培训学习总结-

2021年1月30日发(作者：英语角的英文)

平方差完全平方公式




三．解答题（共
26
小题）

5
．计算：

2
2
（
1
）
（
x
﹣
y
）
（
x+y
）
（
x
+y
）

（
2
）
（
a
﹣
2b+c
）
（
a+2b
﹣
c
）



6
．计算：
123
﹣
124
×
122
．



7
．计算：
．

2


8
．（
x
﹣
2y+z
）
（﹣
x+2y+z
）
．



9
．运用乘法公式计算．

2
2
（
1
）
（
x+y
）
﹣（
x
﹣< br>y
）
；

（
2
）
（
x+y
﹣
2
）
（
x
﹣
y+2
）
；

（
3
）
79.8
×
80.2
；

2
（
4
）
19.9
．


10
．化简：
（
m+n
﹣
2
）
（
m+ n+2
）
．



11
．
（
x< br>﹣
2y
﹣
m
）
（
x
﹣
2y+m）



12
．计算

（
1
）
（
a
﹣
b+c
﹣
d
）
（
c﹣
a
﹣
d
﹣
b
）
；

42
2
4
（
2
）
（
x+2y
）
（
x
﹣
2y
）
（
x
﹣
8x
y+16y
）
．



13
．计算：
2 008
﹣
2007
+2006
﹣
2005
+
…+2
﹣
1
．



14
．利用乘法公式计算：

①
（
a
﹣
3 b+2c
）
（
a+3b
﹣
2c
）

②
47
﹣
94
×
27+27
．



15
．已知：
x
﹣
y
=20
，
x+y=4
，求
x
﹣
y
的值．

_________




16
．观察下列各式 ：
（
x
﹣
1
）
（
x+1
）
=x< br>﹣
1
；
（
x
﹣
1
）
（
x< br>+x+1
）
=x
﹣
1
；
（
x
﹣1
）
（
x
+x
+x+1
）
=x
﹣1
…

m
﹣
1
m
﹣
2
m﹣
3
（
1
）根据上面各式的规律得：
（
x
﹣< br>1
）
（
x
+x
+x
+
…
+x+1< br>）
=

_________

；
（其中
n
为正整数）
；

2
3
4
68
69
（
2
）根据这一规律，计算
1+2+2
+2
+2
+
…
+2
+2

的值．



17
．先观察下面的解题过程，然后解答问题：

2< br>4
题目：化简（
2+1
）
（
2
+1
）
（
2
+1
）
．

2
4
2
42
2
4
4
4
8
解：
（
2+1
）
（
2
+1
）
（
2
+1
）
=（
2
﹣
1
）
（
2+1
）
（
2
+1
）
（
2
+1
）
=
（
2
﹣
1
）
（
2
+1
）
（
2
+1< br>）
=
（
2
﹣
1
）
（
2
+1
）
=2
﹣
1
．

2
4
8
64
问题：化简（
3+1
）
（
3
+1
）
（
3
+1
）
（
3
+1
）
…
（
3
+1
）
．



2
2
33
2
4
2
2
2
2
2
2
22
2
2
18
．


19
．
（
2012
•
黄冈）已知实数
x
满足
x+
=3
，则
x
+


20
．
（
2007
•
天水）若
a
﹣
2a+1=0
．求代数式


2
2
．

的值为

_________

．

的值．

21
．
（
2009
•
佛山）阅读材料：把形如
ax
+bx+c
的二次三项式（或其一部分）配成 完全平方式的方法叫做配方法．配
2
2
2
方法的基本形式是完全平方公式的逆 写，即
a
±
2ab+b
=
（
a
±
b
）
．

例如：
（
x
﹣
1
）
+3
、
（
x
﹣
2
）
+2x
、
（
x
﹣
2
）
+
x
是
x
﹣
2x+4
的三种不同形式的配方（即
“
余项
”
分别是常数项、
一次项 、二次项﹣﹣见横线上的部分）
．

请根据阅读材料解决下列问题：

（
1
）比照上面的例子，写出
x
﹣
4x+2
三种不同形式 的配方；

2
2
（
2
）将
a
+ab+b< br>配方（至少两种形式）
；

2
2
2
（
3）已知
a
+b
+c
﹣
ab
﹣
3b
﹣< br>2c+4=0
，求
a+b+c
的值．



22
．
（
2004
•
太原）已知实数
a
、
b
满足（
a+b
）
=1
，
（
a
﹣
b
）
=25
，求
a
+b
+ab
的值．



23
．
（
2001
•
宁夏）设
a
﹣
b=
﹣
2
，求


24
． 已知（
x+y
）
=49
，
（
x
﹣
y
）
=1
，求下列各式的值：

2
2
（
1
）
x
+y
；
（
2
）
xy
．



25
．已知
x+
=4
，求
x
﹣
的值．



26
．已知：
x+y=3
，
xy=2
，求
x
+y
的值．


27
．已知
a+b=3
，
ab=2
，求
a
+b
，
（
a
﹣
b
）
的值．



28
．若
x+y=2
，且（
x+2
）
（
y+2
）
=5
，求
x
+xy+y
的值．



29
．
x
﹣
11x+1=0
，求x
+


30
．已
（
1
）
，求下列各式的值：

；

2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
的值．

的值．

（
2
）


．


平方差完全平方公式

参考答案与试题解析



一．选择题（共
1
小题）

1
．
（
199 9
•
烟台）下列代数式
，
x
+x
﹣
，
2< br>，
，其中整式有（


）



A
1
个

B
2
个

．

．


考点
：

整式．

分析：

解决本题关
键是搞清整
式的概念，
紧
扣概 念作出
判断．

解答：

解：整式有
x
2
+x
﹣
，
共
2
个．

故选
B
．

点评：

主要考查了
整式的有 关
概念．
要能准
确的分清什
么是整式．
整
式是有理式
的一部分，
在
有理式中可
以包含加，
减，乘，除四
种运算，
但在
整式中除式
不能含有字
母．
单项式和
多项式统称
为整 式．
单项
式是字母和
数的乘积，
只
有乘法，
没有
加 减法．
多项
式是若干个
单项式的和，
有加减法．



C
3
个

．

D
4
个

．

二．填空题（共
3
小题）

2
．
（
201 1
•
湛江）多项式
2x
﹣
3x+5
是

二

次

三

项式．


考点
：

多项式．

专题
：

计算题．

分析：

根据单项式
的系数和次
数的定 义，
多
项式的定义
求解．

解答：

解：
由题意可
知，多项式
2
点评：

2x
﹣
3x+5
是

二次

三项
式．

故答案为：
二，三．

本题主要考查多项式的
定义，
解答此
次题的关键
是熟知以下
概念：

多项式中的
每个单项式
叫做多项式
的项；

多项式中不
含字母的项
叫常数项；

多项式里次
数最高项的
次数，
叫做这
个多项式的
次数．

2
2
2


3
．
（
2010•
毕节地区）写出含有字母
x
，
y
的四次单项式

x
y

．
（答案不唯一，只要写出一个）


考点
：

单项式．

专题
：

开放型．

分析：

单项式的次
数是指单项
式中所 有字
母因数的指
3
数和∴
x
y
，
2
23
x
y
，
xy
等
都是四次单
项式．

解答：

解：
根据四次
单项式的定
义，
x
y
，
x
y
，
3
xy
等都符合
题意
（答案不
唯一）
．

考查了单项
式的次数的
概念．
只要两
个字母的指
数的和等于
4
的单项式都
符合要求．

2
3
3
2
2
2
3
点评：



4
．
（
2004
•
南平）把多项式< br>2x
﹣
3x+x
按
x
的降幂排列是

x
+2x
﹣
3x

．


考点
：

多项式．

分析：

按照
x
的次数
从大到小排
列即可．

解答：

解：
按
x
的降
幂排列是
3
2
x
+2x
﹣
3x
．

点评：

主要考查降
幂排列的定
义，
就是按照
x
的次数从大
到小的 顺序
排列，
操作时
注意带着每
一项前面的
符号．



三．解答题（共
26
小题）

5
．计算：

2
2
（
1
）
（x
﹣
y
）
（
x+y
）
（
x
+ y
）

（
2
）
（
a
﹣
2b+c< br>）
（
a+2b
﹣
c
）


考点
：

平方差公式；
完全平方公
式．

分析：

（
1
）
（
x
﹣
y
）
与（
x+y
）结
合，
可运用平
方差公式，
其< br>结果再与
2
2
（
x
+y
）
相结
合，
再次利用
平方差公式
计算；

解答：

点评：

（
2
）先运用
平方差公式，
再应用完全
平方公式．

解：
（
1
）
（
x
﹣
y
）
（
x+y
）
2
2
（
x
+y
）
，< br>
2
2
=
（
x
﹣
y
）
2< br>2
（
x
+y
）
，

4
4
=x
﹣
y
；

（
2
）
（
a
﹣
2b+c
）
（
a+2b
﹣
c
）
，

2
=a
﹣（
2b
﹣
2
c
）
，

2
2
=a
﹣
4b
+4bc
2
﹣
c
．

本题主要考
查了平方差公式与完全
平方公式，
熟
记公式是解
题的关键．

平方 差公式：
（
a+b
）
（
a
﹣
b
）
=a
﹣
b
．
完
全平方公式：
（
a
±
b
）
2
2
2
=a
±
2ab+b
．

2
2


6
．计算：
123
﹣
124
×
122
．


考点
：

平方差公式．

分析：

先把
124
×
1 22
写成
（
123+1
）
×
（
123
﹣< br>1
）
，
利用平方差
公式计算，
去
掉括号后再
合并即可．

2
解答：

解：
123
﹣
124
×
122
，

2
点评：

=123
﹣
（
123+1
）< br>（
123
﹣
1
）
，

2
2
=123
﹣
（
123
2
﹣
1
）
，

=1
．

本题考查平
2
方差公式的
实际运用，构
造成平方差
公式的结构
形式是解题
的关键．



7
．计算：

考点
：

分析：

平方差公式．

观察可得：
2005=2004+1
，
20 03=2004
﹣
1
，将其写
成平方差公
式代入原式
计算可 得答
案．

解：
．

解答：

，

=
，

=
点评：

，

=2004
．

本题考查平
方差公式的
实际运用，
注
意要构造成
公式的结构
形式，
利用公
式达到简化
运算的目 的．



8
．
（
x
﹣
2y+z
）
（﹣
x+2y+z
）
．


考点
：

平方差公式．

专题
：

计算题．

分析：

解答：

把原式化为
[z+
（
x
﹣
2y
）
]
[z
﹣（
x
﹣
2y
）
]
，再
运用平方差
公式计算．

解：
（
x
﹣
2y+z
）
（﹣
x+2y+z
）
，

=[z+
（
x
﹣
2y
）< br>]
[z
﹣（
x
﹣
2y
）
]
，

=z
﹣（
x
﹣
2
2y
）
，

2
2
=z
﹣（
x
﹣
2
4xy+4y
）
，

2
2
=z
﹣
x
+4xy
2
﹣
4y
．

本题考查了
平方差公式，
整体思想的
利用是利用
公式的关键，
注意运用公
式计算会减
少运算量．

2
点评：



9
．运用乘法公式计算．

2
2
（
1
）
（
x+y
）
﹣（x
﹣
y
）
；

（
2
）
（x+y
﹣
2
）
（
x
﹣
y+2
）
；

（
3
）
79.8
×
80.2
；

2
（
4
）
19.9
．


考点
：

平方差公式．

专题
：

计算题．

2
分析：

（
1
）
（
x+y
）
2
﹣（
x
﹣
y
）
可以利 用平
方差公式进
行计算；

（
2
）
（
x+ y
﹣
2
）
（
x
﹣
y+2
）
转化成
[x+
（
y
﹣
2
）
]
[x
﹣（
y
﹣
2
）
]
的形
式，
利用平方差公式以及
完全平方公
式进行计算；

解答：

（3
）
79.8
×
80.2
可
以转化成
（
80
﹣
0.2
）
（
80+0.2
）的
形式，利用平
方差公式计
算；

2
（
4
）
1 9.9
可
以转化为
（
20
2
﹣
0.1
）< br>进行
简便计算．

解：
（
1
）
（
x +y
）
2
2
﹣
（
x
﹣
y
）
=
（
x+y+x
﹣
y
）
（
x+y
﹣x+y
）
，

=4xy
；


（2
）
（
x+y
﹣
2
）
（
x
﹣
y+2
）
，

=[x+
（
y
﹣
2
）
]
[x
﹣（
y
﹣
2
）
]
，

2
2
=x
﹣
y
+4y
﹣
4
；


（
3
）
79.8
×
80.2
，

=
（
80
﹣
0.2
）
（
80+0.2
）< br>，

=6399.96
；


（
4
）
19.9
=
（
20
﹣
0.1
）
2
2
=400
﹣
2
×
20
×
0.1+0.0
1
，

=396.01
．

本题主要考
查平方差 公
式和完全平
方公式的运
用，
利用完全
平方公式以
及平方差 公
式可以使计
算更加简便．

点评：



10
．化简：
（
m+n
﹣
2
）
（
m+n +2
）
．


考点
：

平方差公式．

分析：

把（
m+n
）看
作整体，
m+n
是相同的项，
互为相反项
是﹣
2
与
2
，
然后利用平
方差公式和
完全平方公
式计算即可．

解答：

解：
（
m+n
﹣
2
）
（
m+n+2
）
，

2
=
（
m+n
）
﹣
2
2
，

2
2
=m
+n
+2mn
﹣
4
．

点评：

本题主要考
查了平方差
公式的应
用．
运用 平方
差公式
（
a+b
）
2
（
a
﹣
b
）
=a
2
﹣
b
计算时，
关键要找相
同项 和相反
项，
其结果是
相同项的平
方减去相反
项的平方．



11
．
（
x
﹣
2y
﹣
m
）
（
x
﹣
2y+m
）


考点
：

平方差公式．

专题
：

计算题．

分析：

把
x
﹣
2y
当成
一个整体，
利
用两数的和
乘以这两数
的差，
等于它们的平方差
计算即可．

解答：

解：
（
x< br>﹣
2y
﹣
m
）
（
x
﹣
2y+m）
，

2
=
（
x
﹣
2y
）< br>2
﹣
m
，

2
=x
﹣
点评：

4xy+4y
﹣
2
m
．

本题主要考
查了 平方差
公式，
整体思
想的利用比
较关键．

2


12
．计算

（
1
）
（
a﹣
b+c
﹣
d
）
（
c
﹣
a
﹣
d
﹣
b
）
；

4
2
2
4
（
2
）
（
x+2y
）
（
x
﹣2y
）
（
x
﹣
8x
y
+16y
）．


考点
：

平方差公式．

专题
：

计算题．

分析：

根据平方差
公式以及完
全平方公式
即可解答本
题．

解答：

解：
（
1
）原式
=[
（
c
﹣
b
﹣
d
）
+a
]
[
（
c
﹣
b
﹣
d
）﹣
a
]

=（
c
﹣
b
﹣
d
）
2
2
﹣a

2
2
2
=c
+b
+d
+2
bd
﹣
2bc
﹣
2
2cd
﹣
a
，

4
（
2
）∵
x
﹣
2
2
48x
y
+16y
=
2
2
2
（
x
﹣
4y
）

2
∴原式
=
（
x
2
2
﹣
4y
）
（
x
﹣
2
2
2
4y
）
=
（
x
2
3
﹣
4y）

2
3
=
（
x
）
﹣
32
2
2
（
x
）
（
4y
）
2< br>2
2
+3x
•
（
4y
）
2
3
﹣（
4y
）

6
=x
﹣
4
2
2
12x
y
+48x
y
4
6
﹣
64y
．

点评：

本题考查了
平方差公式
以及完全平
方公式的运
用，难度适
中．



13
．计算：< br>2008
﹣
2007
+2006
﹣
2005
+
…
+2
﹣
1
．


考点
：

平方差公式．

分析：

分组使用平
方差公式，
再
利用自然数
求和公式解
题．

解答：

解：原式< br>=
2
（
2008
﹣
2
2007
）
+
2
（
2006
﹣
2
2005
）
+
…
+
2
2
（
2
﹣
1
）
，

=
（
2008+2007
）
（
2008
﹣
2007
）
+
（
2006+2005
）
（
2006
﹣
2005
）
+
（
2+1
）
（
2
﹣
1
）
，

=2008+2007+
2006+2 005+
…
+2+1
，

=2017036
．

点评：

本题考查了
平方差公式
的运用，
注意
分组 后两数
的差都为
1
，
所有两数的
和组成自然
数求和．



14
．利用乘法公式计算：

①
（
a
﹣
3b+2c
）
（
a+3b
﹣
2c
）

2
2
2
2
2
2
②
47
﹣
94
×
27+27
．


考点
：

平方差公式；
完全平方公
式．

分析：

①
可用平方
差公式计算：
找出符号相
同的 项和不
同的项，
结合
再按公式解
答，

2
2
解答：

②
把
94
写成
2< br>×
47
后，
可用
完全平方公
式计算．

解：
①
原式
=[a
﹣（
3b
﹣
2c
）
]
[a+
（
3b
2
﹣
2c
）
]
= a
﹣
（
3b
﹣
2c
）
2
=9b
+ 12bc
2
﹣
4c
；

2
②
原式
=47
﹣
2
×
47
×
27+27
=
（47
﹣
27
）
2
2
2
点评：

=400
．

本题考查了
平方差公式，
完全平方公
式，
熟记公式
是解题的关
键．

①
把（
3b
﹣
2c
）看作一个
整体是运用
平方差公式
的关键；
②
把
94
写成
2
×
47
是利用
完全平 方公
式的关键．

2
2


15
．已知：
x
﹣
y
=20
，
x+y=4
，求
x
﹣
y
的值．

5



考点
：

平方差公式．

分析：

本题是平方
差公式的应
用．

2
2
解答：

解：
a
﹣
b
=
（
a+b
）
（a
﹣
b
）
，

2
2
x
﹣y
=
（
x+y
）
（
x
﹣
y
）
=20
把
x+y=4
代
入求得
x
﹣
y= 5
．

点评：

运用平方差
公式计算时，
关键要找 相
同项和相反
项，
其结果是
相同项的平
方减去相反
项的平方 ．
把
x+y=4
代入求
得
x
﹣
y
的值，< br>为
5
．



16
．观察下列各式：
（
x
﹣
1
）
（
x+1
）
=x
﹣
1
；
（
x
﹣
1
）
（
x
+ x+1
）
=x
﹣
1
；
（
x
﹣
1< br>）
（
x
+x
+x+1
）
=x
﹣
1< br>…

m
﹣
1
m
﹣
2
m
﹣< br>3
m
（
1
）根据上面各式的规律得：
（
x
﹣
1
）
（
x
+x
+x
+
…
+x+1
）
=

x
﹣
1

；
（其中
n
为正整数）
；

2
3
4
68
69
（
2
）根据这一规律，计算
1+2+2
+2
+2
+
…
+2
+2

的值．


考点
：

平方差公式．

分析：
（
1
）认真观
察各式，
等式
右边
x
的指数比左边
x
的最
高指数大
1
，
利用此规律
求解填 空；


（
2
）先根据
上面的式子
可得：
2
2
3
3
2
4
1+x+x
+x
+
…
n
n+1
+x
=
（
x
﹣
1
）< br>÷
（
x
﹣
1
）
，
从而得出
1+2+ 2
+
…
+2
8
69
69+1
+2
=
（
2
﹣
1
）
÷
（
2
﹣
1
）
，
再进行计
算即可．

解：
（
1
）< br>（
x
﹣
1
）
（
x
+x
﹣
2
m
﹣
+x
3
2
+
…
+x
+x+1
）
m
=x
﹣
1
；

（
2
）根据上
面的式子可
得：
1+x+x
+x
+
…
n< br>n+1
+x
=
（
x
﹣
1
）
÷
（
x
﹣
1
）
，

∴
1+2+2
+
…
+
68
69
2
+2
=
69+1
（
2
﹣
1
）
÷
2
2
3
m
﹣
1
m
2
6
2
3
解答：

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