全错位排列递推公式的简易推导(齐麟-晋级)
玛丽莲梦兔
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2021年01月29日 16:05
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:
全错位排列递推公式的简易证明
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齐麟
错位排列作为排列组合中的一类典型题目，自身难度较高，
考生往往只是知其然而不知
其所以然，
即只了解全错位排列的递推 公式，
而不能理解其含义以及灵活的运用。
本文结合
图示的方法，对全错位排列公式进 行简易的证明。
首先，我们先来认识错位排列：
1.
部分错位排列：
【例】
5
个人站成一排，其中甲不站 第一位，乙不站第二位，共有多少种不同的站法。
用排除法：
4
先考虑
5
个人的全排列，有
A
5
5
种不同的排法 ，然后除去甲排第一（有
A
4
种）与乙排第
二（也有
A
4< br>，但两种情况又有重复部分，因此多减了一部分，必须加上多减部分，这样
4
种）
4
3
得到共有：
A
5
5
－
2
A
4
＋
A
3
＝
78
种。
2.
全错位排列：
【例】
5
个人站成一排，其中
A
不站第一位，
B
不站第二位，
C
不站第三位，
D
不站第
四位，
E
不站第五位，共有多少种不同的站法。
【分析】仿照以上解法，我们有
5
4
2
3
32
4
1
5
0
D
5
A
5
C
1
5
A
4
C
5
A
3
C
5
A
2
C
5
A
1
C
5
A0
44
故
5
人的全错位排列方式共有
44
种。
因此我们可以由容斥原理得到
n
个元素的全错位排列公式：
错误！ 未找到引用源。
=n!(1-1/1!+1/2!-1/3!+...+(-1)^n*1/n!)
错位排列的递推公式
简单计算后我们有：
D
1
0
；
错误！未找到引用源。
；
D
3
2
。
计算四元素全错位排列时我们可以这样考虑：
假定元素为
A、
B
、
C
、
D
；对应的位置为
a
、< br>b
、
c
、
d
。对于元素
A
，我们可将其放在
b
、
c
、
d
三个位置，容易看出，这三个位置对于 元素
A
来说是等价的；假定
A
现
在放在了
b
位置。
A
B
C
D
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a
b
c
d