五年级数学完全平方数的性质和应用
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2021年01月30日 09:42
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爱丽丝梦游仙境读后感-
完全平方数的性质和应用
课前预习
数字不重复的平方数
观察只含两位数字的完全平方数：
16
＝
4
2
25
＝
5
2
36
＝
6
2
49
＝
7
2
64
＝
8
2
81
＝
9
2
其中每个平方数都是两位数字互不相同。
含有三位数字的完全平方数，情况就不一样了。例如：
100
＝
10
2
121
＝
11
2
144
＝
12
2
这些平方数都已包含重复数字。不过，也有许多三位平方数的各位数字互不相同，例如：
169
＝
13
2
196
＝
14
2
256
＝
16
2
62
＝
525
2
含有四位数的完全平方数，包 含重复数字的现象更为普遍。
1444
＝
38
2
不含重复数字的四位平方数也很多，例如
1024
＝
32
2
2401
＝
49
2
1369
＝
37
2
1936
＝
44
2
如果一个平方数有九位数字，
每位数字各不相同，
并且不含数字
0
，
那么在这个数中，
从
1
到
9
全都出现，
全只出现一次。
其中最小的是：
139854276
＝
11826
2
，最大的是：
9231874 56
＝
30384
2
知识框架
完全平方数常用性质
1.
性质
性质
1
：完全平方数的末位数字只可能是
0
，
1
，
4
，
5
，
6
，
9
．不可能是
2
，
3
，< br>7
，
8
。
性质
2
：在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。
性质
3
：自然数
N
为完全平方数
自然数
N
约 数的个数为奇数
．因为完全平方数的质因数分解中每个质
因数出现的次数都是偶数次
.
性质
4
：若质数
p
整除完全平方数
a
2
，则
p
能被
a
整除。
2.
一些重要的推论
（
1
）任何偶数的平方一定能被4
整除；任何奇数的平方被
4
（或
8
）除余
1.
即被
4
除余
2
或
3
的数一定不是完
全平方数。< br>
（
2
）一个完全平方数被
3
除的余数是
0
或
1.
即被
3
除余
2
的数一定不是完全平方数。
（
3
）自然数的平方末两位只有：
00
，
01
，< br>21
，
41
，
61
，
81
，
04< br>，
24
，
44
，
64
，
84
，25
，
09
，
29
，
49
，
69，
89
，
16
，
36
，
56
，
76
，
96
。
1
（
4
）完全平方数个位数字是奇数（
1
，
5
，
9
）时， 其十位上的数字必为偶数。
（
5
）完全平方数个位数字是偶数（
0
，
4
）时，其十位上的数字必为偶数。
（
6
）完 全平方数的个位数字为
6
时，其十位数字必为奇数。
（
7
）凡个位数字是
5
但末两位数字不是
25
的自然数不是完全平方数；末尾只有 奇数个
“0”
的自然数不是完全
平方数；个位数字为
1
，
4
，
9
而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。
（
8< br>）完全平方数被
3
，
4
，
5
，
8
，
16
除的余数一定是完全平方数．
3.
重点公式回顾
：
2
2
平方差公式：
a
b
(
a
b
)(
a
b
)
重难点
（
1
）任何偶数的平 方一定能被
4
整除；
任何奇数的平方被
4
（或
8
） 除余
1.
即被
4
除余
2
或
3
的数一定不< br>是完全平方数。
（
2
）自然数
N
为完全平方数
自然数
N
约数的个数为奇数
．
因为完全平方数的质 因数分解中每个质因
数出现的次数都是偶数次
.
2
2
（
3
）平方差公式：
a
b
(
a
b
)(
a
b
)
例题精讲
【例
1
】
21
(1
2< br>
3
4
5
6
7< br>
6
5
4
3
2< br>
1)
是
的平方．
【考点】完全平方数计算及判断
【关键词】
2000
年，祖冲之杯
【
解
析
】
21
1111111
2
，
1
2
3
4
5
6
7
6
5
4
3
2
1
7
2
，
2
2
原式
(1111111
7 )
7777777
．
【难度】
2
星
【题型】填空
【答案】
7777777
【
巩
固
】
1
2345678987654321 *
（
1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1
）
是
的平方．
【考点】完全平方数计算及判断
【难度】
2
星
【题型】填空
【
解
析
】
654321 =1111111112
，
1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+ 2+1=92
，
原式
=111111111*9=999999999
．
【答案】
999999999
2
【例
2
】
写出从
360
到
630
的自然数中有奇数个因数的数．
【考点】平方数特征之奇数个约数
【难度】
2
星
【题型】解答
【
解
析
】
一
个合数的因数的个数是在严格分解质因数之后
,
将每个质因数的指数
(
次数
)
加
1
后所得的乘积
.
如
:1400
严格分解质因数后为
23×52×7,
所以它的约数有
(3+1)×(2+1)×( 1+1)=4×3×2=24
个
.(
包括
1
和
它自身
)
，如果某个自然数有奇数个约数
,
那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个.
这样它们加
1
后均是奇数
,
所得的乘积才能是奇数
.
而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数
.
即完全
平方数
(
除
0
外
)
有奇数个约数
,
反过来
,
有奇数个因数的数一定是完全平方数．
由以上 分析知
,
我们所求的为
360
～
630
之间有多少个完全平 方数
?
18×18=324,19×19=361,25×25=625,26×2 6=676,
所
以
在
360
～
630
之
间
的
完
全
平
方
数
为
192,202,212 ,222,232,242,252
．
即
360
到
630
的自然数中有奇数个约数的数为
361,400,441,484,529,576,625< br>．
【答案】
361,400,441,484,529,576,625
【
巩
固
】
从
1
到
2011
中有几个有偶数个因数的整数？
【考点】平方数特征之奇数个约数
【难度】
2
星
【题型】解答
【
解
析
】
4
4 2
《
2011
《
452
，
1
到
2011< br>中有
44
个完全平方数，
2011
-
44=1967.
【答案】
1967
【例
3
】
证明：形如
11
，
111
，
111 1
，
11111
，…的数中没有完全平方数。
【考点】平方数特征之平方数的整除特性
【难度】
2
星
【题型】解答
【答案】
由于奇数的平方是奇数，
偶数的平方为偶数 ，
而奇数的平方除以
4
余
1
，
偶数的平方能被
4< br>整除．
现
在这些数都是奇数，它们除以
4
的余数都是
3
，所以不可能为完全平方数．
【
巩
固
】
有< br>一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为
0
，试求满足上述条件的最小的正整数 ．
【考点】完全平方数计算及判断
【难度】
3
星
【题型】解答
【
解
析
】
平
方数的末尾只能是
0
，
1
，
4
，
5
，
6
，
9
，因为末三位是
111
，
555
，
999
除以
4
余
3
，
666
除以
4
余
2，不可能是完全平方数。
444
不是平方数，最小的是
1444.
【答案】
1444
【例
4
】
自然数的平方按大小排成
1
，
4
，
9
，
16
，
25
，
36
，
49
， …，问：第
612
个位置的数字是几？
3
【考点】完全平方数与其他知识点的综合运用
【解析】
1
到
3
的平方是一位数，占去
3
个位置；
4
到
9
的平方是二位数，占去
12
个位置；
10
到
31
的平方是三位数，占去
66
个位置；
【难度】
4
星
【题型】解答
32
到
99
的平方是四位数，占去
272
个位置；
将
1
到
99
的平方排成一行，就占去
353
个位置 ，从
612
减去
353
，还有
259
个位置．
< br>从
100
到
300
的平方都是五位数，因此，第
612
个位置一定是其中某个数的平方中的一个数字．
因为
259
5 1
5
4
，即从
100
起到
150，共
51
个数，它们的平方都是五位数，要占去
255
个位
置， 而
151
151
22701
，它的第
4
个数字是
0
，所以第
612
个位置的数字是
0
．
【答案】
0
【
巩
固
】
不
是零的自然数的平方按照从小到大的 顺序接连排列，是：149162536……，则从左向右的第
l6
个数字是
____ _____
【考点】完全平方数与其他知识点的综合运用
【难度】
3
星
【题型】填空
【关键词】
2008
年，第
6< br>届，希望杯，
4
年级，初赛，
11
题
通过列举可得
1
。
【答案】
1
【例
5
】
一个数与它自身的乘积称为这个数的平方．
各 位数字互不相同且各位数字的平方和等于
49
的四
位数共有
________
个．
【考点】平方数特征之平方数的尾数特征
【关键词】
2009
年，学而思杯，
5
年级， 第
10
题
49
1
4
9
25
，
1
,2,3,5
全排列共有
24< br>个。
【难度】
4
星
【题型】填空
【答案】
24
【
巩
固
】
各
位数字的平方和等于
9的数共有
________
个．
【考点】平方数特征之平方数的尾数特征
【关键词 】
2009
年，学而思杯，
5
年级，第
10
题
4
2
1
的情况有
122
，
212
，
221
共
3
个，
9
4
2
1
4
1
5
1
9
，
4
1
5
的情况有
211111
，
121111
，
112111，
111211
，
111121
，
111112
共6
个，
1
9
的情况只有
111111111
一个。
共
3+6+1=10
个
【答案】
24
4
【难度】
4
星
【题型】填空
【例
6
】
1016
与 正整数
a
的乘积是一个完全平方数，则
a
的最小值是
_______ _
．
【考点】平方数的质因数的次数都是偶数
【难度】
2
星
【题型】填空
【解析】
先
将
1016
分解质因数：
由于
1016
a
是一个完全平方数，
所以至少为
2
4
127
2< br>，
1016
2
3
127
，
故< br>a
最小为
2
127
254
．
【答案】
254
【
巩
固
】
已
知
3528
a恰是自然数
b
的平方数，
a
的最小值是
。
【考点】平方数的质因数的次数都是偶数
【难度】
2
星
【题型】填空
【解析】
3528
2
3
3
2
7
2
，要使
3528
a
是某个自然数的平方，必须使
3528
a
各个不同质因数的个数为偶
数，
由于其中质因子
3
和
7< br>各有
2
个，
质因子
2
有
3
个，
所以
a
为
2
可以使
3528
a
是完全平方数，
故
a
至少为
2
．
【答案】
2
【例
7
】
从
1
到
2008
的所有自然数中，乘以
72
后是完全平方数的数共有多少个？
【考点】平方数的质因数的次数都是偶数
【难度】
3
星
【题型】解答
【解析】
完
全平方数，其所有质因数的次数都是偶数．
而
72
< br>2
3
3
2
2
6
< br>6
，所以满足条件的数必为某个完全平方数的
2
倍，
由于< br>2
31
31
1922
20 08
2
32
32
2048
，所以
2
1
、
2
2
、
……
、
2
31
2
都满足题意，
即所求的满足条件的数 共有
31
个．
【答案】
31
【
巩
固
】
从
1
到
2011的所有自然数中，乘以
60
后不是完全平方数的数共有多少个？
【考点】平方数的质因数的次数都是偶数
【难度】
3
星
【题型】解答
2
2
【解析】
完
全平方数，其所有质因数的次数都是偶数．
2
而
60< br>
2
3
5
，所以不满足条件的数必为某个完全平 方数的
15
倍，
2
2
由于，所
15
< br>11
2011
15
12
，所以有11
个数不满足要求，共有
2011
-
11=2000
个。
【答案】
2000
【例
8
】
有
5
个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为 立方数，则这五个数中最小数的
5