支部书记述职报告-

2021年1月30日发(作者：等一个人咖啡)
第二十一章

一元二次方程

21.1
一元二次方程

在一个等式中，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是
2
次的整式方程叫做一元二次方程。

一元二次方程有四个特点：
(1)
只含有一个未知数；
(2)
且未知数次数最高次数是
2
；
( 3)
是整式方程．要判断一个方
程是否为一元二次方程，
先看它是否为整式方程，若是，
再对它进行整理．
如果能整理为
ax
+bx+c=0(a≠0)的形式，
则这个方程就为一元二次方程．

（
4
）将方程化为一般形式：
ax
+bx+c=0
时，应满足（a≠0 ）

2
2
21.2
降次——解一元二次方程



1
．一元二次方程的解法

2
2
( 1)
直接开平方法：根据平方根的意义，用此法可解出形如
x

a
( a
≥
0)
，
(
x

a
)

b
(b
≥
0)
类的
2
2
一元二次方程．
x

a
，则
x


a
；
(
x

a
)

b
，
x

a


b
，
x

a

b
．对有些 一元二次方程，本
身不是上述两种形式，但可以化为
x

a
或
(
x

a
)

b
的形式，也可以用此法解．
(2)
因式分解法：当一元二次方程的一边为零，而另一边易分解成两个一次因式的积时 ，就可用
此法来解．要清楚使乘积
ab
＝
0
的条件是
a＝
0
或
b
＝
0
，使方程
x(x
－3)
＝
0
的条件是
x
＝
0
或
x
－
3
＝
0
．
x
的两个值都可以使方程成立，所以方程x(x
－
3)
＝
0
有两个根，而不是一个根．

2
2
(3)
配方法：任何一个形如
x

bx
的二 次式，都可以通过加一次项系数一半的平方的方法配成一
2
个二项式的完全平方，
把方 程归结为能用直接开平方法来解的方程．
如解
x

6
x
< br>7

0
时，
可把方程
2

6

6

2
x

6
x


7





2
2
2


2

，即
(
x

3< br>)

2
，从而得解．

x

6
x< br>

7
化为
，
2
2
注意：
(1)< br>“方程两边各加上一次项系数一半平方”的前提是方程的二次项系数是
1
．

(2)
解一元二次方程时，一般不用此法，掌握这种配方法是重点．

22
(3)
公式法：
一元二次方程
ax

bx

c

0
(a
≠
0)
的根是由方程的系数
a
、
b
、
c
确定的．
在
b

4ac

0

b

b
2

4< br>ac
x

2
a
的前提下，
．用公式法解一元二次方程 的一般步骤：

①先把方程化为一般形式，即
ax

bx

c

0
(a
≠
0)
的形式；

② 正确地确定方程各项的系数
a
、
b
、
c
的值
(要注意它们的符号
)
；

③计算
b

4
ac

0
时，方程没有实数根，就不必解了
(
因负数开平方无意义
)
；

④将
a
、
b
、
c
的值代入求根公式，求出方程的两个根．

说明：
象直接开平方法、因式分解法只是适 宜于特殊形式的方程，而公式法则是最普遍，最适
用的方法．解题时要根据方程的特征灵活选用方法．< br>
2
．一元二次方程根的判别式

一元二次方程的根有三种情况：①有两个不相等的实数根；
②有两个相等的实数根；
③没有实数
2
22
根．而根的情况，由
b

4
ac
的值来确定．因此< br>

b

4
ac
叫做一元二次方程
ax
bx

c

0
的根的判
别式．

△
>0

方程有两个不相等的实数根．

△＝
0

方程有两个相等的实数根．

△
<0

方程没有实数根．

判别式的应用

(1)
不解方程判定方程根的情况；

2
2
(2)
根据参数系数的性质确定根的范围；

(3)
解与根有关的证明题．

3
．韦达定理及其应用
< br>b
c
x

x


，
x
< br>x

1
2
1
2
2
a
a
．< br>
定理：如果方程
ax

bx

c

0
(a
≠
0)
的两个根是
x
1
，
x2
，那么
当
a
＝
1
时，
x
1

x
2


b
，
x
1

x
2

c
．

应用：

(1)
已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；

(2)
已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知系数；

(3)
已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程；

(4)
已知两数和与积求两数．

4
．一元二次方程的应用

(1)
面积问题；

(2)
数字问题；

(3)
平均增长率问题．

步骤：

①分析题意，找到题中 未知数和题给条件的相等关系
(
包括隐含的
)
；

②设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；

③找出相等关系，并用它列出方程；

④解方程求出题中未知数的值；

⑤检验所求的答数是否符合题意，并做答．

这里关键性的步骤是②和③．





注意：
列一元二次方程应用题是一元一次方程解应 用题的拓展，
解题的方法是相同的，
但因一元
二次方程有两解，要检验方程的解是否符 合题意及实际问题的意义．

第二十二章

二次函数

22.1
二次函数及其图像

二次函数概念

一般地，把 形如
y=ax
²
+bx+c
（其中
a
、
b
、
c
是常数，
a
≠
0
，
b
，
c< br>可以为
0
）的函数叫做二次函数，其中
a
称为二次
项系数，< br>b
为一次项系数，
c
为常数项。
x
为自变量，
y为因变量。等号右边自变量的最高次数是
2
。二次函数图像
是轴对称图形。对称轴 为直线
，顶点坐标
和
，交点式为
。

（仅限于
与< br>x
轴有交点和的抛物线），与
x
轴的交点坐标是



注意：“变量”不同于“自变量”，不能说“二次函数是指变量的最高次数为二次的多项式函 数”。“未知
数”只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），“变量”可在实数范围内任意取值。在 方程中适用“未知数”
的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般 都表示一个数或函数——也会遇
到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。从 函数的定义也可看出二者的差别，如同函
数不等于函数的关系。


二次函数公式大全

二次函数


I.
定义与定义表达式


一般地，自变量
x
和因变量
y
之间存在如下关系：


y=ax
²
+bx+c
（
a
，
b
，
c
为常数，
a
≠
0
）


则称
y
为
x
的二次函数。


二次函数表达式的右边通常为二次三项式。


II.
二次函数的三种表达式


一般式：
y=ax
²
;+bx+c
（
a
，
b
，
c
为常数，
a
≠
0
）


顶点式：
y=a(x-h)
²
;+k [
抛物线的顶点
P
（
h
，
k
）
]

交点式：
y=a(x-x1)(x-x2) [
仅限于与
x
轴有交点
A
（
x1
，
0
）和
B
（
x2
，
0
）的抛物线
]

注：在
3
种形式的互相转化中，有如下关系
:

h=-b/2a k=(4ac-b
²
;)/4a x1,x2=(-b
±√
b
²
;-4ac)/2a

III.
二次函数的图象


在平面直角坐标系中作出二次函数
y=x??
的图象，


可以看出，二次函数的图象是一条抛物线。


IV.
抛物线的性质


1.
抛物线是轴对称图形。对称轴为直线


x = -b/2a
。


对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点
P
。


特别地 ，当
b=0
时，抛物线的对称轴是
y
轴（即直线
x=0
）< br>

2.
抛物线有一个顶点
P
，坐标为


P [ -b/2a
，
(4ac-b
²
;)/4a ]
。


当
-b/2a=0
时，
P
在y
轴上；当Δ
= b
²
-4ac=0
时，
P
在
x
轴上。


3.
二次项系数
a
决定抛物线的开口方向和大小。


当
a
＞
0
时，抛物线向上开口；当
a
＜
0
时，抛物线向下开口。


|a|
越大，则抛物线的开口越小。


4.
一次项系数< br>b
和二次项系数
a
共同决定对称轴的位置。


当< br>a
与
b
同号时（即
ab
＞
0
），对称轴在< br>y
轴左；


当
a
与
b
异号时（即
ab
＜
0
），对称轴在
y
轴右。


5.
常数项
c
决定抛物线与
y
轴交点。


抛物线与
y
轴交于（
0
，
c
）


6.
抛物线与
x
轴交点个数


Δ
= b
²
-4ac
＞
0
时，抛物线与
x
轴有
2< br>个交点。


Δ
= b
²
-4ac=0
时， 抛物线与
x
轴有
1
个交点。


Δ
= b
²
-4ac
＜
0
时，抛物线与
x
轴没有交点。

V.
二次函数与一元二次方程


特别地，二次函 数（以下称函数）
y=ax
²
;+bx+c
，


当
y=0
时，二次函数为关于
x
的一元二次方程（以下称方程），


即
ax
²
;+bx+c=0

此时，函数图象与
x
轴有无交点即方程有无实数根。


函数与
x
轴交点的横坐标即为方程的根。

例
1
，二次函数
配方为
的形式，则
()
用函数观点看一元二次方程

2
y

ax
bx

c
与
x
轴有公共点，
1.
如果抛物线
公共点的横坐标是
x
0
，
那么当
x

x< br>0
时，
函数的值是
0
，
因此
x

x
0
2
就是方程
ax

bx

c

0
的一个根。

2.
二次函数的图象与
x
轴 的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次
方程根的三种情况： 没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根。

实际问题与二次函数

在日常生活、生产和科研中，求使材料最省、时间最少、效率最高等问题，有些可归结为求二次函数的最 大值或最
小值。

第二十三章

旋转

23.1
图形的旋转

1.
图形的旋转

（
1
）定义：在平面内，将一个圆形绕一个定点沿某个方向（顺时针或逆时针）转动一个角度， 这样的图形运动叫
做旋转，这个定点叫做旋转中心，转动的角称为旋转角。

（
图形的旋转

本节我们重点了解旋转、平移性质，除外还有一个重点是点的对称变换。


二、知识要点

1
、旋转：
将一个图形绕着某点
O
转动一个角度的变换叫做旋转。其中，
O
叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。


2
、旋转性质

①

旋转后的图形与原图形全等

②

对应线段与
O
形成的角叫做旋转角

③

各旋转角都相等


3
、平移：
将一个图形沿着某条直线方 向平移一定的距离的变换叫做平移。其中，该直线的方向叫做平移方向，该
距离叫做平移距离。


4
、平移性质

①

平移后的图形与原图形全等

②

两个图形的对应边连线的线段平行相等（等于平行距离）

③

各组对应线段平行且相等


5
、中心对称与中心对称图形

①

中心对称：若一个图形绕着某个点
O
旋转
180
°，能够与另一个图形完全重合，则这两个图形关于这个点对
称或中心对称。其中，点
O叫做对称中心、两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。

②

中心对 称图形：若一个图形绕着某个点
O
旋转
180
°，能够与原来的图形完全重合 ，则这个图形叫做中心对
称图形。其中，这个点叫做该图形的对称中心。

6
、轴对称与轴对称图形

(1)
、轴对称：若两个图形沿着某条轴 对折，能够完全重合，则这两个图形关于这条轴对称或它们成轴对称。其
中，这条轴叫做对称轴。

注：轴对称的性质：①

两个图形全等；②

对应点连线被对称轴垂直平分

（
2
）轴对称图形：若一个图形沿着 某条轴对折，能够完全重合，则这个图形叫做轴对称图形。


7
、点的对称变换

（
1
）
、关于原点对称的点的特征

两个点关于原点对称时 ，它们的坐标的符号相反，即点
P
（
x
，
y
）关于原点的对 称点为
P
＇
（
-x
，
-y
）

（
2
）
、关于
x
轴对称的点的特征

两个 点关于
x
轴对称时，它们的坐标中，
x
相等，
y
的符号相反 ，即点
P
（
x
，
y
）关于
x
轴的对称点为
P
＇
（
x
，
-y
）

（
3
）
、关于
y
轴对称的点的特征

两个 点关于
y
轴对称时，它们的坐标中，
y
相等，
x
的符号相反 ，即点
P
（
x
，
y
）关于
y
轴的对称点为
P
＇
（
-x
，
y
）

（４）
、关于直线
y
＝
x
对称

两个点关 于直线
y
＝
x
对称时，横坐标与纵坐标与之前对换，即：
P
（
x
，
y
）关于直线
y
＝
x
的对称点为< br>P
＇
（
y
，
x
）

（
5< br>）
、两个点关于直线
y
＝
-x
对称时，横坐标与纵坐标与之前 完全相反，即：
P
（
x
，
y
）关于直线
y
＝
x
的对称点为
P
＇
（
-y
，
-x
）

注：
y
＝
x
的直线是过一三象限的角平分线，
y
＝
-x
的直线是过二四象限的角平分线。


第二十四章

圆

24.1
圆

定义：
（
1
）平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。




（
2)
平面上一条线段，绕它的一端旋转
360
°，留下的轨迹叫圆。



圆心：
（
1
）如定义（
1
）中，该定点为圆心



（
2
）如定义（
2
）中，绕的那一端的端点为圆心。



（
3
）圆任意两条对称轴的交点为圆心。



（
4
）

垂直于圆内任意一条弦且两个端点在圆上的线段的二分点为圆心。



注：圆心一般用字母
O
表示



直径：通过圆 心，并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。直径一般用字母
d
表示。



半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做圆的半径。半径一般用字母
r
表示。



圆的直径和半径都有无数条。圆是轴对称图形，每条直径所在 的直线是圆的对称轴。在同圆或等圆中：直径是
半径的
2
倍，半径是直径的二分之一< br>.d=2r
或
r=
二分之
d
。



圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。



圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母
C
表示。



圆的周长与直径的比值叫做圆周率。



圆的周长除 以直径的商是一个固定的数，把它叫做圆周率，它是一个无限不循环小数（无理数）
，用字母π表
示。计算时，通常取它的近似值，π≈
3.14
。



直径所对的圆周角是直角。
90
°的圆周角所对的弦是直径。



圆的面积公式：圆所占平面的大小叫做圆的面积。π
r^2
，用字母
S
表示。



一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一。



在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。



在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等， 所对的弦心距也相等。



在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们 所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等。



周长计算公式



1.
、已知直径：
C=
π
d

2
、已知半径：
C=2
π
r

3
、已知周长：
D=c
π



4
、圆周长的一半
:12
周长
(
曲线
)

5
、半圆的长：
12
周长
+
直径



面积计算公式：



1
、已知半径：
S=
π
r
平方


2
、已知直径：
S=
π（
d2
）平方
3
、已知周长：
S=
π
(c2
π
)
平方

24.2
点、直线、圆和圆的位置关系

1.
点和圆的位置关系

①

点在圆内

点到圆心的距离小于半径

②

点在圆上

点到圆心的距离等于半径

③

点在圆外

点到圆心的距离大于半径
2.
过三点的圆不在同一直线上的三个点确定一个圆。

3.
外接圆和外心

经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。

外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。

4.
直线和圆的位置关系

相交：直线和圆有两个公共点叫这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线。

相切：直线和圆有一个公共点叫这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。

相离：直线和圆没有公共点叫这条直线和圆相离。

5.
直线和圆位置关系的性质和判定

如果⊙
O
的半径为
r，圆心
O
到直线
l
的距离为
d
，那么

①

直线
l
和⊙
O
相交

d
r
；②

直线
l
和⊙
O
相切

d

r
；③

直线
l
和⊙
O
相离

d

r
。

圆和圆

定义：

两个圆没有公共点且每个圆的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆的外离。

两个 圆有唯一的公共点且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做两个圆的外切。

两个圆有两个交点，叫做两个圆的相交。

两个圆有唯一的公共点且除了这个公共点外 ，每个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做两个圆的内切。

两个圆没有公共点且每个圆的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆的内含。

原理：

圆心距和半径的数量关系：

两圆外离＜＝＞
d
＞
R+r
两圆外切＜＝＞
d=R+r
两圆相交＜＝＞
R-r
＝
r)
两圆内切＜＝＞
d=R-r(R>r)
两圆内含＜＝＞
dr)
24.3
正多边形和圆


一、本章知识框架




二、本章重点

1
．圆的定义：

(1)
线段
OA
绕着它的一个端 点
O
旋转一周，另一个端点
A
所形成的封闭曲线，叫做圆．
(2)< br>圆是到定点的距离等于定长的点的集合．

2
．判定一个点
P
是否在⊙
O
上．

设⊙
O
的半径为
R
，
OP
＝
d
，则有

d>r
点
P
在⊙
O
外；


d
＝
r
点
P
在⊙
O
上；

d点
P
在⊙
O
内．

3
．与圆有关的角

(1)
圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角．

圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数．

(2)
圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角．

圆周角的性质：

①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半．

②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．

③
90
°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角．

④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．

⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角．

(3)
弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角．

弦切角的性质：弦切角等于它夹的弧所对的圆周角．

弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半．

4
．圆的性质：
(1)
旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形 ，
对称中心是圆心．

在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距， 这四组量中的任意一组相等，那么它
所对应的其他各组分别相等．

(2)
轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴．

垂径定理及推论：

(1)
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

(2)平分弦
(
不是直径
)
的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

(3)
弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．

(4)
平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦．

(5)
平行弦夹的弧相等．

5
．三角形的内心、外心、重心、垂心

(1)
三角形的内心：是三 角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到
三角形三边的距离相等，通常 用“
I
”表示．

(2)
三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点 ，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角
形内部，
直角三角形的外心是斜边中点，< br>钝角三角形外心在三角形外部，
三角形外心到三角形三个顶
点的距离相等，通常用
O
表示．

(3)
三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部； 它到顶点的距离是到对边中点距离的
2
倍，通常用
G
表示．

(4)
垂心：是三角形三边高线的交点．

6
．切线的判定、性质：

(1)
切线的判定：

①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

②到圆心的距离
d
等于圆的半径的直线是圆的切线．

(2)
切线的性质：

①圆的切线垂直于过切点的半径．

②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点．

③经过切点作切线的垂线经过圆心．

(3)
切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长．

(4)
切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分 两条切
线的夹角．

7
．圆内接四边形和外切四边形

(1 )
四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角．

(2)
各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等．

8
．直线和圆的位置关系：

设⊙
O
半径为
R< br>，点
O
到直线
l
的距离为
d
．

直线和圆没有公共点
d>R
．
直线和圆相离
(1)

直线和⊙
O
有唯一公共点
d
＝
R
．
直线
l
和⊙
O
相切
(2)

(3)
直线
l
和⊙
O
有两个公共点
9
．圆和圆的位置关系：

d．
直线
l
和⊙
O
相交

设
的半径为
R
、
r(R>r)
，圆心距

．
没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部
外离
d>R
＋
r
．

(1)
没有公共点，且
(2)
的每一个点都在外部
d－
r
内含

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