过去式的英文-租赁协议

2021年1月29日发(作者：隔壁家的山田君)

相交弦定理






[
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]
内容



相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等



几何语言：



若弦
AB
、
CD
交于点
P


则
PA·
PB=PC·
PD
（相交弦定理）



推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例
中项



几何语言：



若
AB
是 直径，
CD
垂直
AB
于点
P
，



则
PC^2=PA·
PB
（相交弦定理推论）


[
编辑本段
]
如何证明



证明：连 结
AC
，
BD
，由圆周角定理的推论，得∠
A
＝∠
D
，∠
C
＝∠
B
。

∴△
P
AC
∽△
PDB
，∴
PA
∶
PD
＝
PC
∶
PB
，
PA·
PB
＝
PC·
PD



注：其逆定理可作为证明圆的内接三角形的方法
.


圆幂定理






圆幂的定义
:


一点
P
对半径
R的圆
O
的幂定义如下：
OP^2-R^2


所以圆内的点的幂为负数，圆外的点的幂为正数，圆上的点的幂为零。



圆幂定理是
相交弦定理
、
切割线定理
及
割线定理
(
切割线定理推论
)
以及他们推论
的统称。



相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。



切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两
条线段长的比例 中项。



割线定理：从圆外一点
P
引两条割线与圆分别交于
A.B.C.D
则有

PA·
PB=PC·
P
D
。




统一归纳：过任意不在圆上的一点
P
引两条直线L1
、
L2
，
L1
与圆交于
A
、
B< br>（可
重合，即切线），
L2
与圆交于
C
、
D
（可重合），则有
PA·
PB=PC·
PD
。



进一步升华（推论）：



过任意在圆
O
外的一 点
P
引一条直线
L1
与一条过圆心的直线
L2
，
L 1
与圆交于
A
、
B
（可重合，即切线），
L2
与圆 交于
C
、
D
。则
PA·
PB=PC·
PD
。若圆半径为
r
，
则
PC·
PD=(PO-r)·
(PO+ r)=PO^2-r^2=|PO^2-r^2|
（一定要加绝对值，原因见下）为
定值。这 个值称为点
P
到圆
O
的幂。（事实上所有的过
P
点与圆相交 的直线都满足
这个值）



若点
P
在圆内，类似可得定值为
r^2-PO^2=|PO^2-r^2|


故平面上任意一点对于圆的幂为这个点到圆心的距离与圆的半径的平方差的绝对值。（这就是
“
圆幂
”
的由来）



圆的方程通常表示为
x^2+y^2=r^2

[
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]
证明



圆幂定理（相 交弦定理、切割线定理及其推论
(
割线定理
)
统称为圆幂定理）




相交弦定理：相交弦定理
:
圆内的两条相交弦
,
被交点分成的两条线段长的乘积相
等。




证明：连结
AC
，
BD
，由圆周角定理的推论，得∠
A
＝ ∠
D
，∠
C
＝∠
B
。




∴△
PAC
∽△
PDB
，∴
PA
∶PD
＝
PC
∶
PB
，
PA·
PB
＝< br>PC·
PD

2



割线定理：割线定理：从圆外一点
P
引两条割线与圆分别交于
A.B.C.D
则有

P
A·
PB=PC·
PD
，当
PA =PB
，即直线
AB
重合，即
PA
切线是得到切线定理
PA ^2=PC*
PD



证明：（令
A
在
P.B
之间，
C
在
P.D
之间）因为
ABCD
为 圆内接四边形，所以
角
CAB+
角
CDB=180
度，
又角
CAB+
角
PAC=180
度，
所以角
PAC=
角
CDB
，
又角
A
PC
公共，所以三角形
APC与三角形
DPB
相似，所以
PA/PD=PC/PB,
所以
PA *PB=
PC*PD



切割线定理：切割线定理

从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线
与圆焦点的两条线段长的比例中项




几何语言：∵
PT
切⊙
O
于点T
，
PBA
是⊙
O
的割线




∴
PT2=PA·
PB
（切割线定理）




推论

从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长
的积相等




几何语言：∵
PBA
、
PDC
是⊙
O
的割线




∴
PD·
PC=PA·
PB
（切割线定理推论）



问题
3
：过点

任作直线交定圆于两点

、

，证明

为定值（圆幂定理）．




证：以

为原点，设圆的方程为



①



过

的直线为



则

、

的横坐标是方程



的两个根

、

．由韦达定理



于是



圆①也可以写成



①
′



其中

为圆的半径的平方．所说的定值

也就是

（原点）与圆心

的距离的平方减
去半径的平方．当

在圆外时，这就是自

向圆所引切线（长）的平方．



这定值称为点

到这圆的幂．



在上面证明的过程中，我们以

为原点，这样可以使问题简化．



如果给定点

，未必是原点，要求出

关于圆①的幂（即

），我们可以设直线

的方程为



②



③



是

的倾斜角，

表示直线上的点与

的距离．



将②③代入①得



即



，

是它的两个根，所以由韦达定理



④



是定值


3



④是

关于①的幂（当

是原点时，这个值就是

）．它也可以写成



④
′



即

与圆心

距离的平方减去半径的平方．



当

在圆内时，幂值是负值；

在圆上时，幂为
0
；

在圆外时，幂为正值，这时
幂就是自

向圆所引切线长的平方．



以上是圆幂定理的证明，下面看一看它的应用．



问题
4
：自圆外一点

向圆引割线交圆于

、

两点，又作切线

、

，

、

为切点，

与

相交于

，如图８．求证

、

、

成调和数列，即



证：设圆的方程为



⑤



点

的坐标为

，

的参数方程为



⑥



⑦



其中

是

的倾斜角，

表示直线上的点

与

的距离．



⑥⑦代入⑤得



即



、

是它的两个根，由韦达定理



⑧



另一方面，直线

是圆的切点弦，利用前边的结论，

的方程为



⑦⑧代入得



因此，这个方程的根

满足



⑨



综合⑧⑨，结论成立．



可以证明，当

在圆内时，上述推导及结论仍然成立．



说明：问题
4
的解决借用了问题
3
的方法，同时我们也看到了问题
4
与问题
1
、
问题
2
的内在联系．


4

切割线定理



切割线定理

从圆外一点引圆的
切线
和
割线
，切线长是这点到割线与圆交点的两
条线段长的
比例中项



几何语言：∵
PT
切⊙
O
于点
T
，
PBA
是⊙
O
的割线



∴
PT^2=PA·
PB
（切割线定理）






推论

从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长
的积相等



几何语言：
TC²=PBA
，
PDC
是⊙
O
的割线



∴
PD·
PC=P A·
PB
（切割线定理推论）
(
割线定理
）



由上可知
:PT^2=PA·
PB=PC·
PD



切割线定理证明
:


设
ABP< br>是⊙
O
的一条割线，
PT
是⊙
O
的一条切线，切点为
T
，则
PT^2=PA·
PB


证明：连接
AT,
BT


∵

∠
PTB=
∠
PAT(
弦切角定理
)





∠
P=
∠
P(
公共角
)


∴△
PBT
∽△
PTA(
两角对应相等
,
两三角形相似
)


则
:PB
：
PT=PT
：
AP


即：
PT^2=PB·
PA

5

弦切角定理






弦切角定理



定义弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半
.
(
弦切
角就是切线与弦所夹的角）



弦切角定理证明



证明：设圆心为
O
，连接< br>OC
，
OB
，
OA
。过点
A
作
TP
的平行线交
BC
于
D
，



则
∠
TCB=
∠
CDA


∵∠
TCB=90-
∠
OCD


∵∠
BOC=180-2
∠
OCD





更清楚的

∴
,
∠
BOC=2
∠
TCB


证明
已知：
AC
是⊙
O
的弦，
AB
是⊙
O
的切线，
A
为切点，弧是弦切角∠
BAC
所夹的弧
.


求证：
.


证明：分三种情况：






（
1
）

圆心
O
在∠
BAC
的一边
AC
上



∵
AC
为直径，
AB
切⊙
O
于
A
，



∴弧
CmA=
弧
CA


∵为半圆
,

6



∴
,


∴
.





（
2
）

圆心
O
在∠
BAC
的内部
.


过
A
作直径
AD
交⊙
O
于
D,


那么




.





（
3
）

圆心
O
在∠
BAC
的外部
,


过
A
作直径
AD
交⊙
O
于
D


那么




.


∴
.


由弦切角定理可以得到：



推论：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角
.




应用举例







例1
：如图，在中，
,,
，以
AB
为弦的⊙
O
与
AC
相切于点
A
，∠
CBA=60°

,
AB=a
求
BC
长
.


解：连结
OA
，
OB.

7



∵在中
,
∠
C=Rt
∠



∴∠
BAC=30°



∵

（弦切角定理）



∴∠
AOB=60°




又∵
AO=BO


∴为等边三角形



∴
AO=AB=BO=2BC


∴
BC=1/2a





例
2
：如图，
AD
是
ΔABC
中∠BAC
的平分线，经过点
A
的⊙
O
与
BC
切于 点
D
，与
AB
，
AC
分别相交于
E
，F.


求证：
EF
∥
BC.


证明：连
DF.


AD
是∠
BAC
的平分线

∠
BAD=
∠
DAC


∠
EFD=
∠
BAD


∠
EFD=
∠
DAC


⊙
O
切
BC
于
D
∠
FDC=
∠
DAC


∠
EFD=
∠
FDC



EF
∥
BC





例
3
：如图，
ΔABC
内接于⊙
O
，
AB是⊙
O
直径，
CD
⊥
AB
于
D
，MN
切⊙
O
于
C
，



求 证：
AC
平分∠
MCD
，
BC
平分∠
NCD.


证明：∵
AB
是⊙
O
直径



∴∠
ACB=90

8



∵
CD
⊥
AB


∴∠
ACD=
∠
B
，




∵
MN
切⊙
O
于
C


∴∠
MCA=
∠
B
，



∴∠
MCA=
∠
ACD
，



即
AC
平分∠
MCD
，



同理：
BC
平分∠
NCD.

9

割线定理






[
编辑本段
]
英文名称：



割线定理



Secant
Theorem


[
编辑本段
]
概况：



割线定理：从圆外一点
P
引两条割线与圆分别交于
A.B.C.D
则有

PA·
PB=PC·
P
D
，当
PA =PB
，即点
A
、
B
重合于
T
，即
PT< br>切线是得到切线定理
PT^2=PC*PD



要证
PT2=PA·
PB
，

可以证明

，为此可证以

PA·
PT
为边的三角形与以
PT
，
B
P
为边的三角形相似，于是考虑作辅助线
TP
，
PB< br>．
(
图
3)
．容易证明∠
PTA=
∠
B又
∠
P=
∠
P
，因此△
BPT
∽△
T PA
，于是问题可证．




弦切角定理



切线定理



割线定理




相交弦定理



都可以用同样方法证明



割线定理




如图



直线
ABP
和< br>CDP
是自点
P
引的⊙
O
的两条割线，则
PA·PB=PC·
PD




10



证明
:
连接
AD
、
BC



∵∠
A
和∠
C
都对弧
BD



∴由圆周角定理，得

∠
A=
∠
C



又∵∠
APD=
∠
CPB



∴△
ADP
∽△
CBP



∴
AP:CP=DP:BP,
也就是
AP·
BP=CP·
DP

11

费马点

目录
[
显示
]






[
编辑本段
]
费马点发现者



费马
(Fermat
，
Pierre
de
Fermat)

(1601
～
1665
）法国数学家，被 誉为
“
业余数
学家之王。
”

[
编辑本段
]
费马点定义



在一个多边形中，到每个顶点距离之和最小的点叫做这个多边形的
费马点
。



在平面三角形中
:


(1).
三内角皆小于
120°
的三角形，分别以

AB, BC,CA
，为边，向三角形外侧做
正三角形
ABC1,ACB1,BCA1,
然后连接
AA1,BB1,CC1,
则三线交于一点
P,
则点
P< br>就
是所求的费马点
.
也称三角形的正等角中心。



(2).
若三角形有一内角大于或等于
120
度
,
则此钝角的顶点就是所求
.


(3)
当△
ABC为等边三角形时
,
此时外心（内心、垂心、重心）与费马点重合



（
1
）

等边三角形
ABC
中费马点< br>P
满足
PA=PB=PC
，
PA
、
PB
、< br>PC
分别为三
角形三边上的高和中线、三角上的角分线。
P
是内切圆和 外切圆的中心。△
BPC
≌△
CPA
≌△
PBA
。



（
2
）

当
BC=BA
但< br>CA≠AB
时，
BP
为三角形
CA
上的高和中线、三角上的角 分
线。（等腰三角形）


[
编辑本段
]
费马点的判定



（
1
）对于任意三角形△ABC
，若三角形内或三角形上某一点
P,
若
PA+PB+PC
有最小值
,
则
P
为费马点。



（
2
）如果三角形有一个内角大于或等于
120°
，这个内角的顶点就是 费马点；如
果
3
个内角均小于
120°
，则在三角形内部对
3
边张角均为
120°
的点，是三角形的费
马点。



12

[
编辑本段
]
证明



我们要如何证明费马点呢：
(1)
费马点对边的张角为
120
度。



△
CC1B
和△
AA1 B
中
,BC=BA1,BA=BC1,
∠
CBC1=
∠
B+ 60
度
=
∠
ABA1,


△
CC1B
和△
AA1B
是全等三角形
,
得到∠
PCB=
∠< br>PA1B


同理可得∠
CBP=
∠
CA1P


由∠
PA1B+
∠
CA1P=60
度，得∠< br>PCB+
∠
CBP=60
度
,
所以∠
CPB=120
度



同理
,
∠
APB=120
度，∠
APC=120
度



(2)PA+PB+PC=AA1


将△
BPC
以点< br>B
为旋转中心旋转
60
度与△
BDA1
重合，连结
P D
，则△
PDB
为
等边三角形，所以∠
BPD=60
度


又∠
BPA=120
度，因此
A
、P
、
D
三点在同一直线上，



又∠
CPB=
∠
A1DB=120
度，∠
PDB=60
度，∠
PDA1=180
度，所以
A
、
P
、
D
、
A1
四点在同一直线上，故
PA+PB+PC=AA1
。



(3)PA+PB+PC
最短



在△
ABC
内任意取一点
M
（不与点
P
重合），连结
AM、
BM
、
CM
，将△
BMC
以点
B
为 旋转中心旋转
60
度与△
BGA1
重合，连结
AM
、
GM
、
A1G(
同上
)
，则
AA1
所以费马点到三个顶点
A
、
B
、C
的距离最短。



平面四边形费马点



平面四边形中费马点证明相对于三角型中较为简易，也较容易研究。



（
1
）在凸四边形
ABCD
中，费马点为两对角线
AC
、
BD
交点
P
。



（
2
）在凹四边形
ABCD
中，费马点为凹顶点
D
（
P
）。



经过上述的推导，我们即得出了三角形中费马点的找法：



当三 角形有一个内角大于或等于一百二十度的时候，费马点就是这个内角的顶
点；如果三个内角都在
120
度以内，那么，费马点就是使得费马点与三角形三顶点的
连线两两夹角为
120
度的点。


[
编辑本段
]
费马点性质：



（
1
）平面内一点
P
到△
ABC
三顶点的之和为
PA+PB+PC
，当点
P为费马点时，
距离之和最小。


13

欧拉定理

目录
[
隐藏
]


欧拉定理


欧拉公式


认识欧拉


欧拉定理的意义


欧拉定理的证明


欧拉定理的运用方法


使用欧拉定理计算足球五边形和六边形数


欧拉公式








[
编辑本段
]


欧拉定理



对于互质的整数
a
和
n
，有
a^φ(n)
≡
1
(mod
n)



证明：




首先证明下面这个命题：




对于集合
Zn={x1,x2,...,xφ(n)},
其中
xi(i=1, 2,…φ(n))
是
φ(n)
个
n
的素数，且两两
互素，即
n
的一个化简剩余系，或称简系，或称缩系
)
，考虑集合
S
=
{a*x1(mod
n),
a*x2(mod
n),...,a*xφ(n)(mod
n)}



则
S
=
Zn



1)
由于
a,n
互质，
xi
也与
n
互质，则
a*xi< br>也一定于
p
互质，因此




任意
xi
，
a*xi(mod
n)
必然是
Zn
的一个元素




2) < br>对于
Zn
中两个元素
xi
和
xj
，如果
xi
≠
xj



则
a*xi(mod
n)
≠
a*xi(mod
n)
，这个由
a
、
p
互质和消去律可以得出。




所以，很明显，
S=Zn



既然这样，那么




（
a*x1
×
a*x2×...×a*xφ(n)
）
(mod
n)



=
（
a*x1(mod
n)
×
a*x2(mod
n)
×
...
×
a*xφ(n)(mod
n)
）
(mod
n)



=
（
x1
×

x2
×

...
×

xφ(n)
）
(mod
n)


14

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