三年级作文辅导-

2021年1月30日发(作者：xusong)


初中数学知识点总结

九年级数学（上）知识点

第二十一章

二次根式

一．知识框架




二．知识概念

１、二次根式的定义：式子
叫做二次根式，其中ａ叫做被开方数。

２、最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式是最简二次根式：

（１）被开方数的因数是整数，因式是整式；

（２）被开方数中不含有开得尽方的整数或整式。

３、同类二次根式：几个二次根式 化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二
次根式叫做同类二次根式。

４、二次根式的性质：

（１）
（２）

＝
|
ａ
|
＝

ａ


（ａ＞０）















－ａ

（ａ＜０）















０


（ａ＝０）

（３）积的算数平方根性质：

（ａ≥０，ｂ≥０）

（４）商的算数平方根性质：


a

b
a
b
（ａ≥０，ｂ＞０）

５、二次根式的乘法：

＝
相乘。


1
（ａ≥０，ｂ≥０）即两个二次根式相乘，根指数不变，被开方数

注意：法则是由积的算数平方根的性质
６、二次根式的除法：

（ａ≥０，ｂ≥０）反过来即得。

a
b

a
（ａ≥０，ｂ＞０）

b
a
b
a
b
（ａ≥０，ｂ＞０）反过来得到的。

注意： 法则是由商的算数平方根的性质
７、二次根式的加减：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次 根式，在合并同
类二次根式，合并同类二次根式与合并同类项类似，将同类二次根式的“系数”相加减，
被开方数和根指数不变。

注意：
二次根式加减混合运算的实质就是合并同类 二次根式，
不是同类二次根式不能合并。

８、二次根式的混合运算：
二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有
括号的先算括号内 的。在运算过程中，有理数（式）中的运算率及乘法公式在二次根式的
运算中仍然适用。

９、比较两数大小的常用方法：

（１）平方法：若ａ＞０，ｂ＞０，且ａ
²
＞ｂ
²
，则ａ＞ｂ；

（２）把跟号外的非负因式移到根号内，然后比较被开方数的大小。



第二十二章

一元二次根式

一．知识框

二
.
知识概念


2

１
.< br>一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元）
，并且未知数的最高次
数 是
2
（二次）的方程，叫做一元二次方程．

2

一 般地，
任何一个关于
x
的一元二次方程，
•
经过整理，
•< br>都能化成如下形式
ax
+bx+c=0
2
（
a
≠0
）
．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中
ax
是二次项，a
是二次项系数；
bx
是一次项，
b
是一次项系数；
c
是常数项．

２
.
一元二次方程的解法：

2< br>（
1
）运用开平方法解形如（
x+m
）
=n
（
n
≥
0
）的方程；领会降次──转化的数学思想．

２
（
2
）配方法：将一元二次方程变形为
(x+p)
=q
的形式，如果
q
≥
0
，方程的根是
x=-p
±√
q
；如果
q
＜
0,
方程无实根．

2
2
（
3
）公式法：将方程化为一般形式
ax
+bx+c= 0
，当
b
-4ac
≥
0
时，
•
将
a
、
b
、
c
代入式子

b

b< br>2

4
ac
x=
就得到方程的根．

2
a

第二十三章

旋转

一
.
知识框架


二．知识概念

1.< br>旋转：在平面内，将一个图形绕一个点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形
的旋转。这 个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。

注意：图形的旋转是图形上的每一点在平面上 绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，
其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角 的大小相等，旋转前后图形
的大小和形状没有改变。
）

2.
旋转对 称图形：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形
叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，
旋转的角度叫做旋转角
（旋转角小于
0
°，
大于
360
°）
。

3
．中心对称图形与中心对称：

中心对称图形：如果把一个图形绕着某一点 旋转
180
度后能与自身重合，那么我们就说，
这个图形成中心对称图形。


3

中心对称：
如果把一个图形绕着某一点旋转
180
度后能与另一个图形重合，
那么我们就说，
这两个图形成中心对称。

4.
中心对称的性质：

（１）关于中心对称的两个图形是全等形。

（２）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。

（３）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等。




第二十四章

圆

一．知识框架


二．知识概念



1.
圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称
为半 径。

2.
圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优 弧，
小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。
3.
圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分
别与圆 有另一个交点的角叫做圆周角。

4.
内心和外心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角 形的外接圆，其圆心叫做三角形
的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为 内心。

5.
扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。

6.
圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径称为圆锥的母线。


4

7.
圆和点的位置关系：
以点
P
与圆
O
的为例
（设
P
是一点，
则
PO
是点到圆心的距 离）
，
P
在⊙
O
外，
PO
＞
r
；
P
在⊙
O
上，
PO
＝
r
；
P在⊙
O
内，
PO
＜
r
。

8.
直线与圆有
3
种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交
,
这条直 线叫做
圆的割线；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公
共点叫 做切点。

9.
两圆之间有
5
种位置关系：无公共点的，一圆在另一 圆之外叫外离，在之内叫内
含；有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切；有两个公共 点的
叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。两圆的半径分别为
R
和
r，且
R
≥
r
，圆
心距为
P
：外离
P< br>＞
R+r
；外切
P=R+r
；相交
R-r
＜
P
＜
R+r
；内切
P=R-r
；内含
P
＜
R-r
。

10.
切线的判定方法：经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
< br>11.
切线的性质：
（
1
）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线 。






（
2
）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。






（
3
）圆的切线垂直于经过切点的半径。

12.
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

13.
有关定理：

（１）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

（２）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．


（３）在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一
半．


（４）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，
90
°的圆周角所对的弦是 直径．

14.
圆的计算公式：





（１）圆的周长
C=2
π
r=
π
d
；

2

（２）圆的面积
S=
π
r
;


（３）扇形弧长
l=n
π
r/180
；

2
2


（４）扇形面积
S=
π（
R
-r
）

；



（５）圆锥侧面积
S=
π
rl
；


第二十五章

概率

一．知识框架


二．知识概念

1
．
生 活中的随机事件分为确定事件和不确定事件，
确定事件又分为必然事件和不可能
事件，
其中必然事件发生的概率为
1
，
即
P(
必然事件
)=1；
不可能事件发生的概率为
0,
即
P
（不可能事件）
= 0
；如果
A
为不确定事件，那么
0
5

2
．随机事件发生的可能性（概率）的计算方法：

（１）只涉及 一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，
对一类概率模型进行的计算；
（２）通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生
的概 率．

九年级数学（下）知识点

第二十六章

二次函数

一．知识框架


二．
.
知识概念

2
1.
定义：一般地，自变量< br>x
和因变量
y
之间满足
y=ax
+bx+c(a
≠
0
，
a
、
b
、
c
为常数
)
，则
称
y
为
x
的二次函数。

2.
二次函数的解析式三种形式。

2
一般式：

y=ax
+bx+c(a
≠
0)
顶点式

：


y

a
(
x

h
)

k

2
b
2
4
ac

b
2
)



y

a
(
x


2
a
4
a
交点式

：


y

a
(
x

x
1
)(
x
x
2
)

3.
二次函数
y=ax
+ bx+c(a
≠
0
，
a
、
b
、
c
为常数
)
图像与性质

对称轴：
x



2
b

2
a
6
y


O
x

b
4
ac

b
2
,
)

顶点坐标：
(

2
a
4
a
与
y
轴 交点坐标（
0
，
c
）

4.
增减性：
< br>当
a>0
时，对称轴左边，
y
随
x
增大而减小；对称 轴右边，
y
随
x
增大而增大；

当
a<0
时，对称轴左边，
y
随
x
增大而增大；对称轴右边，
y
随< br>x
增大而减小．

5.
五点法画二次函数图像：顶点、与
x< br>轴两个交点、与
y
轴交点及其对称点。

6.
图像平移步骤

（
1
）配方

y

a
(
x

h
)

k
， 确定顶点（
h,k
）

（
2
）对
x
轴

左加右减；对
y
轴

上加下减

7.
二次函数的对称性

二次函数是轴对称图形，若两个对称点的横坐标分别为
x
1,
x
2
，
那么对称轴
x

2
x
1

x< br>2

2
8.
根据图像判断
a,b,c
的符号

（
1
）
a
——开口方向

（
2
）
b
——对称轴与
a
左同右异

9.
二次函数与一元二次方程的关系

2
2

（１）抛物线
y=ax
+bx+c
与
x
轴交点的横坐标
x< br>1,
x
2
是一元二次方程
ax
+bx+c=0
（
a
≠
0
）
的根。

2
2
（２ ）抛物线
y=ax
+bx+c
，当
y=0
时，抛物线便转化为一元二 次方程
ax
+bx+c=0
（３）
b

4
ac< br>>0
时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与
x
轴有两个交点；
b

4
ac
=0
时，一元二次方程有两个相等的实 根，二次函数图像与
x
轴有一个交点；
2
2
b
2

4
ac
<0
时，一元二次方程有不等的实根，二次函数图像与
x轴没有交点

二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此 ，
以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现．教师
在讲解本章 内容时应注重培养学生数形结合的思想和独立思考问题的能力。


第二十七章

相似

一．知识框架


7

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