数学实验2.
余年寄山水
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2021年01月30日 00:36
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社会实践总结-铅笔的英语
数学实验
.
实验
2
4
.
某日凌晨一住 所发生一件凶杀案，
警方于
6
时到达现场后测得尸温
26
℃，
室温
17
℃，
2
小时
后尸温下降了
3
℃，试根据 冷却定理建立差分方程，估计凶杀案发生的时间（可设正常体温
为
37
℃）
解：设
t0
为正常体温，
y
为死亡后人的体温，
x
为时间。差分方程由冷却定理得。
冷却定律：
T=C+(T0-C)*e^-kt
C
是室温，
T0
是人体常温
37
℃，
T
为死亡后第
t
小时的体温，
k
为可求常数。
程序：
函数
function
y=swsj1(x)
%
带参数求得
k=0.2027
，令
a=k
t0=37;
a=0.2027
y=17+(t0-17)*exp(-a*x)
end
n=6;
x=0:n;
y=swsj1(x)
plot(x,y','r*')
gtext('
死亡时间
'),
运行结果：
a =
0.2027
y =
37.0000 33.3305 30.3342 27.8877 25.8900 24.2589 22.9271
y =
37.0000 33.3305 30.3342 27.8877 25.8900 24.2589 22.9271
由结果知此人的死亡时间为
2
:00.
5.
据报道， 某种山猫在较好、中等及较差的自然环境下，
年平均增长率分别是
1.68%
，
0.55%
和
-4.50%
，假定开始时有
100
只山猫，按以下 情况讨论山猫数量逐年变化过程及趋势：
（
1
）
3
种自然 环境下
25
年的变化过程（作图）；
（
2
）如果每年捕获 三只，会发生什么情况？山猫会灭绝吗？如果每年捕获一只呢？
（
3
）在较差的自然环境下，
如果想使山猫数量稳定在
60
只左右，
每年需要人 工繁殖多少只？
（
1
）
3
种自然环境下
25年的变化过程（作图）
程序
:
function x=cat(x0,n,r)
x=x0;
for k=1:n
x(k+1)=(1+r)*x(k);
end
k=(0:25)';
y1=cat(100,25,0.0168);
y2=cat(100,25,0.0055);
y3=cat(100,25,-0.0450);
round([k,y1',y2',y3'])
plot(k,y1,k,y2,'r:',k,y3,'g--'),grid
gtext ('
较好环境
'),gtext('
中等环境
'),gtext('
较差环境
')
结果：
ans =
0 100 100 100
1 102 101 96
2 103 101 91
3 105 102 87
4 107 102 83
5 109 103 79
6 111 103 76
7 112 104 72
8 114 104 69
9 116 105 66
10 118 106 63
11 120 106 60
12 122 107 58
13 124 107 55
14 126 108 52
15 128 109 50
16 131 109 48
17 133 110 46
18 135 110 44
19 137 111 42
20 140 112 40
21 142 112 38
22 144 113 36
23 147 113 35
24 149 114 33
25 152 115 32
（
2
）如果每年捕获三只，会发生什么情况？山猫会灭绝吗？如果每年捕获一只呢？< br>
（
i
）每年捕获三只
程序
:
function x=cat(x0,n,r)
x=x0;
for k=1:n
x(k+1)=(1+r)*x(k)-3;
end
command
窗口程序同第一问
结果：
ans =
0 100 100 100
1 99 98 93
2 97 95 85
3 96 93 78
4 95 90 72
5 93 88 66
6 92 85 60
7 90 83 54
8 89 80 49
9 87 77 43
10 86 75 39
11 84 72 34
12 83 70 29
13 81 67 25
14 79 64 21
15 78 62 17
16 76 59 13
17 74 56 10
18 73 54 6
19 71 51 3
20 69 48 0
21 67 46 -3
22 65 43 -6
23 63 40 -9
24 61 37 -11
25 59 35 -14
(ii)
每年捕获一只
程序
:
function x=cat(x0,n,r)
x=x0;
for k=1:n
x(k+1)=(1+r)*x(k)-1;
end
command
窗口程序同第一问
结果
:
ans =
0 100 100 100
1 101 100 95
2 101 99 89
3 102 99 84
4 103 98 79
5 104 98 75
6 104 97 70
7 105 97 66
8 106 96 62
9 107 96 59
10 107 95 55
11 108 95 51
12 109 94 48
13 110 94 45
14 111 93 42
15 111 93 39
16 112 92 36
17 113 92 34
18 114 92 31
19 115 91 29
20 116 91 26
21 117 90 24
22 118 90 22
23 119 89 20
24 120 88 18
25 121 88 16
答
:
若每年捕获三只
,
无论在什么环境情况下
,
均会灭绝
;
若每年捕获一只
,
则在中等和
较差的环境下会灭 绝
.
（
3
）
在较差的自然环境下，
如果想使山 猫数量稳定在
60
只左右，
每年需要人工繁殖多少只？
程序
:
syms b
solve(60-(1-0.0450)*60-b)
结果
:
ans =
27/10
答
:
在较差的自然环境下，如果想使山猫数量稳定在< br>60
只左右，每年需要人工繁殖
3
只
.
8.在某种环境下猫头鹰的主要食物来源是田鼠，
设田鼠的年平均增长率为
r1
，猫头鹰的存在
引起的田鼠增长率的减少与猫头鹰数量成正比，比例系数
a1
；猫头 鹰的年平均减少率为
r2
；
田鼠的存在引起的猫头鹰减少率增加与田鼠的数量成正比，
比例系数为
a2
，
建立差分方程模
型描述田鼠和猫头鹰共 处时数量变化规律，对以下情况作图给出
50
年的变化过程。
解：设
x
为田鼠数，
y
为猫头鹰数。
程序如下：
函数：
function z=ms(x0,y0,r1,r2,a1,a2,n)
x=x0;
y=y0;
for k=1:n
x(k+1)=(1+r1-a1*y(k))*x(k);
y(k+1)=(1-r2+a2*x(k))*y(k);
end
z=[x',y'];
运行结果；
ans =
37.2001
z =
2
y =
0
37.2001
33.5035
30.4834
28.0159
26.0000
（
1
）设
r1=0.2< br>，
r2=0.3,a1=0.001
，
a2=0.002,
开始时有< br>100
只田鼠和
50
只猫头鹰。
z=ms(100,50,0.2,0.3,0.001,0.002,50);
k=(0:50)';
[k,z]
plot(k,z(:,1),k,z(:,2)),grid,
gtext('x(k)'),gtext('y(k)'),
(2)r1,r2 ,a1,a2
同上，开始时有
100
只田鼠和
200
只猫头鹰。
z=ms(100,200,0.2,0.3,0.001,0.002,50);
k=(0:50)';
[k,z]
plot(k,z(:,1),k,z(:,2)),grid,
gtext('x(k)'),gtext('y(k)'),
(3)
适当改变参数
a1,a2
（初始值同上）。
令
a1=0.003,a2=0.001,
有如下数据图像
z=ms(100,200,0.2,0.3,0.003,0.001,50);
k=(0:50)';
[k,z]
plot(k,z(:,1),k,z(:,2)),grid,
gtext('x(k)'),gtext('y(k)'),
（
4
）求差分方程的平衡点，它们稳定吗？
令
x(k)= x(k+1)=x,y(k)=y(k+1)=y,
得平衡点是
(150
，
2 00)
。
但是由图像可以看出它们并不稳定。
9.< br>研究将鹿群放入草场后草和鹿两种群的相互作用，草的生长遵从
Logistic
规律， 年固有
增长率
0.8
，最大密度为
3000
（密度单位），在草最茂 盛时每只鹿每年可吃掉
1.6
（密度单
位）的草，若没有草，鹿群的年死亡率高达0.9
，而草的存在可使鹿的死亡的以补偿，在草
最茂盛时补偿率为
1.5
，作出一些简化假设，用差分方程模型描述草和鹿两种群数量的变化
过程，就一下情况进行讨论，
（
1
）比较将
100
只鹿放入密度为
1000
和密度
3000
的草场两种情况。
（
2
）适当改变参数，观察变化趋势。
解：设
x
为鹿群数，
y
为草的数量，
H
为草场的最大密度。
（
1
）
程序：
function
z=chl(x0,y0,n)
H=3000;
x=zeros(1,n);y=x;
a=x;b=x;
a(1)=1.6;b(1)=1.5;
x(1)=x0;