截面形心和惯性矩的计算
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2021年01月29日 16:04
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三分钟故事-肃穆的意思
工程构件典型截面几何性质的计算
2.1
面积矩
1
．面积矩的定义
图
2-2.1
任
意
截
面的几何图形
< br>如图
2-31
所示为一任意截面
的几何图形
(
以下简称图形< br>)
。定义：积分
和
分别定义为该图形对
z
轴和
y轴的面积矩或静
矩，用符号
S
z
和
S
y
，来表 示，如式
(2
—
2.1)
(2
—
2.1)
面积矩的数值可正、可负，也可为零。面积矩的
量纲是长度的三次方，其常用单位为
m
3
或
mm
3
。
2
．面积矩与形心
平面图形的形心坐标公式如式
(2
—
2.2)
(2
—
2.2)
或改写成，如式
(2
—
2.3)
(2
—
2.3)
面积矩的几何意义：图形的形心相对于指定的坐
标 轴之间距离的远近程度。
图形形心相对于某一坐标距
离愈远，对该轴的面积矩绝对值愈大。
图形对通过其形心的轴的面积矩等于零；反之 ，
图形对某一轴的面积矩等于零，该轴一定通过图形形
心。
3
．组合截面面积矩和形心的计算
组合截面对某一轴的面积矩等于其各简单 图形对
该轴面积矩的代数和。如式
(2
—
2.4)
(2
—
2.4)
式中，
A
和
y
i
、
z
i
分别代表各简单图形的面积和形
心坐标。组合平面图形的形心位置由 式
(2
—
2.5)
确定。
(2
—
2.5)
2.2
极惯性矩、惯性矩和惯性积
1
．极惯性矩
任意平面图形如图
2-31
所示，其面积为
A
。定义：
积分
称为图形对
O
点的极惯性矩，用符号
I
P
，
表示，如式< br>(2
—
2.6)
(2
—
2.6)
< br>极惯性矩是相对于指定的点而言的，即同一图形对
不同的点的极惯性矩一般是不同的。极惯性矩恒 为正，
其量纲是长度的
4
次方，常用单位为
m
4
或
mm
4
。
(1)
圆截面对其圆心的极惯性矩，如式
(2
—
7)
(2
—
2.7)
(2)
对于外径为
D
、
内径为
d
的空心圆截面对圆心的
极惯性矩，如式
(2
—
2.8)
(2
—
2.8)
式中，
d
/
D
为空心圆截面内、外径的比值。
2
．惯性矩
在如图
6-1
所示中，定义积分，如式
(2
—
2.9)
(2
—
2.9)
称为图形对
z
轴和
y
轴的惯性矩。惯性矩是对一定
的轴而言的，同 一图形对不同的轴的惯性矩一般不同。
惯性矩恒为正值，其量纲和单位与极惯性矩相同。
同一图形对一对正交轴的惯性矩和对坐标原点的
极惯性矩存在着一定的关系。
如式
2
—
2.10)
I
P
=
I
z
+
I
y
(2
—
2.10)
上式表明，图形对任一点的极惯性矩，等于图形
对通过此点且在其平面内的任一对正交轴惯性矩之和。
表
6-1
给出了一些 常见截面图形的面积、
形心和惯
性矩计算公式，以便查用。工程中使用的型钢截面，如
工字钢、槽钢、角钢等，这些截面的几何性质可从附录
的型钢表中查取。
3
．惯性积
如图
2
—
32
所示，积分< br>定义为图形对
y
，
、
z
轴的惯性积，用符号
I
yz
表示，如式
(2
—
11)
(2
—
11)
图
2-2.2
具
有
轴
对称的图形
惯性积是对于一定的一对正交坐标轴而言的，
即同一图
形对不同的正交坐标轴的惯性积不同 ，
惯性积的数值可
正、可负、可为零，其量纲和单位与惯性矩相同。
由惯性 积的定义可以得出如下结论：若图形具有
对称轴，
则图形对包含此对称轴在内的一对正交坐标抽
的惯性积为零。
如图
2-32
所示，
y
为图形的对称轴.
则整
个图形对
y
、
z
轴的惯，性积等于零。
常见图形的面积、形心和惯性矩
表
2
—
2.1
序
形
心
位
图
形
面
积
惯性矩
(
形心轴
)
号
置
1
2