庆国庆-弛怎么组词

2021年1月29日发(作者：血疫)












高中数学讲义


排列数组合数的计算与证明

知识内容

1
．基本计数原理

⑴
加法原理

分类计数原理：做一件事，完成它有
n
类办法 ，在第一类办法中有
m
1
种不同的方法，在第二类办法中
有
m
2
种方法，
……
，在第
n
类办法中有
m
n
种不同的方法．那么完成这件事共有
N

m
1

m
2


m
n
种
不同的方法．又称加法原理．


⑵
乘法原理

分步计数原理：做一件事，完成它需要分成
n
个子步骤，做第一个步骤有
m
1
种不同的方法，做第二个
步
骤
有
m
2
种
不
同
方
法
，
……
，
做
第
n
个
步
骤
有
mn
种
不
同
的
方
法
．
那
么完
成
这
件
事
共
有
N

m1

m
2


m
n
种不同的方法．又 称乘法原理．



⑶
加法原理与乘法原理的综合运用
< br>如果完成一件事的各种方法是相互独立的，
那么计算完成这件事的方法数时，
使用分类计 数原
理．
如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，
即各个步骤都必须完成，
这件事才告完成，
那么计
算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．

分 类计数原理、
分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问
题的 基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用．

2
．

排列与组合

⑴
排列：一般地，从
n
个不同的元素中任取
m
(
m
≤
n
)
个元 素，按照一定的顺序排成一列，叫做从
n
个不同元素中取出
m
个元素的一个排 列．
（其中被取的对象叫做元素）

排列数：
从
n
个不同的 元素中取出
m
(
m
≤
n
)
个元素的所有排列的个数 ，
叫做从
n
个不同元素中取出
m
个元素的排列数，用符号
A
m
n
表示．

(
n

m

1)
，
m
，
n

N

，并且
m
≤
n
．

排列数公式：
A
m
n

n
(
n

1)(
n

2)
全排列 ：一般地，
n
个不同元素全部取出的一个排列，叫做
n
个不同元素的一个全排 列．

n
的阶乘：正整数由
1
到
n
的连乘积，叫作
n
的阶乘，用
n
!
表示．规定：
0!

1
．

⑵
组合：
一般地，
从
n
个不同元素中 ，
任意取出
m
(
m
≤
n
)
个元素并成一组 ，叫做从
n
个元素中任取
m
个元素的一个组合．

组合数： 从
n
个不同元素中，任意取出
m
(
m
≤
n
)
个元素的所有组合的个数，叫做从
n
个不同元素
中，任意取出
m< br>个元素的组合数，用符号
C
m
n
表示．

组合数公式 ：
C
m
n

n
(
n

1)(n

2)
(
n

m

1)
n
!

，
m
,
n

N

， 并且
m
≤
n
．

m
!
m
!(n

m
)!
n

m
m
m
< br>1
组合数的两个性质：性质
1
：
C
m
；性质
2
：
C
m
．
（规定
C
0
n
C
n
n

1

C
n

Cn
n

1
）

⑶
排列组合综合问题


思维的发掘


能力的飞跃

1
高中数学讲义


解排列组合问题，
首先要用好两个计数原理和排列 组合的定义，
即首先弄清是分类还是分步，
是排
列还是组合，同时要掌握一些常见类型 的排列组合问题的解法：

1
．特殊元素、特殊位置优先法

元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；

位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；

2
．分类分步法：
对于较复杂的排列组合问题，
常需要分类讨论或分步计算，
一定要做 到分类明确，
层次清楚，不重不漏．

3
．排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．

4
．
捆绑法：
某些元素必相邻的排列，
可以先将相邻的元素
“捆成一个
”
元素，
与其它元素进行排列，
然后再给那
“
一捆元素
”
内部排列．

5
．插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空．

6
．
插板法：
n
个相同元素，
分成
m
(< br>m
≤
n
)
组，
每组至少一个的分组问题
——
把
n
个元素排成一排，
m

1
从
n
1
个空中选
m

1
个空，各插一个隔板，有
C
n

1
．

7
．分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序 ）．有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均
分成
n
堆（组），必须除以
n
！，如果有
m
堆（组）元素个数相等，必须除以
m
！
< br>8
．错位法：编号为
1
至
n
的
n
个小球放入 编号为
1
到
n
的
n
个盒子里，每个盒子放一个小球，要求< br>小球与盒子的编号都不同，
这种排列称为错位排列，特别当
n

2，
3
，
4
，
5
时的错位数各为
1
，< br>2
，
9
，
44
．关于
5
、
6
、
7
个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为
2
个、
3个、
4
个元素的错位
排列的问题．


1
．排 列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径：

①
元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；

②
位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；
③
间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数．

求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；
再通过分析确定运用分类计数原 理
还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免
“
选取
”
时重复和遗 漏；最后列出式子计算作答．

2
．具体的解题策略有：

①
对特殊元素进行优先安排；

②
理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏；

③
对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复；

④< br>对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法；

⑤
顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理；

⑥
对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面．

⑦
对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．



典例分析



排列数组合数的简单计算

【例
1
】

对于满足
n
≥
13
的 正整数
n
，

n

5

n
< br>6

...

n

12


（

）

7
8
12
A
．
A
7
n

12






B
．
A
n

5







C
．
A
n

5








D
．
A
n

5


2

思维的发掘


能力的飞跃


【例
2
】

计算
Α
3
7

______
．

高中数学讲义




3
【例
3
】

计算
A
10
，
A
6
6
；






2
【例
4
】

计算
C
7

______
，
C
5
7

_______
．



3
6
【例
5
】

计算
C
10
，
C
8
；






4
3
48
2
3
【例
6
】

计算
A
3
7
，
A
10
，
C
7< br>，
C
50
，
C
19

C
19
．





Α
3
【例
7
】

已知
Α
4
2
n

1

140
n
，求
n
的 值．






【例
8
】

解不等式
A
8
x
< br>6
A
8
x

2






8
7
8
【例
9
】

证明：
A
9
9

9A
8

8A
7

A
8
．







思维的发掘


能力的飞跃

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