分式方程及分式化简
玛丽莲梦兔
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2021年01月30日 03:38
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读书演讲稿-气喘吁吁的意思
分式方程及分式化简
【知识精读】
1.
解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程。
2.
解分式方程的一般步骤：
（
1
）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；
（
2
）解这个整式方程；
（
3
）验根：把整式方程的根代入最简公 分母，看结果是否等于零，使最简公分母等于
零的根是原方程的增根，必须舍去，但对于含有字母系数的 分式方程，一般不要求检验。
3.
列分式方程解应用题和列 整式方程解应用题步骤基本相同，但必须注意，要检验求得
的解是否为原方程的根，以及是否符合题意。
下面我们来学习可化为一元一次方程的分式方程的解法及其应用。
【分类解析】
例
1.
解方程：
x
2
1
x
1
x
1
分析：
首先要确定各分式分母的最简公分母，
在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，< br>解
完后记着要验根
解：方程两边 都乘以
(
x
1
)(
x
1
)< br>，得
x
2
2
(
x
1
)
(
x
1
)(
x
1
)
，
即
x
2
2
x
x
2
1
2
，
x
3
2
3
经检验：
x
是原方程的根。
2
例
2.
解方程
x
< br>1
x
6
x
2
x
5< br>
x
2
x
7< br>x
3
x
6
< br>分析：直接去分母，可能出现高次方程，给求解造成困难，观察四个分式的分母发现
(
x
6
)
与
(
x
7
)
、
(
x
2
)
与
(
x
3
)
的值相差
1
，而分子也有这个特点，因此，可将分母
的值相差1
的两个分式结合，
然后再通分，
把原方程两边化为分子相等的两个分式，
利用分
式的等值性质求值。
解：原方程变形为：
方程两边通分，得
x
6
x
5
x
2
x
1
x
7
x
6
x
3
x
2
1
1
(
x
6
) (
x
7
)
(
x
2
)(
x
3
)
所以
(
x
6
)(< br>x
7
)
(
x
2
)(
x
3
)
即
8
x
3 6
9
x
2
经检验：原方程的根是
x
例
3.
解方程：
9
。
2
12
x
10
32
x
34
24
x
23
16
x
19
4
x
3
8
x
98
x
7
4
x
5
分析：
方程中的每个分式都相当于一个假分数，
因此，
可化为一个整数与一个简单的分
数式之和。
解：由原方程得：
3
1
2
2
1
4
3
4
4
x
3
8
x
9
8
x
7
4
x
5
即
2
2
2
2
8
x
9
8
x
6
8
x
1 0
8
x
7
1
1
，
(
8
x
9
)(
8
x
6
)
(
8
x
1
0
)(
8
x
7
)
)(
8
x
7
)
所
以
(
8
x
9
) (
8
x
6
)
(
8
x
1
0
解
得
：
x
1
于
是
经
检
验
：
x
1
是
原
方
程
的
根
。
6
y
12
y
2
4
y
2
0
例
4.
解方程：
y
4
y
4
y
2
4
y
4
y
2
4
分析：此题若用一般解法，则计算量较大。当把分子、分母分解因式后，会发现分 子与
分母有相同的因式，于是可先约分。
6
(
y
2
)
(
y
2
)(
y
2)
y
2
0
解：原方程变形为：
(
y
2
)(< br>y
2
)
(
y
2
)
2< br>(
y
2
)
2
6
y
2< br>y
2
0
约分，得
y
2
y
2
(y
2
)(
y
2
)
方程两边都乘以
(
y
2
)(
y
2
)
，得
6
(
y
2
)
(
y
2
)
y
0
2
2
整理，得
2
y
16
y
8
经检验：
y
8
是原方程的根。
注：分式方程命 题中一般渗透不等式，恒等变形，因式分解等知识。因此要学会根据方
程结构特点，用特殊方法解分式方 程。
5
、中考题解：
例
1
．若解分式方程
A.
1
或
2
C.
1
或
2
2
x
m
1
x
1
产生增根 ，则
m
的值是（
）
x
1
x
x
x
B.
1
或
2
D.
1
或
2
分析：分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值。由题意得增根是：
x
0
或
x
1
，
化简原方程为：< br>2
x
2
(
m
1
)
< br>(
x
1
)
2
，
把
x
< br>0
或
x
1
代入解得
m
1
或
2
，故选择
D
。
例
2.
甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小 时比甲班多种
2
棵树，甲
班种
60
棵所用的时间与乙班种
6 6
棵树所用的时间相等，
求甲、
乙两班每小时各种多少棵树？
分析：利用所用时间相等这一等量关系列出方程。
解：设甲班每小时种
x
棵树，则乙班每小时种（x+2
）棵树，
由题意得：
60
66
x
x
2
60
x
120
66
x
x
20
经检验：
x
< br>20
是原方程的根
x
2
22
答：甲班每小时种树
20
棵，乙班每小时种树
22
棵。
说明：在解分式方程应用题时一定要检验方程的根。
6
、题型展示：
例
1.
轮船在一次航行中顺流航行
80
千米，逆流航行
4 2
千米，共用了
7
小时；在另一
次航行中，
用相同的时间，顺流航行
40
千米，
逆流航行
70
千米。求这艘轮船在静水中的速
度 和水流速度
分析：在航行问题中的等量关系是“ 船实际速度
=
水速
+
静水速度”，有顺水、逆水，
取水速正、负值， 两次航行提供了两个等量关系。
解：设船在静水 中的速度为
x
千米
/
小时，水流速度为
y
千米
/< br>小时
42
80
7
x
y
x
y
由题意，得
40
70
7
x
y
x
y
x
17
解得：
y
3< br>
x
17
经 检验：
是原方程的根
y
3
答：水流速度为
3
千米
/
小时，船在静水中的 速度为
17
千米
/
小时。
例
2. m
为何值时，关于
x
的方程
2
mx
3
会产生增根？
x
2
x
4
x
2
2
解：方程两边都乘以
x
4
，得< br>2
x
4
mx
3
x
6
整理，得
(
m
1
)
x
10
1
0< br>m
1
如
果
方
程
产
生
增< br>根
，
么
那
x
2
4
0< br>，
即
x
2
或
x
2< br>当
m
1
时
，
x
x< br>
2
，
则
（< br>1
）
若
1
0
2
m
< br>
4
m
1
1
0
（
2< br>）
若
x
2
，
则
< br>
2
m
6
m
1
（< br>3
）
综
上
所
述
，
m
当
< br>
4
或
6
时
，
原
方
程
产< br>生
增
根
说明：分式方程的增根，一定是使最简公分母为零的根
【实战模拟】
1.
甲、乙两地相距
S千米，某人从甲地出发，以
v
千米
/
小时的速度步行，走了
a< br>小时后
改乘汽车，又过
b
小时到达乙地，则汽车的速度（
）
A.
S
a
b
B.
S
av
S
av
C.
b
a
b
D.
2
S
a
b
）
2.
如果关于
x
的方程
A.
3
3.
解方程：
2
m
1
有 增根，则
m
的值等于（
x
3
x
3C.
1
D. 3
B.
2
（
1
）
1
1
1
1
…
2
x
10
(
x
1
)(
x
2
)
(
x
2
)(x
3
)
(
x
9
)(
x< br>
10
)
（
2
）
x
x
2
x
4
x
0
2
4
1
x
1
x
1
x
1
x