集合与符号
玛丽莲梦兔
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2021年01月29日 19:45
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集合与符号
第一章
准备知识
§
1.1
集合与符号
一、集合
1
．定义：
由确定的一些对象汇集的总体称为集合；
组成集合的这些对象被称为集合的
元素
．
2
．表示：用大写字母
A
、
B
、
C
…表示集合；
用小写字母
a
、
b
、
c
…表示集合的元素．
< br>x
是集合
E
的元素，记为
x
E
(
读作：
x
属于
E
);
y
不是集合
E
的元 素，记为
y
E
(
读作：
y
不属于
E)
．
不含任何元素的集合称为空集合，记作
3
．集合间的关系
（
1
）子集合：
如果集合E
的任何元素都是集合
F
的元素，那末我们就说
E
是
F
的
子集合
，简称为
子集
，记为
E
F
(
读作
E
包含于
F
）,
或者
F
E
（读作< br>F
包含
E
）
．
（
2
）相等：如果集合
E
的任何元素都是集合
F
的元素，并且集合
F
的任何元素
也都是集合
E
的元素（即
E
F
并且< br>F
E
）
，那末我们说集合
E
与集合
F相
等
，记为
E
F
．
我们约定：空集合
是任何集合
E
的子集，即
E
．
二、数集
1
．
N
自然数集
;
Z
整数集
;
Q
——
有理数集
;
R
——
实数集
;
C
复数集．
把非负整 数、非负有理数和非负实数的集合分别记为
Z
，
Q
和< br>R
,
显然有
N
Z
Q
R
C
．
和
N
Z
Q
R
．
2
．区间
——数轴上的一段所有点组成的集合
1
/
151
/
15
集合与符号
符
号
名
称
定
义
(
a
,
b
)
[
a
,
b
]
有限区间
开区间
闭区间
半开区间
半开区间
开区间
闭区间
无限区间
开区间
闭区间
x
a
x
b
x
a
x
b
x
a
x
b
x
a
x
b
x
a
x
(
a
,
b
]
[
a
,
b
)
(
a
,
)
[
a
,
)
(
,
a
)
(
,
a
]
x
a
x
x
x
a
x
x
a
3
．邻域
设
a
R
，
0
.
数集
x
x
a
称为a
的
邻域，记为
U
(
a< br>,
)
=
x
x
a
< br>=
a
,
a
< br>,
a
称为邻域的中心；
称为邻域的半径。
当不需要注明邻域的半径< br>
时，常把它表为
U
(
a
)
，简称
a
的邻域．
数集
x
0
x
a
表示在
a
的
邻域
U< br>(
a
,
)
中去掉
a
的集合，称为
a
的
去心邻域，记作
U
(
a
,
)
=
x
0
x
a
=
a
,
a
-
a
，
当不需要注明邻域半径
时，常将它表为
U
(
a
)
，简称
a
的去心邻域．
三、逻辑符号
1
．符号“
”表示“蕴涵”或“推得”
，或“若…，则…”
．
A
B
——若命题< br>A
成立，则命题
B
成立
;
或命题
A
蕴涵命题
B
;
称
A
是
B
充分条件，同时也称
B是
A
的必要条
2
/
152
/
15
集合与符号
例如：
n
是整数
n
是有理数
< br>符号“
”表示“必要充分”
，或“等价”
，或“当且仅当”
．
A
B
表示命题
A
与命 题
B
等价
;
或命题
A
蕴涵命题
B
（
A
B
）
，同
时命题
B
也蕴涵命题
A< br>（
B
A
）
例如：
A
B
任意
x
A
，有
x
B．
2.
量词符号
符号“
< br>”表示“任意”
，或“任意一个”
，它是将英文字母
A
倒过来．
符号“
”表示“存在”
，或“能找到”
，它 是将英文字母
E
反过来．
应用上述的数理逻辑符号表述定 义、定理比较简练明确．例如，数集
A
有上
界
、
有下界
和< br>有界
的定义：
数集
A
有上界
b
R
，
x
A，有
x
b
．
数集
A有下界
a
R
，
x
A
，有
a
x
．
数集
A
有界
M
0
，
x
A
，有
x
M
．
A
既有上界，又有下界。
请试证明，上面两者等价。
3
．
max
与
min
符号“
max
”表示“最大”
（ 它是
maximum(
最大
)
的缩写）
．
符号“
min
”表示“最小”
（它是
minimum(
最小
)的缩写）
．
设
a
1
,
a
2
,
,
a
n
是
n
个数．例如：
max{
a
1
,
a
2
,
,
a< br>n
}
——
n
个数
a
1
,
a
2
,
,
a
n
中最大数．
min{a
1
,
a
2
,
,
a
n}
——
n
个数
a
1
,
a
2
,
,
a
n
中最小数．
4
．
n
！与
n
！
！
符号“
n
！”表示“不超过
n
的所有自然数的连乘积”
，读作“
n
的阶乘” 即
n
！
=
n
（
n
-1
）…
3
·
2
·
1
．
如
7
！
=
7
·
6
·
5
·
4
·
3
·
2
·
1
．
符号“
n
！
！
”表示“不超过
n
并 与
n
有相同奇偶性的自然数的连乘积”
，读作
“
n
的双阶乘 ”
，即
（
2
k
-1
）
！
！
=
（
2
k
-1
）
（2
k
-3
）…
5
·
3
·
1
．
（
2
k
-2
）
！
！
=
（
2
k
-2
）
（
2
k
-4
）…
6
·
4
·
2
．
如
9
！
！
=
9
·
7
·
5
·
3
·
1,
12
！
！
=12
·
10
·
8
·< br>6
·
4
·
2
．
规定：
0
！
=1
．
5
．
连加符号Σ与连乘符号Π
3
/
153
/
15
集合与符号
在数学中，常遇到一连串 的数相加或一连串的数相乘，例如
1+2+
…
+
n
或者
m
(
m
1
)
(
m
k
1
)
等．为简便起见，人们引入连加符号Σ与连乘符号Π：
x
i
1
n
i< br>
x
1
x
2
x< br>n
，
x
i
i
1
n
x
1
x
2
x
n
．
这里的指标
i
仅仅用以表示求和或求乘积的范围，把
i
换成别的符号
j
，
k
等，
也同样表示同一和或同一乘积，例如
x
j
1
n
j
x
1
x
2
x
n
x
i
，
i
1
n
x
j
1
n
j
x
1
x
2
x
n
x
i
．
i
1
n
人们通常把这样的指标称为“哑指标”
．
我们举几个例子说明连加符号Σ与连乘符号Π的应用．
例
1
阶乘
n
!
的定义可以写成
n
！
=
j
．
j
1
n
n
j
n
j
n
j
k
n
k
k
C
n
a
b
k
0
n
n
例
2
二项式定理可以表示为
(
a
b)
C
a
b
j
0
，
其中
C
n
k
n
(
n
1
)
(
n
k
1
)
n
!
．
k
!
k
!
(
n
k
)!
4
/
154
/
15
集合与符号
§
1.2
函数
一、函数概念
1
．量
在我们的研究过程中，变化的量称为
变量
；
不变化的量称为
常量
而函数是考察变量之间关系的重要概念。
2
．引例
例
1
自由落体，物体下落的时间
t
与下落的距离
s
互相联系着
s
1
2
gt
其中
g
是重力加速度，是常数．
2
2
h
，都对应一个距离
s
．
g
如果物体距地面的高度为
h
，
t
0
,
例
2
球的半径
r
与该球 的体积
V
:
V
4
3
r
其中< br>
是圆周率，是常数．
3
r
[0
，
]
都对应一个球的体积
V
．
t
上面两例来自于不同的问题 ，但是他们确有共同之处，我们将其抽象出来，
便是函数的概念。
3
．定义
设
A
是非空数集．若存在对应关系
f
，对
A
中任意数
x
（
x
A< br>）
，
按照对应关系
f
，
对应唯一一个
y< br>
R
，则称
f
是定义在
A
上的
函数
，表为
f
:
A
R
,
（
1
）数
x
对应的数
y
称为
x
的
函数值
，表为
y
f
(
x
)
；
（
2
）
x
称为
自变量
，
y
称为
因变量；
（
3
）数集
A
称为函数
f
的
定义域
，函数值的集合
f
(
A
)
f
(
x
)
x
A
称为函
数
f
的
值域。
根据函数定义不难看到，上述四例皆为函数的实例．
关于函数概念的几点说明
:
（
1
）函数的符号可简化：为方便起见，我们约定，将
“
f
是定义在数集
A
上的
函数
”
，用符号
“
y
f
(
x
)
，
x
A
”
表示．当不需要指明函数
f
的定义域时，又
5
/
155
/
15
集合与符号
可简写为“
y
f
(
x
)
”< br>，有时甚至笼统地说“
f
(
x
)
是
x
的函数
(
值
)
”
．
（
2
）求函数的定义域：
当函数无实际意义时定义域是使函数y
=
f
(
x
)
有意义的实数
x
的集合
。
例
，
函
数
f
(
x
)
1
x
2
，
它
的
定
义
域
就
是
使
函
数
A
{
x
f
x
R
｝
即闭区间
[-1
，
1]
{
x
1
x
2
R
｝
.
f
(
x
)
1
x
2
有意义的实数
x
的集合，
当 函数有实际意义，它的定义域要受实际意义的约束．例如，上述例
2
，半
4
3
r
这个函数，从抽象的函数来说，
r
可取任意实数﹔
3
从它的实际意义来说，
半径
r
不能取负数，因此它的定义域是区间［
0
，
］
。
径为
r
的球的体积
v
（
3
）在函数
y
f
(
x
)
的定义中，要求对应于
x
值的
y
值是唯一确定的，这种函
数也称为
单值函数
．如果取消唯一这个要 求，即对应于
x
值，可以有两个以上确
定的
y
值与之对应，
那么函数
y
f
(
x
)
称为
多值函数．
例如函数
y
r
2
x
2
是多（双）值函数．
（
4
）函数的两要素为：定义域和对应法则，与变量用何符号表示没有关系。
4
．函数的实例
例
1
取整函数
y
=[
x
]
，表示
x
R
，对应的
y
是不超过
x
的最大整数．
y
如
[2
．
5]=2
，
[3]=3
，
[0]=0
，
[-
]=-4
1
,
如果
t
0
例
2
符号函数
H
(
t
)
0
,
如
果
t
0
1
,
如
果
t
0
o
图
1.2-1
x
x
例
3
y
x
x
x
0
x
0
;
图形为（图
1.2-1
）
上述几个函数的定义域分成了若干部分， 而在不同部分上，函数值用不同的
表达式表示，这样的函数称为
分段函数
。
注意
：分段函数是一个函数。
二﹑几类具有特殊性质的函数
1.
有界函数
6
/
156
/
15
集合与符号
定义
:
设函数
f
(< br>x
)
在数集
A
有定义，若函数值的集合
f
(
A
)=
f
(
x
)
x
A
有
界，
（即
M
>0
，使
x
A
，
有
f
(
x
)
M
）
，则称函数
f
(
x
)
在
A
有界
，
否则称
f
(
x
)
在
A
无界．
例
函
数
y
sin
x
在
(-
，
+
)
内
是
有
界
的，
因
为
对
x
R
，
都有
sin
x
1
．函数
y
2
．单调函数
1
在
(0
，
2)
上是无界的，在
[1
，
]
上是有界的．
x
定义
设函数
f< br>(
x
)
在数集
A
上有定义，若
对
x
1
,
x
2
A
且
x
1
x
2
，
f
(
x
1
)
f
(
x
2
)
(
f
(
x
1
)
f
(
x
2
))
，
则称函数
f
(
x
)
在
A< br>严格单调增加
(
严格单
调减少
)
；
上述不等式改为< br>
f
(
x
1
)
f
(
x< br>2
)
(
f
(
x
1
)
< br>f
(
x
2
))
，
则称函数
f
(x
)
在
A
单调增加
(
单调减少
)
．< br>
例
(1)
函数
y
x
< br>在
(-
，
+
)
内是严格增加的．
(2)
函数
y
2
x
1
在
(-
，
0)
内是严格减少的，在
[0
，
+
)
内是严格
增加的．因此，在
(-
，
+
)
内，
y
2
x
1
不是单调函数．
3
．奇函数与偶函数
定义
设函数
f
(
x
)
定义在数集
A
，若
x
A
，有
-
x
A
，且
f
(-
x
)=
-
f
(
x
)
(
f
(-
x
)=
f
(
x
))
，
则称函数
f
(< br>x
)
是
奇函数
(
偶函数
)
．
图象
点
(
x
0
,
y
0
)
在奇函数
y
=
f
(
x
)
的图象上，即
y
0
f
(
x
0
)
，则
2
2
3
f
(
x
0
)
f
(
x
0
)
y
0
即
(
x
0
,
y
0
)
也在奇函数
y
=
f
(
x
)
的图象上．
于是
奇函数的图象关于原点对称
；
7
/
157
/
15