政治思想方面-

2021年1月30日发(作者：如晴天似雨天)
北师大版初中数学九年级
(
下册
)
知识点汇总

第一章


直角三角形边的关系

※一
.
正切：

定义：在
Rt
△
ABC
中，锐角∠
A
的对边与邻边的比叫做∠
A
的正切
，记作
tanA
，即
tan
A

．．

A
的对边
;

A
的邻边
①
tanA
是一个完整的符号，它表示∠
A的正切，记号里习惯省去角的符号
“
∠
”
；

②
tanA
没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠
A
的对边与邻边的比；
③
tanA
不表示
“tan”
乘以
“A”
；

④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠
A
是锐角的正切；

⑤
tanA
的值越大，梯子越陡，∠
A
越大；

∠
A
越大，梯子越陡，
tanA
的值越大。

※二
.
正弦
：

．．
定义：在
Rt△
ABC
中，锐角∠
A
的对边与斜边的比叫做∠
A
的正 弦，记作
sinA
，即
sin
A


A
的 对边
;
斜边
※三
.
余弦：

定义：在
Rt
△
ABC
中，锐角∠
A
的邻边与斜边的比叫做∠
A的余弦，记作
cosA
，即
cos
A


A< br>的邻边
;
斜边
※余切：

定义：在
Rt
△
ABC
中，锐角∠
A
的邻边与对边的比叫做∠
A
的余切，记 作
cotA
，即
cot
A


A
的邻边< br>;

A
的对边
※一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余 角的余弦、正弦、余切、正切。


sin
α

1

0
º

0
30
º

1

2
45
º

2

2
60
º

3

2
90
º

1
（通常我们称正弦、
余弦互为余函数。
同样，也称正切、余切互为余函数，可以概括为：
一个锐角的三角函数等于它的余角的余函
数）用 等式表达：若∠
A
为锐角，则

①
sin
A
cos(
90



A
)
；

cos
A

sin(
90



A)

②
tan
A

cot(
90
< br>

A
)
；

cot
A

tan(
90



A
)

※当从低处观测高处的目标时，视线与水平线

所成的锐角称为仰角

．．
※当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成

的锐角称为俯角

．．
※利用特殊角的三角函数值表，可以看出，
(1)
当

cos
α

tan
α

cot
α

1
0
—

3

2
3

3
2

2
1

2
0
—

0
1
1
3

3

3
3

角度在
0
°～
90
°间变化时，正 弦值、正切值随着角度的增大
(
或减小
)
而增大
(
或减小< br>)
；余弦值、余切值随着
角度的增大
(
或减小
)
而减 小
(
或增大
)
。
(2)0
≤
sin
α≤
1
，
0
≤
cos
α
≤
1
。

※同角的三角函数间的关系：

倒数关系：
tg
α
·
ctg
α
=1
。




※ 在直角三角形中，
除直角外，
一共有五个元素，
即三条边和二个锐角。
由直角 三角形中除直角外的已知元素，
求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。

图
1
◎在△
ABC
中，∠
C
为直角，∠
A
、∠
B
、∠
C
所对的边分别为
a
、
b< br>、
c
，则有


(1)
三边之间的关系：
a
2
+b
2
=c
2
；

(2)
两锐角的关系：∠
A
＋∠
B=90
°；


(3)
边与角之间的关系：

a
sin
A

,
c
b
sin
B

,
c
b< br>cos
A

,
c
a
cos
B
,
c
a
tan
A

,
b
b
t an
B

,
a
b
cot
A

;< br>
a
a
cot
B

;

b
(4)
面积公式
:
S



1
1
ab

chc
(hc
为
C
边上的高);

2
2
2
a

b

c

2
1

(6)
直角三角形的外接圆半径
R

c

2
(5)
直角三角形的内切圆半径
r

◎解直角三角形的几种基本类型列表如 下：

◎解直角三角形的几种基本类型列表如下：













h
B
i=h:l
C
l
图
2
A
图
3
图
4



※

如图
2
，
坡面与水平面的夹角叫做坡角

(
或叫做 坡比
)
。
用字母
i
表示，
即
i


tan
A

．．
．．
◎从某点的指北方向按顺时针转到目 标方向的水平角，
叫做方位角
。
如图
3
，
OA
、< br>OB
、
．．．
OC
的方位角分别为
45
°、
135
°、
225
°。

◎指北或指南方向线与目标方向线所成的小 于
90
°的水平角，叫做方向角
。如图
4
，
．．．
OA
、
OB
、
OC
、
OD
的方向角分别是；北偏东
30
°，南偏东
45
°
(
东南方向
)
、南 偏西
为
60
°，北偏西
60
°。


3

h
l
第二章


二次函数

※ 二次函数的概念：形如
y

ax
2

bx

c
(
a
、、b、
是常数
，a

0
)的函数，叫做
x
的二次函数
。自变量的取
．．．．
值范围是全体 实数。







y
ax
2
(
a

0
)
是二次函数的特例，此时常 数
b=c=0.
※在写二次函数的关系式时，
一定要寻找两个变量之间的等量关系，
列出相应的函数关系式，
并确定自变量的
．．．．
取值范围
。

．．．．
※二次函数
y
＝
ax
2
的图象是一条 顶点在原点关于
y
轴对称的曲线，这条曲线叫做抛物线
。

．．．< br>描述抛物线常从开口方向、对称性、
y
随
x
的变化情况、抛物线的最高 （或最低）点、抛物线与
x
轴的交点等
方面来描述。

①函数的定义域是全体实数；

②抛物线的顶点在
(0
，
0 )
，对称轴是
y
轴
(
或称直线
x
＝
0)< br>。

③当
a
＞
0
时，抛物线开口向上，并且向上方无 限伸展。当
a
＜
0
时，抛物线开口向
下，并且向下方无限伸展。
④函数的增减性：

A
、
当
a
＞
0
时


⑤ 当｜
a
｜越大，抛物线开口越小；当｜
a
｜越小，抛物线的开口越大。

⑥最大值或最小值：当
a
＞
0
，且
x
＝
0
时函数有最小值，最小值是
0
；当
a
＜
0
，且
x
＝
0
时函数有最大值，最
大值是
0
．

※二次函数
y

ax
2

c
的图象是一条 顶点在
y
轴上且与
y
轴对称的抛物线

;
;

x

0
时
,
y
随
x
增大而减 小

x

0
时
,
y
随
x
增大而增大












B
、
当
a
＜
0
时


.
.

x

0
时
,
y
随
x
增大而增大

x

0
时
,
y
随< br>x
增大而减小
4
ac

b
2
b
b< br>※二次函数
y

ax

bx

c
的 图象是以
x


为对称轴，顶点在（

，
）的抛< br>4
a
2
a
2
a
2
物线。（开口方向和大小由
a
来决定）

※
|a|
的越大，抛物线的开口程度越小，越 靠近对称轴
y
轴，
y
随
x
增长（或下降）速度
越快 ；
|a|
的越小，
抛物线的开口程度越大，
越远离对称轴
y
轴，
y
随
x
增长
（或下降）
速度越慢。

4

※二次函数
y

ax
2

c
的图象中，
a
的符号决定抛物线的开口方向，
|a|
决定抛物线的 开口
程度大小，
c
决定抛物线的顶点位置，即抛物线位置的高低。

※二次函数
y

ax
2

bx

c
的图象与
y
＝
ax
2
的图象的关系：


y

ax
2

bx

c
的图象可以由< br>y
＝
ax
2
的图象平移得到，其步骤如下：


4
ac

b
2
b


①将
y

ax

bx

c
配方成
y

a
(
x

h
)

k
的形式；（ 其中
h=

，
k=
）；

4
a
2
a
2
2
②把抛物线
y

ax
2
向 右（
h>0
）或向左（
h<0
）平移
|h|
个单位，得到< br>y=a(x-h)
2
的图象；

③再把抛物线
y
< br>a
(
x

h
)
2
向上
（
k >0
）
或向下
（
k<0
）
平移
| k|
个 单位，
便得到
y

a
(
x

h
)
2

k
的图象。

※二次函数
y

ax
2

bx

c
的性质：

b
2
4
ac

b
2
二次函数
y

ax

bx

c
配方成
y

a
(
x

)

2
a
4
a
2
则 抛物线的

①对称轴：
x
=

2
b

























②顶点坐标：（

b
，
4
ac

b
）

2
a
4
a
2
a
③增减性：

若
a>0
，则当
x<

增大而增大。

． ．．．．．
若
a<0
，则当
x<

增大而减小。

．．．．．．
④最值：
若
a>0
，
则当
b
时，
y
随
2
a
x
的增大而减小
；当
x>< br>
．．．．．
b
时，
y
随
2
a
x< br>的
b
时，
y
随
2
a
x
的增大而增大
；当
x>

．．．．．
b
时，
y
随
2
a
x
的
4
ac

b
2
bx=

时，
y
最小

4
a
2
a
；
若
a<0
，
则当
4
ac

b
2
b
x=

时，
y
最大

4a
2
a

※画二次函数
y

ax
2< br>
bx

c
的图象：



我们可 以利用它与函数
y

ax
2
的关系，
平移抛物线而得到，< br>但往往我们采用简化了的
描点法
----
五点法来画二次函数来画二次函数的图 象，其步骤如下：

2
b


①先找出顶点（
< br>b
，
4
ac

b
）
，画出对称轴
x =

；

2
a
4
a
2
a
b
②找出图象上关于直线
x=

对称的四个点（如与坐标的交点等）
；

2
a
③把上述五点连成光滑的曲线。

5

¤二次函数的最大值或最小值可以通过将解析式配成
y=a(x-h)
2
+k
的形式求得，也可以
借助图象观察。

¤解决最大（小）值问题的基本思路是：



①理解问题；

②分析问题中的变量和常量，以及它们之间的关系；

③用数学的方式表示它们之间的关系；

④做数学求解；

⑤检验结果的合理性、拓展性等。

※二次函数
y

ax< br>2

bx

c
的图象
(
抛物线
)< br>与
x
轴的两个交点的横坐标
x
1
，
x
2是对应一元
二次方程
ax
2

bx

c

0
的两个实数根

※抛物线与
x
轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：



b
2

4
ac
>0
<===>
抛物线与
x
轴有
2
个交点；



b
2

4
ac
=0
<===>
抛物线与
x
轴有
1
个交点；


b
2

4
ac
<0
<===>
抛物线与
x
轴有
0
个交点（无交点）；

※当b
2

4
ac
>0
时，设抛物线与
x
轴的两个交点为
A
、
B
，则这两个点之间的距离：

|AB
|

|
x
1

x
2
|< br>
(
x
2

x
1
)
2
< br>(
x
1

x
2
)
2

4< br>x
1
x
2

b
2

4
ac
2
化简后即为：
|
AB
|

(
b

4
ac

0
)
------
这就是抛物线与
x
轴的两交点之间
|
a
|
的距离公式。

第三章


圆

一
.
车轮为什么做成圆形

※
1.
圆的定义：



描述性定义：在一个平面内，线段
OA
绕它固定的一个端点
O旋转一周，另一个
端点
A
随之旋转所形成的圆形叫做圆
；固定的端点O
叫做圆心
；线
．
．．
段
OA
叫做半径
；以点
O
为圆心的圆，记作⊙
O
，读作“圆
O
”

．．
6



集合性定义：
圆是平面内到定点距 离等于定长的点的集合。
其中定点叫做圆心
，
定
．．
长叫做圆的半径
，圆心定圆的位置，半径定圆的大小，圆心和半径确
．．．．
定的圆叫做定圆
。

．．
对圆的定义的理解：①圆是一条封闭曲线，不是圆面；

②圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是半径
（即定长）。

※
2.
点与圆的位置关系及其数量特征：



如果圆的半径为
r
，点到圆心的距离为
d
，则



①点在圆上
<===> d=r;
②点在圆内
<===> d③点在圆外
<===> d>r.
其中点在圆上的数量特征是重点，它 可用来证明若干个点共圆，方法就是证明这几
个点与一个定点、的距离相等。

二
.
圆的对称性
:

※
1.
与圆相关的概念：

①弦和直径：



弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦
。

．


直径：经过圆心的弦叫做直径
。

．．
②弧、半圆、优弧、劣弧：

弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧
，简称弧
，用符号“⌒”表示，以
CD
为端点的弧记为“
．．
．< br>读作“圆弧
CD
”或“弧
CD
”
。

半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆
。

．．
优弧：大于半圆的弧叫做优弧
。

．．
劣弧：小于半圆 的弧叫做劣弧
。
(
为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。
)
．．
③弓形：弦及所对的弧组成的图形叫做弓形
。

．．
④同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆
。

．．．
7

”
，

政治思想方面-

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