Y
、
P
四点也共圆
∴∠
ZYC=
∠
CPZ
在
ΔAXP
和
ΔCZP
中
∠
BXP=9 0°
=
∠
CZP
，∠
PAX=
∠
PCZ
∴∠
APX=
∠
ZPC
，∠
AYX=
∠
ZYC
∵∠
AYX+
∠
XYC=180°
∴∠
ZYC+
∠
XYC=180°
∴
X
、
Y
、
Z
三点在同一条直线上