班级总结-

2021年1月30日发(作者：速食店)


华

师

大

版


初

中

数

学

知

识

梳

理




第一单元


数与式

第
1
讲


实

数

知识点一：实数的概念及分类














关键点拨及对应举例

1.
实数

（
1
）按定义分
























（
2
）按正、负性分

（
1
）
0
既不属于正数，也不属于负数
.
（
2
）无理数的几种常见形式判断：①含
π
的式
















正有理数

子；
②构造型：如
3.010010001
…
（每两个
1
有理数



0








有限小数或











正实数

之间多个
0
）就是一个无限不循环小数；③















负有理数


无限循环小数



实数


0
开方开不尽的数：如，
；④三角函数型：如
实数

sin60
°，
tan25
°
.














正无理数






















负实数

（
3
）
失分点警示：
开得尽方的含根号的数属于
无理
数















无限
不循环
小数

有理数，如
=2
，
=-3
，它们都属于有理数
.

负无理数







（
1
）三要素：原点、正方向、单位长度

（
2
） 特征：实数与数轴上的点一一对应；数轴右边的点表示
的数总比左边的点表示的数大

（
1
）概念：只有符号不同的两个数

（
2
）代数 意义：
a
、
b
互为相反数

a+b=0
（
3
）几何意义：数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距
离相等

（
1
）几何意义：数轴上表示的点到原点的距离

（
2
）运算性质：
|a|=


a (a
≥
0)
；


|a-b|=



a-b(a
≥
b)
-a
(a
＜
0).









b-a
(a
＜
b)
（
3
）非负性：
|a |
≥
0
，若
|a|+b
2
=0,
则
a=b =
0
.
例：

数轴上
-2.5
表示的点到原点的距离是
2.5
.
a
的相反数为
-a
，特别的
0
的绝对值是
0.

例：
3
的相反数是
-3
，
-1
的相反数 是
1
.
（
1
）若
|x|=a
（
a
≥
0
）
，则
x=
±
a.
（
2
）
对绝对值等于它本身的数是非负数
.
例：
5
的绝对值是
5
；
|-2|=
2
；
绝对值等于3
的是
±
3
;|1-|=
-1
.
知识点二


：实数的相关概念

2.
数轴

3.
相反数

4.
绝对值

5.
倒数

（
1
） 概念：乘积为
1
的两个数互为倒数
.a
的倒数为
1/a
(a
≠
0)
例：

（
2
）代数意义：
ab= 1

a,b
互为倒数

-2
的倒数是
-1/2

；倒数等于它本身的数

有
±
1
.
（
1
）形式：
a
³< br>10
n
,
其中
1
≤
|a|
＜
10< br>，
n
为整数

（
2
）
确定
n
的方法：
对于数位较多的大数，
n
等于原数的整数为
-
减去
1
；对于小数，写成
a
³
10
n
，
1
≤
|a|
＜
10
，
n
等于原数中左起
至第一个非零数 字前所有零的个数（含小数点前面的一个）

（
1
）定义：一个与实际数值很接近的数
.
（
2
）精确度：由四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪
一位
.
例：
< br>21000
用科学记数法表示为
2.1
³
10
4
；< br>
19
万用科学记数法表示为
1.9
³
10
5
；
0.0007
用科学记数法表示为
7
³
10
-4
.
例：

3.14159
精确到百分位是
3.14
；精 确
到
0.001
是
3.142.

知识点三

：科学记数法、近似数

6.
科学记
数法

7.
近似数

知识点四

：实数的大小比较

8.
实数的
大小比较

（
1
）数轴比较法：数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大
.
例：

（
2
）性质比较法：正数＞
0
＞负数；两个 负数比较大小，绝对值
把
1
，
-2,0
，
-2.3
按从大到小的顺序排
大的反而

小
.
列结果为
__
_1
＞
0
＞
-2
＞
-2.3_.

（< br>3
）作差比较法：
a-b
＞
0

a
＞
b
；
a-b=0

a=b
；
a-b
＜
0

a
＜
b.
（
4
）平方法：
a
＞
b
≥
0

a
2
＞
b
2
.
几个相同因数的积
;
负数的偶（奇）次方为正（负）

例：

知识点五

：实数的运算

9.
乘

方


常
见
运
算

零次幂

a
=
_1_
(a
≠
0)
-p
p
0
（
1
）计算：
1-2-6=
_-7__
;(-2)
2
=
___4_
_;
3
-1
=
_1/3_
;
π
0
=
__1__
;
( 2)64
的平方根是
_
±
8__
,
算术平方根是
_ _8_
,
立方根是
__4__
.
失分点警示：
类似

“的算术平方根”计
算错误
.

例：相互对比填一填：
16
的
算术平方根是


4___
,
的算术平方根是
___2_
_.
负指数幂

a
=
1/a
（
a
≠< br>0
，
p
为整数）

平方根、

2
若
x
=a
（
a
≥
0
）
,
则
x=

a
.
其中
a
是算术平方根
.
算术平方根

立方根

若
x
=a,
则
x=
3
a
.

3
10.
混合运算


先乘方、开方，再乘除，最后加减；同级运算，从左

向右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、

中括号、大括号一次进行
.
计算时，可以结合运算律，

使问题简单化



第
2
讲


整式与因式分解

知识点一：代数式及相关概念

（
1）
代数式
：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的
字
关键点拨及对应举例

求代数式的值常运用整体代入法计算
.
例：
a
－
b
＝
3
，则
3b
－
3a
＝
－
9.

1.
代数
式

2.
整< br>式
母
连接而成的式子，单独的一个数或一个字母也是代数式．

（2
）
求代数式的值
：用具体数值代替代数式中的字母，计算得出的结果，叫做求代数式的值．

（
1
）
单项式
：表示数字与字母积的 代数式，单独的一个数或一个字母也叫单项
式
.
其中的数字因数叫做单项式的系数，所 有字母的指数
和
叫做单项式的
次数
.
例：

（< br>1
）下列式子：①
-2a
2
;
②
3a-5b
；③
x/2;
④
2/x;
⑤
7a
2
;
⑥< br>7x
2
+8x
3
y
；
⑦
2017.
其中属于
单项式的是
①③⑤⑦
；多项式是
②⑥
；
同类项是< br>①
和
⑤
.
（
2
）
多项式
7m5
n-11mn
2
+1
是
六
次
三
项式 ，
常数项是

__1

.
（
单
（2
）
多项式
：几个单项式的和
.
多项式中的每一项叫做多项式的 项，次数最高
的项的次数叫做多项式的次数
.
项式、
多
项
（
3
）
整式
：单项式和多项式统称为整式
.
式）

（
4
）
同类项
：所含字母相同并且相同字母的
指数
也相同的项叫做同类项
.
所有
的常数项都是同类项
.
知识点二：整式的运算

3.
整
式
的
加
减
运
算

(1)
合并同类项法则
:
同类项的系数相加，
所得的结果作为系数，字母和字 母的指
数不变．

失分警示：去括号时，如果括号外面是符
号，一定要变号， 且与括号内每一项相乘，
(2)
去括号法则
:
若括号外是
“＋”< br>，
则括号里的各项都不变号；
若括号外是
“－”
，
不要有漏项
.
则括号里的各项都
变号
.
例：－
2(3a
－
2b
－
1)
＝
－
6a
＋
4b
＋< br>2
.

(3)
整式的加减运算法则：先去括号，再合并同类项
.
(1)
同 底数幂的乘法：
a
m
·
a
n
＝
a
m
n
；

＋
4.
幂
运
算
法
则

(2)幂的乘方：
(
a
m
)
n
＝
a
mn；

(3)
积的乘方：
(
ab
)
n
＝
a
n
·
b
n
；

(4)
同底数幂 的除法：
a
m
÷
a
n
＝
a
m
n< br>(
a
≠0)
.
－

其中
m,n
都在整数




(1)计算时，
注意观察，
善于运用它们的逆
运算解决问题
.
例：已知
2m+n=2,
则
3
³
2
m
³
2
n
=
6
.
（
2
）在解决幂的运算时，有时需要先化成同底数
.
例：
2
m
²
4
m
=
2
3m
.
(1)
单项式
×
单项式：①系数和同底数幂分别 相乘；②只有一个字母的照抄．

(2)
单项式
×
多项式：

m(a+b)
=ma+mb.

(3)
多项式
×
多项式
:


(m+n)(a+b)=
ma+mb+na+nb.

(4)
单项式
÷
单项式：将系数、同底数幂分别相除
.
(5)
多项式
÷
单项式：①多项式的每一项除以单项式；②商相加．

（
6
）
乘法

公式

平方差公式：
(
a
＋
b
)(
a
－
b
)
＝a
2
－
b
2
.
完全平方公式：
(
a
±
b
)
2
＝
a
2
±
2
a b
＋
b
2
.

变形公式：


a
2
+b
2
=
(a
±
b)
2
∓< br>2ab,ab=
【
(a+b)
2
-
（
a
2< br>+b
2
）
】

/2


失分警示：
计算多项式乘以多项式时，注
意不能漏乘，不能丢项，不能出现变号错
.
例 ：
(2a
－
1)(b
＋
2)
＝
2ab
＋< br>4a
－
b
－
2.

5.
整
式
的
乘
除
运
算

注意乘法公式的逆向运用及其变形公式的
运用


例：
（< br>a-1
）
2
-(a+3)(a-3)-10=_
-2a
__.
6.
混合
运算

注意计算顺序，应先算乘除，后算加减；若为化简求 值，一般步骤为：化简、
代入替换、计算．

知识点五：因式分解

(1)
定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式．

7.
因式
分解

(2)
常用方法：①提公因式法：
ma
＋
mb
＋
mc
＝
m
(
a
＋< br>b
＋
c
)
.
②公式法：
a
2
－< br>b
2
＝
(
a
＋
b
)(
a
－
b
)
；
a
2
±
2
ab
＋
b
2
＝
(
a
±
b
)
2
.
(3)
一般步骤：①若有公因式，必先提公因式；②提公因式后，看是否能用公式
法分解；③ 检查各因式能否继续分解
.
(1)
因式分解要分解到最后结果不能再分
解为止，相同因式写成幂的形式；

(2)
因式分解与整式的乘法互为逆运算．



第
3
讲


分

式

知识点一：分式的相关概念

关键点拨及对应举例

在判断某个式子 是否为分式时，
应注意：
（
1
）
判
断化简之间的式子；（
2
）
π
是常数，不是字母
.
例：下列分式：①
;
②
;
③
;
④
式是
②③④
；最简分式

③
.
A
（
1
）分式：形如

(
A
，
B
是整式，且
B
中含有
字母
，
B≠0)
B
1.

分式的
概念

的式子
.
（
2
）最简分式：分子和分母没有公因式的分式
.
(1)
无意义的条件：当
B
＝
0
时，分式
2
x

2
，其中是分
x
2

1
A
无意义；
B
A
(2)
有意义的条件：当
B
≠
0
时，分式
有意义；

2.
分
式
的
B
意义

(3)
值为零的条件：当
A
＝
0
，
B
≠< br>0
时，分式
失分点警示：
在解决分式的值为
0
，求值
的问题时，
一定要注意所求得的值满足分
母不为
0.
A
＝
0.
B
x
2

1
例：当< br>的值为
0
时，则
x
＝
-1
.
x

1
(1)
基本性质：
3.
基
本
性
质

A
A

C
A

C


(
C
≠ 0)
．

B
B

C
B

C
由分式的基本性质可将分式进行化简：

（
2
）由基本性质可推理出变号法则为：

A

A
A
A

A



A




；


.
B
B

B
B

B
B
x
2

1
x

1
例：化简：
2
=
.
x

2
x

1
x

1
知识点三

：分式的运算

(1)
约分
(
可化简分式
)
：把分式的分子和分母中的公因式约去，

分式通分的关键步骤是找出分式的最

am
a
简公分母，然后根据分式的性质通分
.

；

即
bm
b
1
1
和
的最简公分母
(2)
通分
(
可化为同分母
)
：根据分式的基 本性质，把异分母的分
例：
分式
2
x
x

1
x

x


式化为同分母的分式，即
4.
分式
的
约
分
和
通分

a
c
ac
bd
,

,

b
d
bc
bc
为
x
x
2

1
.< br>
例：


5.
分
式
的
加减法

6.
分
式
的
乘除法

7.
分
式
的
混合运算


a
b< br>a
±
b
(1)
同分母：分母不变，分子相加减
.
即< br>±
＝
；

c
c
c
a
c
ad
±
bc
(2)
异分母：
先通分，
变为同分母的分式，
再加减
.
即
±
＝
.
b
d
bd
a
c
ac
a
c
ad
(1)
乘法：
·
＝
；
(2)
除法：

＝
；

b
d
bd
bc
b
d
a

＝
a

(
n
为正整数
).
(3)
乘方：

< br>
b
n

b

n
1
x
＝< br>－
1.


x

1
1

x
1
1
2
a


2
.
a

1
a

1
a

1

a
b
1
2
1
＝
2y
；


＝
；

x
xy
2
b
a
2

3

＝
27
.

3

< br>
8
x

2
x

3
例：
n
(1)
仅含有乘除运算：首先观察分子、分母能否分解因式，若能，就要先
分解后约分
.
再算乘除，最后算加减，若有括号，先算括号里面的．

失分点警示：< br>分式化简求值问题，
要先将分式化
简到
最简分式或整式
的形式，再代入 求值
.
代入
整体代入
.
(2)
含有括号的运算：注意运算 顺序和运算律的合理应用
.
一般先算乘方，
数值时注意要使原分式有意义
.< br>有时也需运用到



第
4
讲


二次根式

知识点一：二次根式














（
1
）二次根式的概念：形如
a
(
a
≥0)
的式子< br>.
（
2
）二次根式有意义的条件：被开方数
大于或等于
0.
关键点拨及对应举例

失分点警示：
当判断分式、二次根式组成的复
合代数式有意义的条件时，
注意确保各部分都
有意义，即分母不为
0
，被开方 数大于等于
0
1.
有关概念

（
3
）
最简 二次根式
：①被开方数的因数是整数，因式是
整
式
（分母中不含根号）
；②被开方数中不含能开得尽方
的因数或因式

（
1
）双重非负性：

①被开方数是非负数，即
a
≥0
；

②二次根式的值是非负数，即
a
≥0.


注意：初中阶段 学过的非负数有：绝对值、偶幂、算式平
等
.
例：若代数式
范围是
x
＞
1
.
1
有意义，则
x
的取值
x

1
利用二次根式的双重非负性解题：

（
1
）值非负< br>:
当多个非负数的和为
0
时，可得
各个非负数均为
0.
如
a

1
+
b

1
=0
，则
a=
-1
，
b=
1
.

（
2
）被开方数非负
:
当互为相反数的两个数同
时出现在二次根式的被开方数下 时，可得
这
一
对
相
反
数
的
数
均< br>为
0.
如
已知
b=
2.
二
次
根式
的性质

方根、二次根式
.
a

1
+
1

a
,
则
a=
1
,b=
0
.

(2)
两个重要性质：



a
a

0

2
2
①
(
a)
＝
a
(
a
≥0)
；②
a
＝
|
a
|
＝

；


a
a

0




(3)
积的算术平方根：
a b
＝
a
²
b
(
a
≥0
，
b
≥0)
；

(4)
商的算术平方根：
知识点二


：二次根式的运算

例：计算：

3.14
2
＝< br>3.14
；
24
=
；
=2
；


2

2
＝
2
；

a

b
a

(
a
≥0
，
b
＞
0)
．

b
4
4
2



9
9
3
3
.
二次根式的
加减法

4
.
二次根式的
乘除法

5
.
二次根式的
混合运算


先将各根式化为最简二次根式，再合并被开方数相同的二次
根式．

（
1
）乘法：
a
²
b
=
ab
(
a
≥0
，
b
≥0)
；

例：
计算：
2

8

32
＝
3
2
.
注意：将运算结果化为最简二次根式
.

例：
计算：
32

2
3
a
a
（
2
）除法：
=

(
a
≥0
，
b
＞
0)
．

b
b
运算顺序与实数的运算顺序相同，先算乘方，再算乘除，最
后算加减，有括号的 先算括号里面的（或先去括号）
．

＝
1
；
32
32
4
.



2
2
运算时，注意观察，有时运用乘法公式
会使运算简便
.
例：计算：
(
2
+1)(
2

-1)=
1
.

第二单元


方程
(
组
)
与不等式
(
组
)
第
5
讲


一次方程
(
组
)
知识点一：方程及其相关概念













(1)
性质1
：等式两边加或减同一个数或同一个整式，所得结果
仍是等式
.
即若< br>a
＝
b
，则
a
±
c
＝
b
±
c
.
(2)
性质
2
：等式两边同乘（或除）同一个数（除 数不能为
0
）
，
1.
等式的基
a
b
所得结 果仍是等式
.
即若
a
＝
b
，则
ac
＝bc
，

(
c
≠0)
．

c
c
本性质

(3)
性质
3
：
（ 对称性）若
a=b,
则
b=a.
(4)
性质
4
：
（传递性）若
a=b,b=c,
则
a=c.
关键点拨及对应举例

失分点警示：
在等式的两边同除以一
个数时，这个数必须不为
0.
例：判断正误
.
(1)
若
a=b,
则
a/c=b/c.


(
³
)
(2)
若
a/c=b/c
，则
a=b.

(
√
)
2.
关于方程
的基本概念

(1 )
一元一次方程：只含有
一
个未知数，并且未知数的次数是
1
，在运用一元一次方程的定义解题时，
且等式两边都是整式的方程．

注意一次项系数不等于
0.
(2)
二元一次方程：含有两个未知数，并且含 有未知数的项的次
数都是
1
的整式方程．

例：
若
(a-2)
x
|a

1
|

a

0
是关于
x
的一
(3)
二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次 方程所组成的
一组方程．

元一次方程，则
a
的值为
0
.
(4)
二元一次方程组的解：
二元一次方程组的两个方程的公共解．

(1)
去分母
:
方程两边同乘分母的最小公倍数，不要漏乘常数项；

(2)
去括号：括号外若为负号，去括号后括号内各项均要变号；

失分点警 示：
方程去分母时，
应该将
(3)
移项：移项要变号；

分 子用括号括起来，然后再去括号，
(4)
合并同类项：把方程化成
ax=-b(a≠
0)
；

防止出现变号错误
.
(5)
系数 化为
1
：方程两边同除以系数
a,
得到方程的解
x=-b/a.
思路：消元，将二元一次方程转化为一元一次方程
.
方法：

(1 )
代入消元法
:
从一个方程中求出某一个未知数的表达式，
再把
“它 ”代入另一个方程，进行求解；

(2)
加减消元法：
把两个方程的两边分别相加或相减消去一个未
知数的方法
. < br>已知方程组，求相关代数式的值时，
需注意观察，有时不需解出方程组，
利用整体思想解 决解方程组
.

例：

已知


2x

y

9
则
x-y
的值为
x-y=
4
.
x

2
y

3

知识点二


：
解一元一次方程和二元一次方程组

3.
解一元一
次方程的步骤

4.
二元一次
方程组的解法

知识点三

：一次方程
(
组
)
的实际应用

(1)
审题：审清题意，分清题中的已知量、未知量；

(2)
设未知数；

5.
列方程
(
组
)
(3)
列方程
(
组
)
：找出等量关系，列方程（组）
；

解应用题的一
(4)
解方程
(
组
)
；

般步骤

(5)
检验：检验所解答案是否正确或是否满足符合题意；

(6)
作答：规范作答，注意单位名称．

（
1
）设未知数 时，一般求什么设什么，但
有时为了方便，也可间接设未知数
.
如题目
中涉及 到比值，可以设每一份为
x.
（
2
）列方程（组）时，注意抓住题目中的< br>关键词语，如共是、等于、大（多）多少、
小（少）多少、几倍、几分之几等
.

6.
常
见
题
型
及关系式


（< br>1
）
利润问题：
售价
=
标价³折扣，
销售额
=
售价³销量，
利润
=
售价
-
进价，
利润率
=
利润
/
进价³
100%.
（
2
）利息问题： 利息
=
本金³利率³期数，本息和
=
本金
+
利息
.
（
3
）工程问题：工作量
=
工作效率³工作时间
.
（
4
）行程问题：路程
=
速度³时间
.


①相遇问题：全路程
=
甲走的路程
+
乙走的路程；




②追及问题：
a.
同地不同时出发：前者走的路程< br>=
追者走的路程；
b.
同时不同地出发：
前者走的路程
+两地间距离
=
追者走的路程
.

第
6
讲


一元二次方程

知识点一：一元二次方程及其解法












关键点拨及对应举例

2
1.
一
元
二
次方程的
相关概念

(1)
定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是
2
的整式方程．

(2)
一般形式：
ax
＋
bx
＋
c
＝0(
a
≠0)
，其中
ax
、
bx
、
c
分别叫做二次项、
一次项、
常数项，
a
、
b
、c
分别称为二次项系数、
一次项系数、
常数项．

2
例 ：方程
ax
a

2

0
是关于
x
的
一元二次方程，则方程的根为
－
1
.
（
1
）直 接开平方法：形如（
x
+
m
）
2
=
n
(< br>n
≥
0)
的方程，可直接开平方求解
.
解一元二次方程时，注意观
( 2 )
因式分解法：可化为（
ax
+
m
）
(
bx
+
n
)=0
的方程，用因式分 解法求解
.
察，

先特殊后一般，即先考
2.
一
元
二
次
方
程
的解法


b

b
2

4
ac
( 3 )
公式法
:
一元二次方程

ax
＋
bx
＋
c
＝
0
的求根公式为
x
=
2
a
2
虑能否用直接开平方法和因
式分解法，不能用这两种方法
解时，再用公式法
.
例：把方程
x
2
+6x+3=0
变形为
(x+h)
2
=k
的形式后，
h=
-3
,k=
6
.
（
b
-4
ac
≥
0
）
.
(4)
配方法：当一元二次方程的二次项系数为
1
，一次项系数为偶数时，
也可以考 虑用配方法．

2
知识点二

：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系


(1)
当
Δ
＝
b

4
ac
>
0
时，原方程有两个不 相等的实数根．

2
2
例：
方程
x
2
< br>2
x

1

0
的判别式
3.
根的
判
别式

等于
8
，故该方程有两个不相等的
(2)
当
Δ
＝
b

4
ac
=
0< br>时，原方程有两个相等的实数根．

(3)
当
Δ
＝
b
2

4
ac
<
0
时，原方程没有实数根．

实数根；
方程
x
2

2
x

3< br>
0
的判
别式等于－
8
，故该方程没有实数
根
.
（
1
）基本关系：若关于
x
的一元二次方程
ax2
+
bx
+
c
=0(
a
≠
0)
有两个根分
与一元二次方程两根相关代数式的
别为
x
1
、
x
2
,
则
x
1
+
x
2
=
-b/a,
x
1
x
2
=
c/a
.
注意运用 根与系数关系的前提条件
*
常见变形：

(x
1
+1)(x
2
+1)=x
1
x
2
+(x
1
+x
2
)+1,x
1
2
+x
2
2
=(x
1< br>+x
2
)
2
-2x
1
x
2
,
1
x
1

1
x
1

x
2
等
.

x
2
x
1
x
2
4.< br>根与系
数
的
关
系

是
△
≥
0.
（
2
）解题策略：已知一元二次方程 ，求关于方程两根的代数式的值时，
先把所求代数式变形为含有
x
1
+x2
、
x
1
x
2
的式子，再运用根与系数的
关系 求解
.
失分点警示

在运用根与系数关系解题时，注意
前提条件时 △
=b
2
-4ac
≥
0.

知识点三

：一元二次方程的应用

（
1
）解题步骤：①审题；②

设未知数；③

列一元二次方程；④解一元
二次方程；⑤检验根是否有意义；⑥作答．

4.
列
一
元
二
次
方
程
解
应
用 题

（
2
）
应用模型：
一元二次方程经常在增长率问题、< br>面积问题等方面应用
.
①平均增长率（降低率）问题：公式：
b
＝< br>a
(1
±
x
)
n
，
a
表示基数，< br>x
表示
平均增长率（降低率）
，
n
表示变化的次数，
b
表示变化
n
次后的量；

②利润问题：利润
=
售 价
-
成本；利润率
=
利润
/
成本³
100%
；

③传播、比赛问题：


④面积问题：
a.
直接利用相应图形的面积公式列方程；
b.
将不规则图形通
过割补或平移形成规则图形 ，运用面积之间的关系列方程
.
运用一元二次方程解决实际
问题时，方程一般有两个 实数
根，则必须要根据题意检验根
是否有意义
.


第
7
讲


分式方程

知识点一：分式方程及其解法

关键点拨及对应举例

例
：
在
下
列
方
程
中
，
①
x
2

1

0
；
②
1.
定义

分母中含有未知数的方程叫做分式方程．

x

y


4
；③
是
③
.
1

x
，其 中是分式方程的
x

1
2.
解分式方程


方程两边同乘以


最简公分母

基本思路：分式方程


















整式方程


约去分母


解法步骤：

(1)
去分母，将分式方程化为整式方程；

(2)
解所得的整式方程；

(3)
检验：
把所求得的< br>x
的值代入最简公分母中，
若最
简公分母为
0
，则应舍去．< br>
使分式方程中的分母为
0
的根即为增根
.
1
2< br>

2
转化为整式方程可
x

1
1

x
得：
1
－
2
＝
2(x
－
1)
.
例：
将方程
3.
增根

例：若分式方程
1
.
1

0
有增根，则增根为< br>x

1
知识点二


：分式方程的应用

4.
列分式方程
解应用题的
一般步骤

(1)
审题；
(2)
设未知数；
(3)
列分式方程；
(4)
解分式方
程；
(5)
检验：

(6)
作答．

在检验这一步中，
既要检验所求未知数的值是
不是所列分式方程的解，
又要检验所求未知数
的值是不是符合题目的实际意义
.


第
8
讲


一元一次不等式
(
组
)
知识点一：不等式及其基本性质













关键点拨及对应举例

例：
“a
与
b
的差不大于
1”
用不
等式表示为
a
－
b≤1
.
1.
不
等
式
的
相
关
概念

（
1
）不等式：用不等号
(
＞，≥，＜，≤或≠
)
表示不等关系的式子
.
（
2
）不等式的解：使不等式成立的未知数的值
.
（
3
）不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围
.

性质
1
：若
a
＞
b,
则

a
±
c
>
b
±
c
；

2 .
不
等
式
a
b
性质
2
：若
a＞
b,
c
>0
，则
ac
>
bc
，>
；

c
c
的
基
本
a
b性质
3
：若
a
＞
b,
c
<0
，则ac
<
bc
，
<
.
性质

c
c
知识点二

：一元一次不等式

牢记不等式性质
3
，注意变号
.
如：在不等式－
2x＞
4
中，若将
不等式两边同时除以－
2
，可得
x
＜
2
.
3.
定义

用不等号连接，含有一个未知数，并 且含有未知数项的次数都是
1
的，
例：若
mx
m

2

3

0
是关于
x
的一
左右两边为整式 的式子叫做一元一次不等式
.
元一次不等式，则
m
的值为
-
1.

（
1
）步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为
1.
4.
解法

（
2
）解集在数轴上表示
:








x
≥
a










x
＞
a









x
≤
a












x
＜
a
失分点警示

系数化为
1
时，
注意系数的正负
性，
若系数是负数，
则不等式改
变方向
.
知识点三

：一元一次不等式组的定义及其解法

5.
定义

6.
解法

7.
不
等
式
组
解
集
的类型
由几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，
就组成一个一元
（
1
）在表示解集时
“
≥
”
，
“
≤
”
一次不 等式组．

表示含有，要用实心圆点表
先分别求出各个不等式的解集，再求出各个解集的公共部分

示；
“
＜
”
，
“
＞
”
表示不包含 要
用空心圆点表示．

假设
a
＜
b

解集

数轴表示

口诀

（
2
） 已知不等式（组）的解集
情况，
求字母系数时，
一般先

x

a

x
≥
b

大大取大


视字母系数为常数，
再逆用不

x

b

等式
（组）解集的定义，反推

x

a


x
≤
a

小小取小

出含字母的方程，
最后求出字


x

b
母的值
.


x

a

a
≤
x
≤
b

大小，小大中间找


如：已知不等式（
a-1
）
x
＜
1-a



x

b
的解集是
x
＞
-1
，则
a
的取值
x

a


范围是
a
＜
1.

无解

大大，小小取不了



x

b

（
1
）一般步骤：审题；设未知数；找出不等式关系；列不等式；解不
等式；验检是 否有意义
.
（
2
）应用不等式解决问题的情况：

a.< br>关键词：含有“至少（≥）
”
、
“最多（≤）
”
、
“ 不低于（≥）
”
、
“不
高于（≤）
”
、
“不大（小 ）于”
、
“超过（＞）
”
、
“不足（＜）
”等；

b.
隐含不等关系：如“更省钱”
、
“更划算”等方案决策问题，一般
还需根据整数解，得出最佳方案

知识点四

：列不等式解决简单的实际问题

注意：

列不等式解决实际问题中 ，
设未
知数时，
不应带
“至少”
、
“最多”
等字眼 ，与方程中设未知数一
致
.
8.
列
不
等
式
解
应
用题



第
9
讲


平面直角坐标系与函数

知识点一：平面直角坐标系

关键点拨及对应举例

点的坐标先读横坐标
(x
轴
)
，
再读纵坐标
(y
轴
).
（
1
）定义：在平面 内有公共原点且互相垂直的两条数轴构成平面直角坐标系．

（
2
）几何意义 ：坐标平面内任意一点
M
与有序实数对
(
x
，
y
)
的关系是一一对应．

( 1 )
各象限内点的坐标的符号特征（如图所示）
：



< br>点
P
(x,y)
在第一象限
⇔
x
＞
0
，
y
＞
0
；




点
P
(x,y)
在第二象限
⇔
x
＜
0
，
y
＞
0
；




点
P
（
x,y
）在第三象限
⇔
x
＜
0
，
y
＜
0
；




点
P
（
x,y
）在第四象限
⇔
x
＞
0
，
y
＜< br>0.
（
2
）坐标轴上点的坐标特征：

①在横轴上
⇔
y
＝
0
；②在纵轴上
⇔
x
＝
0
；③原点
⇔
x
＝
0
，
y
＝
0.
3
第二象限
(
－，＋
)
2
1
y
第一象限
(
＋，＋
)
x
1
2
3
第四象限
(
＋，－
)
1
.
相关概念

（
1
）
坐标轴上的点不属于任
何象限
.
（
2
）
平面直角坐标系中图形
的平移，图形上所有点的
坐标变化情况相同.
（
3
）
平面直角坐标系中求图
形面积时，先观察所求图形< br>是否为规则图形，若是，再
进一步寻找求这个图形面积
的因素，若找不到，就要借
助割补法，割补法的主要秘
诀是过点向
x
轴、
y
轴作
垂< br>线
，从而将其割补成可以直
接计算面积的图形来解决
.
–3
–2
–1
O
第三象限
–1
(
－，－
)
–2
–3
2.
点
的
坐
标
特征< br>
（
3
）各象限角平分线上点的坐标






①第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标
相等
；

②第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标
互为相反数

（
4）点
P
（
a
,
b
）的对称点的坐标特征：
< br>①关于
x
轴对称的点
P
1
的坐标为
(
a，－
b
)
；②关于
y
轴对称的点
P
2
的坐标为
(
－
a
，
b
)
；

③关 于原点对称的点
P
3
的坐标为
(
－
a
，－
b
)
．

（
5
）点
M
（
x,y
）平移的坐标特征：











M
（
x,y
）


M
1
(
x+a
,
y
)






M
2
(
x+a
,
y+b
)





3.
坐
标
点
的
距离问题

知识点二：函数

（
1
）点
M(a,b)
到
x
轴，
y
轴的距离：到
x
轴的距离为
|
b
|
；
)
到
y
轴的距离为
|
a
|
．

（
2
）平行于
x
轴，
y
轴直线上的两 点间的距离：

点
M
1
(
x
1,
0)，
M
2
(
x
2,
0)
之间的距离为
|
x
1
－
x
2
|
，点
M
1
(
x
1
，
y
)
，
M
2
(
x
2
，
y
)
间的距离为
|
x
1
－
x
2
|
；

平行于
x
轴的直线上的点纵< br>坐标
相等
；平行于
y
轴的直
点
M
1
(0
，
y
1
)
，
M
2
(0
，y
2
)
间的距离为
|
y
1
－
y
2
|
，点
M
1
(
x
，
y
1)
，
M
2
(
x
，
y
2
)间的距离为
|
y
1
－
y
2
|
．

线上的点的横坐标
相等
.
（
1
）常量、变量：在一个 变化过程中，数值始终不变的量叫做常量，数值发生变化的量
叫做变量．

（
2
）函数：在一个变化过程中，有两个变量
x
和
y
，对于
x
的每一个值，
y
都有唯一确
定的值与其对应，那么就称
x
是 自变量，
y
是
x
的函数．函数的表示方法有：列表法、
图像法、解析 法
.
（
3
）函数自变量的取值范围：一般原则为：整式为全体实数；分式的 分母不为
零
；二次
根式的被开方数为
非负
数；使实际问题有意义．< br>
失分点警示

函数解析式，同时有几个代
数式，函数自变量的取值范
围应是各个代数式中自变量
的公共部分
.
例：函数
y=
x

3
中自变量的取值范围
x

5
4
.< br>函数的相关
概念

是
x
≥
-3
且
x
≠
5
.
读
取函
数
图
象
增
减
性
的
技巧：①当函数图象从左到右
呈
“上升”
（
“下降”
）
状 态时，
函数
y
随
x
的增大而
增大
（减
小）
；
②函数值变化越
大
，
图
象越陡峭；③当函数
y< br>值始
终是同一个常数，那么在这
个区间上的函数图象是一条
平行
于x
轴的线段
.
（
1
）分析实际问题判断函数图象的方法：

①找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，对应到图象中找对应点；

②找特殊点：即交点或转折点，说明图象在此点处将发生变化；

5
.
函数的图象

③判断图象趋势：判断出函数的增减性，图象的倾斜方向
.
（
2
）以几何图形（动点）为背景判断函数图象的方法：


①设时间为
t
（或线段长为
x
）
，找因变量与
t(
或
x)
之间存在的函数关系，用含
t(
或
x)
的
式子表示，

再找相应的函数图象
.
要注意是否需要分类讨论自变量的取值范围
.


第
10
讲



一次函数

知识点一

：一次函数的概念及其图象、性质

（
1
）概念：一般来说，形如
y
＝
kx
＋
b
(
k
≠0)
的函数叫做一次函数．特别地，当
b
＝
0
关键点拨与对应举例


例：当
k
＝
1
时，函数
y
＝
kx
＋
k
－
1
.
一次函数的
相关概念

时，称为正比例函数．

正比例函数
y
＝
kx
的图象是一条恒经过点（
0
,
0
）的直线
.
k
，
b
符号

大致

K
＞
0
，

b
＞
0
K
＞
0
，

b
＜
0
K
＞
0
，
b=0
k
<0
，

b
>0
k
<0
，

b
<0
k
<0
，

b
＝
0
（
2
）
图象形状：
一次函数
y
＝
kx
＋
b
是 一条经过点
（
0,
b
）
和
（
-b/k
,0
）
的直线
.
特别地，
1
是正比例函数
,
（
1
）一次函数
y=kx+b
中，
k
确
定了倾斜方 向和倾斜程度，
b
确定
了与
y
轴交点的位置
.
（
2
）
比较两个一次函数函数值的
2.
一
次
函
数
的性质

图象


经
过
象限

图
象
性质

一、二、三


一、三、
四

y
随
x
的增大而
增大

一、三



一、二、
四

二、三、
四


二、四


大小：性质法，借助函数的图象，
也可以运用数值代入法
.
例
：< br>已知函数
y
=
－
2
x
＋
b
，
函数值
y
随
x
的增大而减小
(
填
“
增大
”
或
“
减小
”)
．

y
随
x
的增大而
减小

(1)
交点坐标： 求一次函数与
x
轴的交点，只需令
y=
0
,
解出
x
即可；求与
y
轴的交点，
例：

3
.
一次函数与
坐
标
轴
交
点坐标

只需令
x=
0
,
求出
y
即可
.
故 一次函数
y
＝
kx
＋
b
(
k
≠0)
的图象与
x
轴的交点是
一次函数
y
＝
x
＋
2
与
x
轴交点的
坐标是（
-2,0
）
，与
y
轴交点的坐
标是（
0,2
）
.
(
b
－
，
0
，与
y
轴的交点是
(0
，
b
)
；

k
)
(2)
正比例函数
y
＝kx
(
k
≠0)
的图象恒过点
(0
，
0)．

（
1
）常用方法：待定系数法，其一般步骤为：

①设：设函数表达式为
y
＝
kx
＋
b
(
k
≠0)
；

②代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组；
(1)
确定一次函数的表达式需要两
组条件，而确定正比例函数的表
达式，只需一 组条件即可
.
(2)
只要给出一次函数与
y
轴交点
坐标即 可得出
b
的值
,b
值为其纵
坐标，可快速解题
.
如
:
已知一次
函数经过点（
0,2
）
，则可知
b= 2.
知识点二

：确定一次函数的表达式

4
.
确定一次函
数
表
达
式
的条件

③解：求出
k
与
b
的值，得到函数表达式．

（
2
）常见类型：

①已知两点确定表达式；②已知两对函数对应值确定表达式；

③平移转化型：如已知 函数是由
y=2x
平移所得到的，且经过点（
0,1
）
，则可设要< br>求函数的解析式为
y=2x+b,
再把点（
0,1
）的坐标代入即可< br>.
5
.
一次函数图
象的平移

规律：
①一 次函数图象平移前后
k
不变，
或两条直线可以通过平移得到，
则可知它们的
k
值相同
.
②若向上平移
h
单位，则
b< br>值增大
h
；若向下平移
h
单位，则
b
值减小
h.

例：将一次函数
y=-2x+4
的图象
向下平移
2
个单位长度，所得图
象的函数关系式为
y=-2x+2
．

知识点三

：一次函数与方程（组）
、不等式的关系

6
.
一次函数与方
程

一元一次方程
kx+b=0
的根就是一次函数
y=kx+b
（
k
、
b
是常数，
k
≠
0
）的图象与
x
轴交点的横坐标
.
例：

二元一次方程组的解

两个一次函数
y=k
1
x+b
和
y=k
2
x+b
图象的交点坐标
.
y=k
1
x+b
（
1
）已知关于
x
的方 程
ax+b=0
的解为
x=1,
则函数
y=ax+b
与x
轴的交点坐标为（
1,0
）
.
（
2
）一次函数
y=-3x+12
中，
当
x
＞
4
时，
y
的值为负数．

7
.
一次函数与方
程组


y=k
2
x+b
8.
一
次
函
数
与
不等式

（1
）函数
y=kx+b
的函数值
y
＞
0
时，自 变量
x
的取值范围就是不等式
kx+b
＞
0
的
解集

（
2
）函数
y=kx+b
的函数值
y
＜
0
时，自变量
x
的取值范围就是不等式
kx+b
＜
0
的
解集


知识点四

：一次函数的实际应用


9.
一般步骤





（
1
）设出实际问题中的变量；

（
2
）建立一次函数关系式；

（
3
）利用待定系数法求出一次函数关系式；

（
4
）确定自变量的取值范围；

（
5
）利用一次 函数的性质求相应的值，对所求的值进行检验，是否符合实际意义；

（
6
）做答
.
（
1
）求一次函数的解析式
.
（
2
）利用一次函数的性质解决方案问题
.
一次函数本身并没有最 值，
但
在实际问题中，
自变量的取值
往往有一定的限制，
其图象为< br>射线或线段
.
涉及最值问题的
一般思路：
确定函数表达式→
确 定函数增减性→根据自变
量的取值范围确定最值
.
10.
常见题型



第
11
讲

反比例函数的图象和性质

知识点一：反比例函数的概念及其图象、性质











k
（
1
）定义：形如
y
＝
(
k
≠ 0)
的函数称为反比例函数，
k
叫做比例系数，自变量的
x
取值范围 是
非零
的一切实数．

1.
反比例函
（
2
）形式：反比例函数有以下三种基本形式：

数的概念


例：函数
y=3x
m+1
，当
m=
－
2
时，则该
函 数是反比例函数．

关键点拨与对应举例

k
①
y
＝
；②
y=kx-1;
③
xy=k.(
其中
k
为常 数，且
k
≠
0)
x
k
的符号

k
>0
图象

经过象限

y
随
x
变化的情况

（
1
）判断点是否在 反比例函数图象上
的方法：
①把点的横、
纵坐标代入看是
否满足其解析式；< br>②把点的横、
纵坐标
相乘，判断其乘积是否等于
k.
失分点警示

（
2
）反比例函数值大小的比较时，首
先要判 断自变量的取值是否同号，
即是
否在同一个象限内，
若不在则不能运用
性质进 行比较，
可以画出草图，
直观地
判断
.
例：若
(a
，
b)
在反比例函数
2.
反比例函
数
的
图
象
和性质


k
<0
图
象
经
过
第
每个象限内，函数
y
的值
随
x
的增大而减小< br>.
一、三象限

（
x
、
y
同号）

图
象
经
过
第
每个象限内，函数
y
的值随
x
的增大而增大
.
二、四象限

（
x
、
y
异号）


3.
反比例函
数的图象
特征

（
1
）由两条曲线组成，叫做双曲线；

（
2
）图 象的两个分支都无限接近
x
轴和
y
轴，但都不会与
x
轴和< br>y
轴相交；

（
3
）图象是中心对称图形，原点为对称中心； 也是轴对称图形，
2
条对称轴分
别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分 线．

只需要知道双曲线上任意一点坐标，设函数解析式，代入求出反比例函数系数
k
即可
.
y

k
的图
x
象上，
则
(
－
a
，
－
b)
在该函数图象上
.(填
“
在

、

不在

例：已知反比例函数图 象过点（－
3
，
－
1
）
，则它的解析式是
y=3/ x.
4.
待定系数
法

知识点二


：反比例系数的几何意义及与一次函数的综合

k
（
1
）< br>意义：
从反比例函数
y
＝
(
k
≠0)
图象上 任意一点向
x
轴和
y
轴作垂线，
垂线
x
与坐标轴所 围成的矩形面积为
|
k
|,
以该点、
一个垂足和原点为顶点的三角形 的
面积为
1/2|k|.
失分点警示

已知相关面积，求反比例函 数的表达
式，注意若函数图象在第二、四象限，
则
k
＜
0.

例：
已知反比例函数图象上任一点作坐
标轴的垂线所围成矩形为
3
， 则该反比
例函数解析式为：
5.
系数
k
的
（
2）常见的面积类型：

几何意义

y

3
3
或
y


.
x
x

（
1
）
确定交点坐标：
【方法一】
已知一个交点坐标为
（
a,b
）
，
则根据中心对称性，涉及与面积有关的问题时，
①要善于把
可得另一个交点坐标为（
-a,-b
）
.
【方法二】联立两个函数解析式，利用方程
思想求解
.
（< br>2
）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函
数解析式中 求解

点的横、
纵坐标转化为图形的边长，
对
6.
与一次函
数的综合


（
3
）在同一坐标系中判断函数图象：充分利 用函数图象与各字母系数的关系，
可采用假设法，分
k
＞
0
和
k
＜
0
两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可
.
也可逐一选项判 断、排除
.

（
4
）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象 在上方的值大，图象在下方
的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围
.
于不好直接 求的面积往往可分割转化
为较好求的三角形面积；
②也要注意系
数
k
的几何意义
.

例：
如图所示，
三个阴影部分的面积按
从 小到大的顺序排列为：
S
△
AOC
=S
△
OPE
＞
S
△
BOD
.

知识点三：反比例函数的实际应用

（
1
题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；

7

.
一般步
骤


（
2
设出函数表达式；

（
3
）依题意求解函数表达式；

（
4
）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题
.


第
12
讲


二次函数的图象与性质

知识点一：二次函数的概念及解析式














关键点拨与对应举例

例：如果函数
y
=(
a
－< br>1)
x
2
是二
次函数，
那么
a
的取值范围是
a
≠0
.
1
.
一
次
函
数的定义

形如
y< br>＝
ax
2
＋
bx
＋
c
(
a
，
b
，
c
是常数，
a
≠0)
的函数，叫做二次函 数
.
（
1
）三种解析式：①一般式：
y=ax
2
+bx+c;
②顶点式：
y=a(x-h)
2
+k(a
≠
0 )
，其
中二次函数的顶点坐标是（
h
,
k
）
; < br>③交点式：
y=a(x-x
1
)(x-x
2
),
其中
x
1
,x
2
为
抛物线与
x
轴交点的横坐标
.
（
2
）待定系数法：巧设二次函数的解析式；根据已知条件，得到关于待 定系
数的方程（组）
；解方程（组）
，求出待定系数的值，从而求出函数的解析
式
.
y
x
若已知条件是图象上的三个
点或三对对应函数值，可设一
般式；
若已知顶点坐标或对称
轴方程与最值，可设顶点式；
若已知 抛物线与
x
轴的两个交
点坐标，可设交点式
.
2
.
解析式

知识点二

：二次函数的图象与性质

y
x
O
（
1
） 比较二次函数函数值大
小的方法：①直接代入求值
法；②性质法：当自变量在对
称轴同 侧时，
根据函数的性质
图象

O
y
=
ax
2
+
bx
+
c
(
a
＞
0)
y=
ax
2
+
bx
+
c
(
a
＜
0)

开口

向
上

x
＝



向
下


判 断；
当自变量在对称轴异侧
时，
可先利用函数的对称性转
化到同侧，再利用性 质比较；
④图象法：画出草图，描点后
比较函数值大小
.
失分点警示

（
2
）在自变量限定范围求二
3.
二
次
函
数的图象
和性质

对
称
轴

顶
点
坐标

b

2
a

b
4
ac

b
2




,

4
a


2
a
b
b
首先考虑对
当
x
>
时，
y
随
x
的增大而
减小
；
次函数的最值时，

时，
y
随
x< br>的增大而
增大
；
增
减
当
x
>
2
a
2
a
称轴是否在取值范围内，
而不
b
性< br>
b
当
x
＜

时，
y
随
x
的增大而
减小
.
当
x
＜

时，
y
随
x
的增大而
增大
.
能盲目根据公式求解
.
2
a
2
a
最值

x=

例：当< br>0
≤
x
≤
5
时，抛物线
y=x
2
+ 2x+7
的最小值为
7

.

4
ac

b
b
y
最小
＝
. 4
a
2
a
，
2
x
=

4ac

b
b
y
最大
＝
.
4
a
2
a
，
2
a

决定抛物线的开口方
向及开口大小

当
a
＞
0
时，抛物线开口向上；

当
a
＜
0
时，抛物线开口向下
.
当
a< br>，
b
同号，
-b/2a
＜
0
，对称轴在
y< br>轴左边；

某些特殊形式代数式的符号：

①

a
±
b+c
即为
x=
±
1
时，
y
的值；
②
4a
±
2b+c
即为
x=
±2
时，
y
的值
.
③

2a+b
的符号，
需判断对称

轴
-b/2a
与< br>1
的大小
.
若对称轴
在直线
x=1
的左边，则
-b/2a
＞
1
，再根据
a
的符号即可得
出结果
.
④
2a-b
的符号，
需判断
对称轴与
-1
的大小
.
3.
系数
a
、
b
、
c

a
、

b
决定对称轴（
x=-b/2a
）
当
b
＝
0
时，


-b/2a=0
，对称轴为
y
轴；

的位置


当
a
，
b
异号，
-b/2a
＞
0
，对称轴在
y
轴右边．

c
b
－
4
ac
2
决定抛物线与
y
轴的交
点的位置

决定抛物线与
x
轴的交
点个数

当
c
＞< br>0
时，抛物线与
y
轴的交点在正半轴上；

当
c
＝
0
时，抛物线经过原点；

当
c< br>＜
0
时，抛物线与
y
轴的交点在负半轴上
.
b2
－
4
ac
＞
0
时，抛物线与
x
轴有
2
个交点
;
b
2
－
4
ac
＝< br>0
时，抛物线与
x
轴有
1
个交点
;
b2
－
4
ac
＜
0
时，抛物线与
x
轴没 有交点

知识点三

：二次函数的平移


失分点警示：

4.
平移与解
析式的关
系

y
=
ax
2
的图象
向左
(
h
＜
0)
或向右
(
h
＞
0)
平移
|
h
|
个单位
y
=
a
(
x
－
h
)2
的图象
向上
(
k
＞
0)
或向下
(< br>k
＜
0)
平移
|
k
|
个单位
y=
a
(
x
－
h
)
2
＋
k
的图象
抛物线平移规律是
“
上加下减，左
加右减
”
,
左右平移易弄反
.

注意
：二次函数的平移实质是顶 点坐标的平移，因此只要找出原函数顶
点的平移方式即可确定平移后的函数解析式


例：将抛物线
y=x
2
沿
x
轴向右平
移
2
个单位后所得抛物线的解析
式是
y=
（
x
－
2）
2
．

知识点四

：二次函数与一元二次方程以及不等式

5.
二次函数
与
一
元
二
次方程

二次函数
y=ax
2
＋
bx
＋
c
(
a≠0)
的图象与
x
轴交点的横坐标是一元二次方程
ax
2
+bx+c=0
的根
.

当
Δ
＝
b
2< br>－
4
ac
＞
0
，两个不相等的实数根；

当
Δ
＝
b
2
－
4
ac
＝
0
，两个相等的实数根；

当
Δ
＝
b
2
－
4
ac
＜
0
，无实根

6.
二次函数
与不等式


例：已经二次函数
y= x
2
-3x+m(m
为常数
)
的图象
与
x
轴的一个交点为
（
1,0
）
，
则关于
x
的一元二次 方程
2
抛物线
y=

ax
＋
bx
＋
c
＝
0
在
x
轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应
x< br>2
-3x+m=0
的两个实数根为
的
x
的所有值就是不等式< br>ax
2
＋
bx
＋
c
＞
0
的解集；< br>在
x
轴下方的部分点的
2,1
.

纵坐标均为负，所 对应的
x
的值就是不等式
ax
2
＋
bx
＋
c
＜
0
的解集
.

第
13
讲

二次函数的应用

知识点一：二次函数的应用

一般步骤



实物抛物线

①

据题意，结合函数图象求出函数解析式；

②确定自变量的取值范围；

③根据图象，结合所求解析式解决问题
.

①

分析问题中的数量关系，列出函数关系式；

②

研究自变量的取值范围；

③

确定所得的函数；

④

检验
x
的值是否在自变量的取值范围内，并求
相关的值；

⑤解决提出的实际问题
.
关键点拨

若题目中未给出坐标系，则需要建立坐标系求解，
建立的原则：①所建立的坐标系要使求出的二次
函数表达式比较简 单；②使已知点所在的位置适
当（如在
x
轴，
y
轴、原点、抛物线上 等）
，方便
求二次函数丶表达式和之后的计算求解
.

解决最值应用题要注意两点：

①设未知数，
在
“当某某为何值时，
什么最大
（最
小）
”的设问中，
“某某”要设为自变量，
“ 什么”
要设为函数；

②求解最值时，一定要考虑顶点（横、纵坐标）
的取值是否在自变量的取值范围内
.
实际问题中

求最值


结合几何图形

由于面积等于两条边的乘积，所以几何问题的面
①

根据几何图形的性质，探求图形中的关系式；

积的最值问题通常会通过二次函数来解决
.
同样
②

根据几何图形的关系式确定二次函数解析式；

需注意自变量的取值范围
.
③

利用配方法等确定二次函数的最值，解决问题




第四单元


图形的初步认识与三角形

第
14
讲


平面图形与相交线、平行线

知识点一：直线、线段、射线












1.
（
1
）直线的基本事实：经过两点有且只有
一
条直线．

基本事实

（
2
）线段的基本事实：两点之间，
线段
最短．

知识点二


：角、角平分线

2.
概念

3.
角的度
量

4.
余角和
补角

（
1
）角：有公共端点的两条射线组成的图形．

（
2）
角平分线：
在角的内部，
以角的顶点为端点把这个角分成两个相
等的角 的射线

1
°＝
60
′，
1
′＝
60''
，
1
°＝
3600
''
( 1 )
余 角：∠
1
＋∠
2
＝
90°
⇔
∠
1
与∠
2
互为余角；

( 2 )
补角：∠
1
＋∠
2
＝
180°
⇔
∠
1
与∠
2
互为 补角
.
（
3
）性质：同角
(
或等角
)
的 余角
相等
；同角
(
或等角
)
的补角
相等
．

（
1
）同位角：形如
”
F
”
;
（
2
）内错角：形如“
Z
”
;(3)
同旁内角：形如
“
U
”
.
（
1
）
概念：
两条直线相交 后所得的只有一个公共顶点而没有公共边的
两个角叫做对顶角
.
（
2
）性质：对顶角
相等
，邻补角之和为
180
°
.
（1
）
概念：
两条直线互相垂直，
其中的一条直线叫做另一条直线的垂线．

（
2
）性质：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．

②垂线段最短．

（
3
）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度

（
1
）平行线的性质与判定

①同位角相等

两直线平行

②内错角相等

两直线平行

③同旁内角
互补

两直线平行

（
2
）平行公理及其推论

①经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．

②平行于同一条直线的两直线
平行
．

知识点四

：命题与证明

（
1
）概念：对某一事件作出正确或不正确判断的语 句
(
或式子
)
叫做命
题，正确的命题称为真命题；错误的命题称为假 命题
.
（
2
）命题的结构：由题设和结论两部分组成，命题常写成

如果
p
，
那么
q
的形式，其中
p
是题设，
q
是结论
.

（
3
）
证明：
从一 个命题的题设出发，
通过推理来判断命题是否成立的
过程
.
证明一个命题是假 命题时，只要举出一个反例署名命题不成
立就可以了
.
例：下列命题是假命题的有
(


③


)
①相等的角不一定是对顶角；

②同角的补角相等；

③如果某命题是真命题，
那么它的逆命题
也是真命题；

④若某个命题是定理，
则该命题一定是真
命题
.
一个角的同位角、
内错角或同旁内角可能
不止一个，要注意多方位观察


例：
在平面中，
三条直线相交于
1
点，
则
图中有
6
组对顶角
.

例：如图所
A
D
示，点
A
到
BC
的
距
离
B
C
为
AB
，
点
B
到
AC
的距
离为
BD
，点
C
到
AB
的距离为
BC
.
（
1
）如果出现两条平行线被其中一条折
线所截，
那么一般要通过折点作已知直线的平行线
.
（
2
）在平行线的查考时，通常会结合对
顶角、< br>角平分线、
三角形的内角和以及三
角形的外角性质，
解题时注意这些性质的综合运用
.
关键点拨

例：
在墙壁上固定一根横放的木条，< br>则至少需要
2
枚钉子，依据的是
两
点确定一条直线
.

例：

（
1
）
15
°
25'
＝< br>15.5
°；

37
°
24'45''
＋
3 2
°
48'49''
＝
70
°
13'34''
.
（
2
）
32
°的余角是
58
°
，
32
°的
补角是
148
°
.

知识点三

：相交线、平行线

5.
三线八
角

6.
对
顶
角、邻补
角

7.
垂线

8.
平行线

9.
命
题
与
证明

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