费马定理
玛丽莲梦兔
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2021年01月29日 14:38
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五分钟演讲稿-水墨山水
定理及其证明
费马定理
：
设
f
(
x)
在
c
的某邻域
（
c
,
c
）
内有定义，
而且在这个领域上有
f
(x
)
f
(
c
)
（其中
f
(
c
)
为局部最大值）或者
f
(
x
)
f
(
c
)
（其中
f
(
c
)
为 局部最小值）
，当
f
(
x
)
在
c
处可导时，则有
f
'
(
c
)
0
．
'
证明
：因为假设
f
'
(
c
)
存在，由定义可得左导数
f
-
'
(
x
)
和右导数
f
(
c
)
均存在且满足：
f
-
'
(
c
)
f
'
(
c
)
f
'
(
c
)
当
x
c
时，
当
x
c
时，
f
(x
)
f
(
c
)
f
(
x)
f
(
c
)
0
，所以
f
'
(
c
)
lim
0
x
c
x
c
x
c
f
(
x
)
f
(
c
)
f
(
x
)
f
(
c
)
0
，所以
f
'
(
c
)
lim
0
x
c
x
c
x
c
所以
f
(
c
)
0
以上是对于
f
(
x
)
f
(
c
)
这种情况进行的证明，同理也可证明
f
(
x
)
f
(
c
)
这种情形
罗尔定理
：
设
f
(
x
)
在
a
,
b
上连续，
在
a
,
b
上可导，
若f
(
a
)
f
(
b
)
，则必有一点
c
a
,
b
使得f
(
c
)
0
．
证明
：分 两种情况，若
f
(
x
)
为常值，结论显然成立．若
f
(
x
)
不为常值，根据最大、最小值
定理（有界闭区间
a
,
b
上的连续函数
f
(
x
)
具有最大值和最小值）可知，
f
(
x
)
必在
a< br>,
b
内
某一点
c
处达到最大值或最小值，再有费马 定理可得，
f
(
c
)
0
．
拉 格朗日中值定理
：设
f
(
x
)
在
a,
b
上连续，在
a
,
b
上可导，则一定有一点
a
,
b
使
'
'
'
f
'
(
)
f
(
b
)
f
(
a
)
．
b
a
'
证明
：分两种情况，若
f
(x
)
恒为常数，则
f
(
x
)
0在
a
,
b
上处处成立，则定理结论明显
成 立．若
f
(
x
)
在
a
,
b
不恒为常数时，由于
f
(
x
)
在
a
,
b
上连续，由闭区间连续函数的性质，
f
(
x
)
必在
a
,
b
上达到其最大值M
和最小值
m
，有一种特殊情况
f
(
a
)
f
(
b
)
时，定理成
立
，这
就是< br>上面所
证明过
的罗
尔定
理．考
虑一般
情形
，
f
(
a
)
f
(
b
)
．
做辅助
函数
f
(
b
)
f
(a
)
x
．由连续函数的性质及导数运算法则，可得
(
x
)
在
a
,
b
上连
b
a
bf
(
a
)
a
f
(b
)
a
，
续，
在< br>
a
,
b
上可导，
且
(
b
)
这就是说
(
x
)
满足刚刚的特 殊情况，
b
a
f
(
b
)
f< br>(
a
)
'
'
0
．
即
因< br>此
在
a
,
b
内
至
少< br>有
一
点
，
使
得
(
< br>)
f
b
a< br>f
(
b
)
f
(
a
)
f< br>'
．定理得证．
b
< br>a
(
x
)
f
(
x
)< br>
柯西中值定理
：
若
f
(
x
)
和< br>g
(
x
)
在
a
,
b
< br>上连续，在
a
,
b
上可导，
且
g
'
(
x
)
0
，则一定存在
f
(
b
)
f
(
a
)
f
'
．
a
,
b
使
'
g
b
g
a
g
'
证明
：首先能肯定
g
(
a
)
g
(
b
)
，因为如果
g
(
a
)
g
(
b
)
，那么由拉格朗日中值定理，
g
(
x
)
在
a
,
b
内存在零点，因此与假设矛盾．
还是做辅助函数
F
(
x
)
f
(
x
)
f
(
b
)
f
(
a
)
g
x
g
a
．由
F
a
F
b
，再由拉格朗日
g
b
g< br>
a
中值定理，可以证明定理成立．
泰勒中值定理
：若
f
(
x
)
在
x
0
点的某 个邻域内有直到
n
1
阶连续导数，那么在此邻域内
f
'< br>'
0
2
f
n
< br>0
n
x
...
x
R
n
x
．其中
有
f
x
f
0
f
0
x
2
!
n
!
'
f
n
1
n
1R
n
x
x
．
是介于
0
与
x
之间的某个值．
n
1
!
f
'
'
t
f
n
t
2
x
t
...
x
t
n
．由
证明
：做辅助函数
t
f
x
f
t
f
t
x
t
2
!
n
!
'
假设容易看出
t
在
0
,
x
或
x
,
0
上连续，且
0
R
n
x
，
x
0
，
f
'
'
'
t
f
'
'
t
2
'
'
'
x
t
-
f
t
x
t
...
f
t
x
t
< br>x
t
2
...
t
-f
t
f
t
x
t
f
t
2
!
2
!
f
n
1
t
f
n
t
n
n
1
x
t
x
t
n
1
!
n
!
'
'
'
''
f
n
1
t
x
t
n
．在引进一个辅助 函数
t
x
t
n
1
．
化简后有
t
-
n
!
'
x
0
'
对函数
t
和
t
利用柯西中值定理得到
，
是介于
0
与
x之间的某
'
x
0
f
n
1
x
n
，
-
个值，此时有
0
R
n
x
，
x
0
，
x
0
，
0
x
n
1
，
n
!
'
f
n
1
n
1
x
．
-
n
1
x
，代入上式，即得
R
n
x
n
1
!
'
n
定理证明完毕．
这是 函数
f
x
在
x
0
点的泰勒 公式，同理推导可得
f
x
在
x
x< br>0
点附近的泰勒公式
f
'
'
x
0
f
n
x
o
2
x
x
0
...
x
x
0
n
R
n
x
．其中
f
x
f
x
0
f
x
0
x
x
0
2
!
n
!
'
f
n
1
x
x
0
n
1
．
是介于
x
0
与
x
之间的某个值．
< br>R
n
x
n
1< br>
!
定理间关系
：
罗尔定理，
拉格朗日定理，柯西定理以及泰勒公式是微分学的基本
定理。这些定理都具有中值性，所以统称微分学中值定理.
应用
（判别函数 单调性、求不定式极限、证明不等式和等式、证明终止点的存在性、
证明方程根的存在性与唯一性、利用 泰勒公式求近似值）
证明方程根的存在性
把要证明的方程转化为
f
x
0
的形式
.
对方程
f
x
0
用下述方法：
（
1
）
根的存在定理若函数
f
x
在区间
a
,
b
上连续，且
f< br>
a
f
b
0< br>，则至少
存在一点
a
,
b
，
f
0
.
（
2
）
若函数
f
x
的原函数
F
x
在
a
,
b
上满足罗尔定理的条件，
则
f
x
在
a
,
b
内至少有一个零值点
.
（
3
）
若函数
f
x
的原函数
F
x
在
x
0
处导数也存在 ，
由费马定理知
F
'
x
0
0
即
f
x
0
0
.
（
4
）
若
f
x
在 区间
a
,
b
上连续且严格单调，则
f
x
在
a
,
b
内至多有一 个零值
点
.
若函数在两端点的函数（或极限）值同号，则
f
x
无零值点，若函数
在两端点的函数（或极限）值异号，则
f
x
有一个零值点
.
（
5
）
用泰勒公式证明根的存在性
.
（
6
）
反证法
.
（
7
）
在证明方程根的存在性的过程 中，
经常用到拉格朗日定理，
积分中值定理，
有时也用到柯西中值定理来证明满足方程 的存在性所需的条件，
然后利用
上的方法来证明方程根的存在性
.
例
1
若
f
x
在
a
,
b
上连续，在
a
,
b
内可导
a
0
，证明：在
a
,
b
内方程
2
x
f
b
f
a
b2
a
2
f
'
x
至少存 在一个根
.
证明：令
F
x
< br>f
b
f
a
< br>x
2
b
2
a
2
f
< br>x
显然
F
x
在
a
,
b
上连续，在
a
,
b< br>
内可导，而且
F
< br>a
f
b
a
2
< br>b
2
f
a
F
b< br>
根据罗尔定理，至少存在一个
，使
2
f
b
f
a
b
2
a
2
f
'
x
至少存在一个根
.
证明不等式
不等式是数学中的重要内容和工具。在微分学中
,
微分中值定理在证明不等
式中起 着很大的作用
.
(1)
拉格朗日定理适用于已知函数导数的条件，
证明涉 及函数
（值）
的不等
式
(2)
泰勒公式适用于已知函数 的高阶导数的条件，
证明涉及函数
（值）
或低
阶导函数（值）的不等式
.
例
2
求证
ln
1
x
x
x
1
分析：根据不等式两边的代数式选取不同的
F
x
,
应用拉格朗日中值定理得
出一个等式后
,
对这个等式根据
x< br>取值范围的不同进行讨论
,
得到不等式
.
证明：当
x
0
时，显然
ln
x
1
x
0
设
x
0
对
f
t
ln
t
在以
1与
1
x
为端点的闭区间上用拉格朗日中值定理，有介
于
1
与
1
x
之间的
，使
f
1
x
f
1
f
'
1
x
1
,
即
ln
1
x
x
当
x
0
时，
0
1
，
1
< br>
1
，
但此时注意
ln
x
< br>1
与
x
均为负值，所以仍有
ln
1
x
x
，
即对
x
1
不等式恒成立
.
当
x
0
时，
0
，
0
1
1
，所以有
ln
1
x
x
.
注：
学会把隐藏的条件找出来，
即
ln
1
0
，然后就可以利用定理，这个结果
以后可以作为 结论用
.
例
3
证明当
b
a
e
时，
a
b
b
a