落英缤纷的意思-夏天的景色

2021年1月30日发(作者：百万英镑英文版)
分式的运算

概念总汇

1
、
分式的乘法法则





与分数的乘法法则类似，
我们得到分式的乘法法则：
两个分式相乘，
用分子的积作为积
的分子，分母的积作为积的分母．





符号表示：

说明：

（
1
）分式与分式相乘时， 若分子和分母都是多项式，则先分解因式，看能否约分，然
后再相乘。


（
2
）整式与分式相乘，可以直接把整式（整式的分母看作
1
）与分式的分子相 乘作为
积的分子，分母不变，当然能约分的要约分。

2
、分式的除法法则





与分数的 除法法则类似，我们得到分式的除法法则：
两个分式相除，把除式的分子、分
母颠倒位置后，与 被除式相乘．





符号表示：

说明：

（
1
）当分式的分子与分母都是单项式时，运算步骤是：把 除式中的分子与分母颠倒位
置后，与被除式相乘，其它与乘法运算步骤相同。

（
2
）当分子与分母都是多项式时：运算步骤是：

①把各个分式的分子与分母分解因式；

②把除式的分子与分母颠倒位置后，与被除式相乘；

③约分，得到计算结果
.

3
、分式的乘方






几个相同分式的积的运算叫做分式的乘方。法则：分式的乘 方，等于把分式的分子、
分母分别乘方。






符号表示：
（
为正整数）
。

．

．


1
说明：





（
1
）分式的乘方，必须把分式加上括号。





（
2
）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先 算乘方，再算乘、除，
有多项式时应先分解因式，再约分。


4
、分式的加减法则






同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同
分母的分式，再加 减．






符号表示：

说明：





（
1
）同分母分式相加减时应注意：






①当分式的分子是多项式时，
应先添括号，
再去括号合并同类项 ，
从而避免符号错误。






②分 式的分子相加减后，若结果为多项式，应先考虑因式分解后与分母约分，将结果
化为最简分式或整式。< br>




（
2
）异分母分式相加减时应注意：






①把异分母的分式化成同分母的分式，在这个过程中必须保证化成的分式与其原来 的
分式相等；







② 通分的根据是分式的基本性质，分母需要乘“什么”
，分子也必须随之乘“什么”
；
分 式的分子、分母同时乘的整式是最简公分母除以分母所得的商。


5
、分式的混合运算






分式的混合运算顺序和实数的运算顺序相同，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有
括号要先算括号里 面的，计算结果要化为整式或最简分式。


6
、整数指数幂运算性质



（
1
）同底数幂的乘法




a
a

a
m
n
m

n
，
．

（
m
、
n
为整数，
a
≠
0
）



（
2
）积的乘方

m
m




ab


a
b
（
m
为整数，
a
≠
0
，
b< br>≠
0
）

m

2


（
3
）幂的乘方




a
m< br>

m
n

a
mn
（
m
、
n
为整数，
a
≠
0
）



（
4
）同底数幂的除法




a

a

a
n
m

n
（
m
、
n
为整数，
a
≠
0
）



（
5
）在上述知识的基础上，进一步规定




a

p

1
（
p
为正整数，
a< br>≠
0
）

p
a


（
6< br>）这样，又扩大了科学记数法可表示的数的范围：利用负指数幂，科学记数法不仅可
以表示绝对值 较大的数，也可以表示绝对值较小的数


方法引导

x

2
x
2

9

2
例
1

（
1
）

x

3
x

4
3
ab
2
8
xy
3
x

（
2
）
3

(

2
)


2
x
y
9
a
b
(

4
b
)
难度等级：
A



解：
（
1
）原式＝
x

2
(
x

3
)(< br>x

3
)
x

3

＝
< br>x

3
(
x

2
)(
x

2
)
x

2
16
b
2
3
ab
2
8
xy

4
b
3
ab
2< br>8
xy
4
b
（
2
）原式＝
3
(

2
)

=



2

=
3
3
9
ax
2x
y
9
a
b
3
x
2
x
y9
a
b
3
x

【知识体验】
分式乘除法 的混合运算先统一成为乘法运算，
再把分子、
分母中能因式分
解的多项式分解因式，最 后进行约分，注意最后的计算结果要是最简的。

【解题技巧】解题是，先利用符号法则，判断 结果的符号，把答案符号写在分数线前；
再约分，约分的时候先约掉系数，然后考虑字母。

【搭配练习】


计算：


1
、

(
xy

x
)

2
x

y

xy
x
2

1
x
2

2
x
2
、


(
x

1)

x
2

4
x
4
1

x

3


例
2

计算：

x
y
(
x

y
)
2
(
x

y
)
2
（
1
）
.
（
2
）
2
－


x

y
2
y
2

x
2
xy
xy

（
3
）
1
3
3
24
＋
；






（
4
）


3
x
2
4
x
x

4
x
2

16
难度等级：
A

(
x

y
)
2
(
x

y
)
2


解：
（
1
）


xy
xy2
2
2
2
2
2
(
x

y)

(
x

y
)
(
x
2
xy

y
)

(
x

2< br>xy

y
)

＝
4
xy
＝
4


＝

＝

xy
xy
xy

（
2
）
y
x
y
x

y
1
x




－

y
2

x
2
x
2

y
2
x
2

y
2

x

y

x

y

x

y
x
2

y
2
1
3
9
x

4
4
9
x

＋

＝

＝

3
x
2
4
x
12
x
2
12
x
2
12
x
23
24
3

x

4

24

2



x

4
x

1 6

x

4

x

4


x

4

x

4


（
3
）

（
4
）

3
x

12

24
3
x

12< br>3

x

4

3


< br>


x

4

x

4


x

4

x

4


x

4

x

4

x

4
【知识体验】
分式的加减分同分母加减和异分母加减。
分母 是同分母还是异分母要进行
辨别，如
x

y
和
y

x
，虽然表面上看上去不同，但对
y

x
添括号后可变成< br>2
2
2
2
2
2

x
2
< br>y
2
，依然是同分母。异分母加减要确定好最简公分母。

【解题技巧 】
同分母的分式加减法的运算，
强调分子为多项式时，
应把多项事看作一个
整 体加上括号参加运算，结果也要约分化成最简分式
.
异分母的分式加减法的运算，先把分
母进行因式分解，再确定最简公分母
,
进行通分，结果要化为最简分式
.
【搭配练习】


计算：



a
2
4

a

2

（
1
）
a

1


（
2
）
a

1
a

2

（
3
）

1




1

1
1
1
1


1



（
4
）



1
x

x
2

(
a

b< br>)(
a

c
)
(
b

c
) (
b

a
)
(
c

a
)(
c

b
)
4

例
3

计算：
(
x

2
x

1
4

x







)

2
2
x
x

2
x
x

4
x

4
难度等级：
A



解：

(
=
[
x

2
x

14

x


)

x
x
2
2
x
x
2

4
x

4x

2
x

1
x

]

x
(
x

2
)
(
x
2
)
2

(
x

4
)
(x

2
)(
x

2
)
x
(< br>x

1
)
x

]


2< br>2

(
x

4
)
x
(
x< br>
2
)
x
(
x

2
)
=
[
x
2

4

x
2

x
x
=


2

(
x
< br>4
)
x
(
x

2
)
=

1

x
2

4
x

4
【知识体验】分式的混合运算，
要注意运算顺序，
式与数有相同的混合运算顺序：< br>先乘
方，再乘除，然后加减
,
最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果 要是最简分式

【解题技巧】先做括号里的减法，再把除法转化成乘法，把分母的“
-
”号提到分式本
身的前边。


【搭配练习】

计算：

1
、

4
x

x

2


2




x

2
x

4
x

4

x

2
4
y
2
4
x
2
y
2
、
x

2
y



x

2
y
x
2

4
y
2





例
4

计算：


1

-
10
10

（
1
）
a

a
（
a
≠
0
）


（
2
）
10
2
；


（
3
）



10

1


3

难度等级：
A



解：
（
1
）
a

a

（
2
）
10

2
10
10
0

a
10

10

a
0

1




1
1



2
10
100

5
1
1

1


（
3
）



10

1

1

1


10
10

3


【知识体验】正整数指数幂的相关运算在负整数指数幂也适用，所以在整式章节所学的
正整数指数幂可以 扩大到整数指数幂。
负整数指数幂则被规定为
a
≠
0
）


【解题技巧】运用幂的相关运算和新的定义可以轻松解决


【搭配练习】


计算：


p
0

1
（
p
为正整数，
a
p
a
< br>1


1

-
2

（
1
）
（
-
0
.
1
）
0
；
（
2
）

；
（
3
）
2
；
（
4
）


.


2


2003





例
5

计算
(
2
mn2
)
3
(
mn
2
)
5
并且把结果化为 只含有正整数指数幂的形式

-
-
-
0

2
难度等级：
A

1
-
8
4

n
4


解：原式
=
2
m
n
×
m
n
=
m
n
=

8
8
m
8
-
3
-
3
-
6
-
5
10

【知识体 验】负整数指数幂转化为正整数指数幂，只需要利用公式
a
整数，
a
≠
0
）
，也就是改成分式的形式。


p

1（
p
为正
p
a
【解题技巧】
先利用幂的运算得出积，< br>再对积的每一个因式进行分析，
正整数指数幂的
因式就直接照写，作为结果分式的分子， 负整数指数幂的因式改写成分式的分母。


【搭配练习】


计算下列各式，并且把结果化为只含有正整数指数幂的形式：

（
1
）
(
a
3
)
2
(
ab
2
)
3
；

（
2
）
(
2
mn< br>2
)
2
(
m
2
n
1
)
3< br>.

-
-
-
-
-
-
例题讲解

(
一）题型分类全析



6
例
1
：（
1
）
；（
2
）


难度等级：
B

【思维直现】（
1
）式中有乘方 、除法运算，应先算乘方，再算除法；（
的加法、除法运算，应先算除法，后算加法
.

解：


7
2
）式中有分式
（
1
）

8
2
）
9

（




【阅读笔记】分式的混合运算，
要特别注意运算顺序及符号的处理；式中有括号，
应先
算括号里面的


1
0

【题评解说】本题主要考查的是分式的混合运算。

【建议】
计算时十分容易 出错，所以应该按照运算顺序来，
每一步严格按照法则，尽量
一次性成功，避免错误。

【搭配练习】


计算

x
2
2

x

1


x

1

2
、

1


1
、


2
x

1
3
、
2
ab< br>2
(
a

b
)(
a

c
)
+
bc
(
a

b
)(
c

a
)

5
、



x

1

x

1
4
、



1
x

y

1

x

y




xy
x
2

y
2



1
1


例
2
：请将下面的代数式尽可能化简，再选择一个你喜欢的数（要合适哦）代入下式求
值：



难度等级：
B


【思维直 现】这里的
a
不能取
1
，否则分母的值为
0
，原式就没有意 义了．同学们可选
择不等于
1
的任意实数，只要求出
的值均可


1
2

解：




当


1
3

时，原式

落英缤纷的意思-夏天的景色

落英缤纷的意思-夏天的景色

落英缤纷的意思-夏天的景色

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