大一上 高数定理
绝世美人儿
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2021年01月29日 14:36
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教子心得-明月千里寄相思简谱
一！
函数与极限
1
、
函数的有界性
在定义域内有
f(x)
≥
K1
则函 数
f(x)
在定义域上有下界，
K1
为下界；如果有
f(x)
≤
K2
，则有上
界，
K2
称为上界。
函数
f(x )
在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。
2
、
函数的单调性、奇偶性、周期性（指最小正周期）
3
、
数列的极限
定理
(
极限的唯一性
)
数列
{xn}
不能同时收敛于两个不同的极限。
定理（收敛数列的 有界性）如果数列
{xn}
收敛，那么数列
{xn}
一定有界。
如
果数列
{xn}
无界，那么数列
{xn}
一 定发散；但如果数列
{xn}
有界，却不能断定数列
{xn}
一
定收 敛，例如数列
1
，
-1
，
1
，
-1
，（
-1
）
n+1…
该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收
敛的必要条件而不是充分条件。
定理（收敛数列与其子数列的关系）如果数列
{xn }
收敛于
a
，那么它的任一子数列也收敛于
a
。
●
如果数列
{xn}
有两个子数列收敛于不同的极限，
那 么数列
{xn}
是发散的，
如数列
1
，
-1
，1
，
-1
，
（
-1
）
n+1
…中子数 列
{x2k-1}
收敛于
1
，
{xnk}
收敛于
- 1
，
{xn}
却是发散的；同时一个发散的
数列的子数列也有可能是收敛的。
4
、函数的极限
函数极限的定 义中
0<|x-x0|
表示
x
≠
x0,
所以
x→
x0
时
f(x)
有没有极限与
f(x)
在点
x0
有没有
定义无关。
定理（极限的局部保号性）如果
lim ( x
→
x0)
时
f(x)=A
，而且
A>0
（或A<0
）
，就存在着点那么
x0
的某一去心邻域，当
x
在该邻域内时就有
f(x) >0
（或
f(x) >0
）
，反之也成立。
●
函数
f(x)
当
x
→
x0
时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等， 即
f(x0-0)= f(x0+0)
，若不相等则
lim f(x)
不存在。
●
一般的说，如果
lim
（
x
→∞）
f(x)=c
，则直线
y=c
是函数
y= f(x)
的图形 水平渐近线。如果
lim
（
x
→
x0
）
f(x)=
∞，则直线
x=x0
是函数
y= f(x)
图形的铅直渐近线。
5
、
极限运算法则
定理
有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无 穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的
乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；
定理
如果
F1
（
x
）≥
F2
（
x
）
,
而
lim F1 (x)= a
，
lim F2 (x)= b
，那么
a
≥
b
。
6
、
极限存在准则
●
两个重要极限
lim
（
x
→
0
）
（
sinx/x
）
=1
；
lim
（
x
→∞）
（
1+1< br>/x
）
x=1
。
●
夹逼准则
如果数列
{xn}
、
{yn}
、
{zn}
满足下列 条件：
yn
≤
xn
≤
zn
且
lim yn = a
，
lim zn = a
，
那么
lim xn = a
，对于函数该准则也成立。
●
单调有界数列必有极限。
7
、
函数的连续性
●
设函数
y=
f(x)
在点
x0
的某 一邻域内有定义，如果函数
f(x)
当
x
→
x0
时的极限存 在，且等
于它在点
x0
处的函数值
f(x0)
，
即
lim
（
x
→
x0
）
f(x)= f(x0)< br>，
那么就称函数
f(x)
在点
x0
处连续。
●
不连续情形：
1
、在点
x=x0
没有定义；< br>2
、虽在
x=x0
有定义但
lim
（
x
→< br>x0
）
f(x)
不存在；
3
、虽在
x=x 0
有定义且
lim
（
x
→
x0
）
f(x)
存在，但
lim
（
x
→
x0
）
f(x)
≠
f(x0)
时则称函数在
x0
处不连续或间断。
●
如果
x0
是函数
f(x)
的间断点，但左极限 及右极限都存在，则称
x0
为函数
f(x)
的第一类间
断点（左右极 限相等者称可去间断点，不相等者称为跳跃间断点）
。非第一类间断点的任何
间断点都称为第二 类间断点（无穷间断点和震荡间断点）
。
●
定理
有限个在某点连续的函数的和、积、商（分母不为
0
）是个在该点连续的函数。
●
定理
如果函数
f(x)
在区间
Ix
上单调增加或减少且连续，那么它的反函数
x= f(y)
在对应的
区间
Iy={ y| y = f(x),x
∈
I x}
上单调增加或减少且连续。反三角函数在他们的定义域内都是连续
的。
●
定理（最大值最小值定理）在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小 值。
如果函数在开区间内连续或函数在闭区间上有间断点，
那么函数在该区间上就不一定有最大
值和最小值。
●
定理（有界性定理）在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界，即
m
≤
f(x)
≤
M
。
●
定理< br>（零点定理）
设函数
f(x)
在闭区间
[a,b]
上连续，< br>且
f(a)
与
f(b)
异号
（即
f(a)
×
f(b)<0）
，
那么在开区间（
a,b
）内至少有函数
f(x)
的 一个零点，即至少有一点
ξ
（
a<
ξ
f(
ξ
)=0
。
●
定理
（介值定理）设函数
f(x)
在闭区间
[a,b]
上连续，
且在这区间的端点 处取不同的值
f(a)=A
，
f(b)=B
，那么对于
A
与
B
之间的任一数< br>C
，在开区间（
a,b
）内至少有一点
ξ
使
f(ξ
)= C
，
（
a<
ξ
。
●
推论
在闭区间上连续的函数必取得介于最大值
M与最小值
m
之间的任何
值。
第二章
导数与微分
1
、
导数存在的充分必要条件
●
函数
f(x)
在点
x0
处可导的充分必要条件是在点
x0
处的左极限
lim
（
h
→
-0
）
[f(x0+h)- f(x0)]/h
及右极限
lim
（
h
→
+0
）
[f(x0+h)- f(x0)]/h
都存在且相等 ，即左
导数
f-
′
(x0)
右导数
f+
′
(x0)
存在相等。
2
、
函数
f(x)
在点
x0
处可导
=>
函数在该点处连续；函数
f(x)
在 点
x0
处连续
≠
>
在该点可导。即函数在某点连续是函数 在该点可导的必要条件而不是充分条件。
3
、
原函数可导则反函数也可导，且反函数的导数是原函数导数的倒数。
4
、
函数
f(x)
在点
x0
处可微=>
函数在该点处可导；函数
f(x)
在点
x0
处可微的充分必 要条件
是函数在该点处可导。
第三章
中值定理与导数的应用
1
、
< br>定理（罗尔定理）如果函数
f(x)
在闭区间
[a,b]
上连续，在开 区间（
a,b
）内可导，且在区
间端点的函数值相等，即
f(a)= f(b )
，那么在开区间（
a,b
）内至少有一点
ξ
（
a<
ξ
，使的
函数
f(x)
在该点的导数等于零：f
’
(
ξ
)= 0
。
2
、
定理（拉格朗日中值定理）
如果函数
f(x)
在闭区间
[a,b]< br>上连续，在开区间（
a,b
）内可导，
那么在开区间（
a,b
）内至少有一点
ξ
（
a<
ξ
，使的等式f(b)-f(a)= f
’
(
ξ
)
（
b-a
）成立即
f
’
(
ξ
)= [f(b)-f(a)]/
（
b-a
）
。
3
、
定理（柯西中值定理）如果函数
f(x)
及
F(x)
在闭区间
[a,b]
上连续，在开区间（
a,b
）内可导，且
F
’
(x)
在（
a,b
）内的每一点处均不为零 ，那么在开区间（
a,b
）内至少有一点
ξ
，使
的等式
[f (b)-f(a)]/[ F(b)-F(a)]= f
’
(
ξ
)/ F
’
(
ξ
)
成立。
4
、
洛必达法则应用条件
●
只能用与未定型诸如
0/
0
、∞
/
∞、
0
×∞、∞
-
∞、
00< br>、
1
∞、∞
0
等形式。
5
、
函数单调性的判定法
●
设函数
f(x)
在闭区 间
[a,b]
上连续，在开区间（
a,b
）内可导，那么：
（
1
）
如果在（
a,b
）内
f
’
(x)>0
，那么函数
f(x)
在
[a,b]
上单调增加 ；
（
2
）
如果在（
a,b
）内
f
’
(x)<0
，那么函数
f(x)
在
[a,b]
上单调减少。
●
如果函数在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的 点外导数存在且连续，那么只要
用方程
f
’
(x)=0
的根及
f
’
(x)
不存在的点来划分函数
f(x)
的定义区间，就能保证
f
’
(x)
在各个