高中平面几何常用定理总结
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2021年01月29日 14:43
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attend过去式-孤芳自赏是什么意思
（高中）平面几何基础知识（基本定理、基本性质）
1
．
勾股定理（毕达哥拉斯定理）
（广义勾股定理）
(1)
锐角对边的平方，
等 于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘
积的两倍．
( 2)
钝角对边的平方等于其他两边的平方和，
加上这两边中的
一边与另一边在这边上的 射影乘积的两倍．
2
．
3
．
射影定理（欧几里得定理）
中
线
定
理
（
巴
布
斯
定
理
）
设
△
ABC
的边
BC
的
中
点
为
P
，
则
有< br>AB
2
AC
2
2
(
AP
2
BP
2
)
；
中线长：
m
4
．
a
2
b2
2
c
2
a
2
2
．
垂线定理：
AB
CD
AC
2
AD
2
BC
2
BD
2
．
a
p
(
p
a
)(
p
< br>b
)(
p
c
)
bc
sinA
c
sin
B
b
sin
C
．
a
高线长：
h
a
2
5
．
角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个
角的两边对应成比例．
如△
ABC
中，
AD
平分∠
BAC
，则
B D
AB
；
（外角平分线定理）
．
DC
AC
角平分线长：
t
a
6
．
7
．
8
．
9
．
正 弦定理：
2
2
bc
A
bcp
(
p
a
)
cos
（其中
p
b
c
b
c
2
为周长一半）
．
a
b
c
（其中
R
2
R
，
sin
A
sin
B
sin
C
为三角形外接圆半径）
．
余弦定理：
c
2
a
2
b
2
2
ab
cos
C
．
AD
AC
AB
张角定理：
sin
BAC
sin
BAD
sin
DAC
．
< br>斯特瓦尔特
(
Stewart
)
定理：
设已知△
AB C
及其底边上
B
、
C
两点间的一
点
D
，则 有
AB
2
·
DC
+
AC
2
·
BD
－
AD
2
·
BC
＝
BC
·
DC< br>·
BD
．
10
．
圆周角定理：同弧所对 的圆周角相等，等于圆心角的一半．
（圆外角如
何转化？）
11
．
弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角．
12
．
圆幂定理：
（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定 理）
：切线
长定理：
）
13
．
布拉美古塔
（
Brahmagupta
）
定理：
在圆内接四边形
ABCD
中，
AC
⊥
BD
，
自对角 线的交点
P
向一边作垂线，其延长线必平分对边．
14
．
点到圆的幂：设
P
为⊙
O
所在平面上任意一点，
PO
=
d
，⊙
O
的半径为
r
，
则
d
2
－
r
2
就是点
P
对于⊙
O
的幂．过P
任作一直线与⊙
O
交于点
A
、
B
，则
PA
·PB
= |
d
2
－
r
2
|
．
“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一
条直线，如果此二圆相交，则该轨迹 是此二圆的公共弦所在直线”这个结
论．这条直线称为两圆的“根轴”
．三个圆两两的根轴如果 不互相平行，则
它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”
．三个圆的根心对于三个圆等
幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦
(
就是两两的根轴
)
所在直线交于一
点．
15
．
托勒密（
Ptolemy
）定理：圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积
之和，即
AC
·
BD=
AB
·
CD
+
AD
·
BC
，
(
逆命题成立
)
．
（广义托勒密定理）
AB
·
CD
+
AD
·
BC
≥
AC
·
BD
．
16
．
蝴蝶定理：
AB
是⊙
O的弦，
M
是其中点，弦
CD
、
EF
经过点
M< br>，
CF
、
DE
交
AB
于
P
、
Q
，求证：
MP
=
QM
．
17
．
费马点：
定理
1
等边三角形外接圆上一点 ，到该三角形较近两顶点距
离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角形外接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离．
定理
2
三角形每一内角都小于
120
°时，在三角形内必存在一点，它对三条边所张的角都是
120
°，该 点
到三顶点距离和达到最小，
称为
“费马点”
，
当三角形有一内角不 小于
120
°
时，此角的顶点即为费马点．
18
．
拿破仑三角形：
在任意△
ABC
的外侧，
分别作等边△
ABD
、
△
BCE
、
△
CA F
，
则
AE
、
AB
、
CD
三线共点，并且
AE
＝
BF
＝
CD
，
这个命题称为拿破仑 定理．
以
△
ABC
的三条边分别向外作等边△
ABD< br>、
△
BCE
、
△
CAF
，
它们的外接圆⊙< br>C
1
、
⊙
A
1
、⊙
B
1
的圆心构成的△——外拿破仑的三角形，⊙
C
1
、⊙
A
1
、⊙
B
1
三圆共点，外拿破仑 三角形是一个等边三角形；△
ABC
的三条边分别向△
ABC
的内侧作等边△
ABD
、△
BCE
、△
CAF
，它们的外接圆⊙
C
2
、⊙
A
2
、⊙
B
2
的圆心构成的△——内拿破仑三角形，⊙
C
2
、⊙
A
2
、⊙
B
2
三圆共点，内
拿破仑三角形也是一个等边三角形．这两个拿破仑三角形还具有相同的中
心．
19
．
九点圆（
Nine
point
round
或欧拉圆或费尔巴赫圆）
：三角形中，三边
中心、
从各顶 点向其对边所引垂线的垂足，
以及垂心与各顶点连线的中点，
这九个点在同一个圆上，九点圆具 有许多有趣的性质
,
例如
:
（
1
）三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半
;
（< br>2
）九点圆的圆心在欧拉线上
,
且恰为垂心与外心连线的中点
; < br>（
3
）三角形的九点圆与三角形的内切圆
,
三个旁切圆均相切〔费尔巴 哈定
理〕
．
20
．
欧拉（
Euler
）线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于
同一直线（欧拉线）上．
21
．
欧拉（
Euler
）公式：设三角形的外接圆半径 为
R
，内切圆半径为
r
，
外心与内心的距离为
d
， 则
d
2
=
R
2
－
2
Rr
．
22
．
锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的
和．
23
．
重心：三角形的三条中线交于一点，并且各中线被这个点分成
2
：
1
的
两部分；
G
(
x
A
x
B
x
C
,
y
A
y
B
y
C
)
3
3
重心性质：< br>（
1
）设
G
为△
ABC
的重心，连结
AG< br>并延长交
BC
于
D
，则
D
为
BC
的 中点，则
AG
:
GD
2
:
1
；
（
2
）设
G
为△
ABC
的重心，则S
ABG
1
S
BC
G
S
AC
G
S
ABC
；< br>
3
（
3
）设
G
为△
ABC
的重心 ，过
G
作
DE
∥
BC
交
AB
于
D
，交
AC
于
E
，过
G
作
PF
∥< br>AC
交
AB
于
P
，交
BC
于
F，过
G
作
HK
∥
AB
交
AC
于
K
，交
BC
于
H
，则
DE
FP
KH
2
;
DE
FP
K H
2
；
BC
CA
AB
3
BC
CA
AB
（
4
）设
G
为△
ABC
的重心，则
①
BC
2
3
GA
2
CA
2
3
GB
2
AB
2
3
GC
2
；
②
GA
2
GB
2
GC
2
1
(
AB
2
BC
2
CA
2
)
；
3
③
PA
2
PB
2
PC
2
GA
2
GB
2
GC2
3
PG
2
（
P
为△
ABC
内任意一点）
；
④到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心，
即GA
2
GB
2
GC
2
最小；
⑤三角形内到三边距离之积最大的点是重心；反之亦然（即满足上
述条件之一，则G
为△
ABC
的重心）
．
24
．
垂
心
：
三
角
形
的
三
条
高
线
的
交
点
；
a
b
c
a
b
c
x
A
x
B
x
C
y
A
y
B
y
C
cos
A
cos
B
cos
C
cos
A
cos
B
c os
C
H
(
,
)
a
b
c
a
b
c
cos
A
co s
B
cos
C
cos
A
cos
B
cos< br>C
垂心性质：
（
1
）三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的 距离
的
2
倍；
（
2
）垂心
H
关 于△
ABC
的三边的对称点，均在△
ABC
的外接圆上；
（
3
）△
ABC
的垂心为
H
，则△
ABC
，△
ABH
，△
BCH
，△
ACH
的外接圆是
等圆 ；
（
4
）
设
O
，
H
分
别
为
△
ABC
的
外
心
和
垂
心，
则
BAO
HAC
,
CBO
ABH
,
BCO
HCA
．
25
．
内心：三角形的三条角分线的交点—内接圆圆心，即内心到三角形各
边距离相等；
I
(
ax
A
bx
B
cxC
ay
A
by
B
cy
C
,
)
a
b
c
a
b
c
内心性质：
（
1
）设
I
为△
ABC
的内心，则
I
到△
ABC
三边的距离相等，反
之亦 然；
（
2
）
设
I
为
△
ABC< br>的
内
心
，
则
1
1
1
BI C
90
A
,
AIC< br>
90
B
,
AIB
90
C
；
2
22
（
3
）三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心
的距离相等；反之，若
A
平分线交△
ABC
外接圆于点
K
，
I
为线段
AK
上的点且满足
KI=KB
，则< br>I
为△
ABC
的内心；
BC
a
,
AC
b
,
AB
c
,
A
平分线交
BC
于
D
，
（
4
）
设
I
为△
ABC
的内心，
交△
ABC
外接圆于点
K
，则
AI
AK
ID
KI
IK
b
c
；
KD
a
（
5
）
设
I
为△
ABC
的内心，
BC< br>
a
,
AC
b
,
AB
c
,
I
在
BC
,
AC
,
AB
上的 射影分别为
D
,
E
,
F
，
内
切
圆
半
径
为
r
，
令
p
1
(
a
b
c
)
，
则
①
2
S
ABC
pr
；
②
AE
< br>AF
p
a
;
BD
BF
p
b
;
CE
CD
p< br>
c
；③
abcr
p
AI
< br>BI
CI
．
26
．
外心：三角形的三条中垂线的交点——外接圆圆心，即外心到三角形
各顶点距离相等；
O
(
sin
2
Ax
A
sin
2
Bx
B
sin
2
Cx
C
sin
2
Ay
A
sin
2
By
B
s in
2
Cy
C
,
)
sin
2
A
sin
2
B
sin
2
C
si n
2
A
sin
2
B
sin
2
C
外心性质：
（
1
）外心到三角形各顶点距离相等；
（
2
）设
O
为△
ABC
的外心，则
BOC
2
A
或
BOC
3 60
2
A
；
（
3
）
R
abc
4
S
；
（
4< br>）锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其
内切圆与外接圆半径之和．
27
．
旁心：
一内角平分线与两外角平分线交点——旁切圆圆心；
设△
ABC
的
三边
BC
a
,
A C
b
,
AB
c
,
令
p
1
(
a
b
c
)
，
分别与
BC
,
AC
,
AB
外侧相切的旁切圆
2< br>圆心记为
I
A
,
I
B
,
I
C
，其半径分别记为
r
A
,
r
B
,
r
C< br>．
旁心性质：
（
1
）
BI
A< br>C
90
1
A
,
BI
B
C
BI
C
C
1
A
,
（对于顶角
B
，
C
也有
2
2
类似的式子）
；
（
2
）
I
A
I
B
I
C
1
(
A
C
)
；
2
（
3
）设
AI
A
的连线交△
ABC
的外接圆于
D
，则
DI
A
DB
DC
（对于
BI
B
,
CI
C
有
同样的结论）
；
（
4
）
△
ABC
是△
I
A
I
B
I
C
的垂足三角形，
且△
I
A
I
B
I
C
的外接圆半径
R
'
等于△
ABC
的直径为
2< br>R
．