新浙教版数学七年级下册第四章《因式分解》培优题
温柔似野鬼°
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2021年01月30日 09:47
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新浙教版数学七年级下册第四章《因式分解》培优题
一．选择题（共
6
小题）
1
．下列各式，能直接运用完全平方公式进行因式分解的是（
）
A
．
4x
2
+
8x
+
1
B．
x
2
y
2
﹣
xy
+
1 C
．
x
2
﹣
4x
+
16
D
．< br>x
2
﹣
6xy
﹣
9y
2
2
．已知
x
2
+
ax
﹣
12
能分解成两个整数系数 的一次因式的积，则整数
a
的个数有
（
）
A
．
0
B
．
2
C
．
4
D
．
6
3
．任何一个正整数
n
都可以写 成两个正整数相乘的形式，我们把两个乘数的差
的绝对值最小的一种分解
n=p
×q
（
p
≤
q
）称为正整数
n
的最佳分解，并定 义一
个新运算
．例如：
12=1
×
12=2
×
6= 3
×
4
，则
；②
．
那么以下结论中：①
；③若
n
是一个完全平方数，则
F
（
n
）
．正确的 个数
=1
；④若
n
是一个完全立方数（即
n=a
3
，
a
是正整数）
，则
为（
）
A
．
1
个
B
．
2
个
C
．
3
个
D
．
4
个
4
．已知二次三项式
x
2
﹣
4x
+
m
有一个因式是
x
+
3
，求另一个因式以及
m
的值时，
可以设另一 个因式为
x
+
n
，则
x
2
﹣
4x
+
m=
（
x
+
3
）
（
x
+
n
）
．
即
x
2
﹣
4x
+m=x
2
+
（
n
+
3
）
x
+
3n
．
∴
解得，
n=
﹣
7
，< br>m=
﹣
21
，
∴另一个因式为
x
﹣
7
，
m
的值为﹣
21
．
类似地，二次三项式< br>2x
2
+
3x
﹣
k
有一个因式是
2x
﹣
5
，则它的另一个因式以及
k
的值为（
）
A
．
x
﹣
1
，
5 B
．
x
+
4
，
20 C
．
x
，
D
．
x
+
4
，﹣
4
5
．现有一列式子：①
55
2
﹣
45
2
；②
555< br>2
﹣
445
2
；③
5555
2
﹣
4 445
2
…
则第⑧个式子
的计算结果用科学记数法可表示为（
）
A
．
1.1111111
×
10
16
B
．
1.1111111
×
10
27
C
．
1.111111
×
10
56
D
．
1.1111111
×
10
17
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6
．设
a
、
b
、
c< br>是三角形的三边长，且
a
2
+
b
2
+
c2
=ab
+
bc
+
ca
，关于此三角形的形状
有以下判断：①是等腰三角形；②是等边三角形；③是锐角三角形；④是斜三角
形．其中正确的说法的个 数是（
）
A
．
4
个
B
．
3
个
C
．
2
个
D
．
1
个
二．填空题（共
7
小题）
7
．已知
x
+
y=10
，
xy=16
，则
x
2
y
+xy
2
的值为
．
8
．两位同学 将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解
成
2
（
x< br>﹣
1
）
（
x
﹣
9
）
；另一位同学因 看错了常数项分解成
2
（
x
﹣
2
）
（
x< br>﹣
4
）
，请
你将原多项式因式分解正确的结果写出来：
．
9
．
2
m
+
2007+
2
m
+
1
（
m
是正整数）的个位数字是
．
10
．若多项式
x
2
+mx
+
4
能用完全平方公式分解因式，则
m
的值是
．
11
．若
a
+
b=5
，< br>ab=
，则
a
2
﹣
b
2
=
．
12
．定义运算
a
★
b=
（
1
﹣
a
）
b
，下面给出了关于这种运算的四个结论：
①
2
★（﹣
2
）
=3
②
a
★
b=b
★
a
③若
a+
b=0
，则（
a
★
a
）
+
（
b
★
b
）
=2ab
④若
a
★
b=0
，则
a=1
或
b=0
．
其中正确结论的序号是
（填上你认为正确的所有结论的序号）
．
13
．若
m2
=n
+
2
，
n
2
=m
+
2
（
m
≠
n
）
，则
m
3
﹣
2mn
+
n
3
的值为
．
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三．解答题（共
5
小题）
14
．如图①，有足够多的边长为
a
的小正方形（
A
类）
、长为
a
宽为
b
的长方形
（
B
类）
以及边长为
b
的大正方形
（
C
类）
，
发现利用图①中的三种材料各若干 可
以拼出一些长方形来解释某些等式．
比如图②可以解释为：
（
a
+
2b
）
（
a
+
b
）
=a
2
+
3ab
+
2b
2
（
1
）
取图①中的若干个
（三种图形都要取到）
拼成一个长方形，
使其面 积为
（
2a
+
b
）
（
a
+
2b< br>）
，在如图④虚框中画出图形，并根据图形回答（
2a
+
b
）
（
a
+
2b
）
=
．
（
2
）若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为
a
2
+
5ab
+
6b
2
．
①你画的图中需
C
类卡片
张．
②可 将多项式
a
2
+
5ab
+
6b
2
分解因式 为
（
3
）如图③，大正方形的边长为
m，小正方形的边长为
n
，若用
x
、
y
表示四个
矩形的两边长（
x
＞
y
）
，观察图案并判断，将正确关系式的序号填 写在横线上
（填写序号）
①
xy=
②
x
+
y=m
③
x
2
﹣
y
2
=m•n
④
x
2
+
y
2
=
．
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15
．小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．
（
1
）他用
1
张
1
号、
1
张
2
号和
2
张
3
号卡片拼出一个新的图形（如图②）
．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是
；
（
2
）如果要拼成一个长为（
a
+
2 b
）
，宽为（
a
+
b
）的大长方形，则需要
2号卡片
张，
3
号卡片
张；
（
3
）当他拼成如图③所示的长方形，根据
6
张小纸片的面积和等于打纸片（长
方形）的面积可以把多项式
a
2
+
3ab
+
2b
2
分解因式，其结果是
；
（
4
）动手操作，请你依照小刚的方法，利用拼图分解因式a
2
+
5ab
+
6b
2
=
画出
拼图．
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16
．
如图
1
，
把边长为a
的大正方形纸片一角去掉一个边长为
b
的小正方形纸片，
将余下纸片< br>（图
1
中的阴影部分）
按虚线裁开重新拼成一个如图
2
的长方 形纸片
（图
2
中阴影部分）
．
请解答下列问题：
（
1
）①设图
1
中的阴影部分纸片的面积为
S< br>1
，则
S
1
=
；
②图
2
中长方形（阴影部分）的长表示为
，宽表示为
，设图
2
中长方形
（阴影部分）的 面积为
S
2
，那么
S
2
=
（都用含
a
、
b
的代数式表示）
；
（< br>2
）从图
1
到图
2
，你得到的一个分解因式的公式是：
；
（
3
）
利用这个公式，
我们可 以计算：
（
2
+
1
）
（
2
2
+< br>1
）
（
2
4
+
1
）
（
2< br>8
+
1
）
（
2
16
+
1
）
（
2
32
+
1
）
．
解：原式< br>=
（
2
﹣
1
）
（
2
+
1< br>）
（
2
2
+
1
）
（
2
4< br>+
1
）
（
2
8
+
1
）
（< br>2
16
+
1
）
（
2
32
+
1
）
=
（
2
2
﹣
1
）
（
2
2
+
1
）
（
2
4
+
1
）
（
2
8
+
1
）
（
2
16
+
1
）
（
2
32
+
1
）
=
（
2
4
﹣
1
）
（
28
+
1
）
（
2
8
+
1
）（
2
16
+
1
）
（
2
32
+
1
）
=
（
2
8
﹣
1
）
（
2
8
+
1
）
（
2
16
+
1
）
（
2
32
+
1
）
=
（
2
16
﹣
1
）
（
2
16< br>+
1
）
（
2
32
+
1
）
=
（
2
32
﹣
1
）
（
2
32
+
1
）
=2
64
﹣
1
< br>阅读上面的计算过程，请计算：
（
3
+
1
）
（
3
2
+
1
）
（
3
4
+
1
）
（
3
8
+
1
）
（
3
16+
1
）
+
0.5
．
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17
．在对多项式进行因式分解 时，有一种方法叫
“
十字相乘法
”
．
如分解二次三项式：
2x
2
+
5x
﹣
7
，具体步骤为：
①首先把二次项的系数
2
分解为两个因数的积，
即
2=2
×1
，
把常数项﹣
7
也分解
为两个因数的积，即﹣
7=< br>﹣
1
×
7
；
②按下列图示所示的方式书写，
采用交叉相乘再相加的方法，
使之结果恰好等于
一次项的系数
5
，即
2
×（﹣
1
）
+
1
×
7=5
．
③这样，就可以按图示中虚线所指，对
2x
2
+
5x
﹣7
进行因式分解了，
即
2x
2
+
5x
﹣
7=
（
2x
+
7
）
（
x
﹣< br>1
）
．
例：分解因式：
2x
2
+
5x
﹣
7
解：
2x
2
+
5x
﹣
7=
（
2x+
7
）
（
x
﹣
1
）
请你仔细体会上述方法，并利用此法对下列二次三项式进行因式分解：
（
1
）
x
2
+
4x
+
3
（
2
）
2x
2
+
3x
﹣
20
．
18
．先阅读下列材料：
我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公 因式法和运用公式法，
其实分
解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．
（
1
）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解< br>的方法．
如：
ax
+
by
+
bx
+
ay=
（
ax
+
bx
）
+
（
a y
+
by
）
=x
（
a
+
b）
+
y
（
a
+
b
）
=（
a
+
b
）
（
x
+
y
）
2xy
+
y
2
﹣
1
+
x
2
=x
2
+
2xy
+
y
2
﹣
1
=
（
x
+
y
）
2
﹣
1
=
（
x
+
y
+
1
）
（
x
+
y
﹣
1
）
（
2
）拆项法：将 一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续
分解的方法．如：
x
2
+
2x
﹣
3
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=x
2
+
2x
+
1
﹣
4
=
（
x
+
1
）
2
﹣
2
2
=
（
x
+
1
+
2
）
（
x
+
1
﹣
2
）
=
（
x
+
3
）
（
x
﹣
1
）
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
（
1
）分解因式：a
2
﹣
b
2
+
a
﹣
b
；
（
2
）分解因式：
x
2
﹣
6x
﹣< br>7
；
（
3
）分解因式：
a
2
+< br>4ab
﹣
5b
2
．
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新浙教版数学七年级下册第四章《因式分解》培优题
参考答案与试题解析
一．选择题（共
6
小题）
1
．下列各式，能直接运用完全平方公式进行因式分解的是（
）
A
．
4x
2
+
8x
+
1
B．
x
2
y
2
﹣
xy
+
1 C
．
x
2
﹣
4x
+
16
D
．< br>x
2
﹣
6xy
﹣
9y
2
【分析】
利用完全平方公式的结构特征判断即可．
【解答】
解：< br>能直接运用完全平方公式进行因式分解的是
x
2
y
2
﹣
xy
+
1=
（
xy
﹣
1
）
2
．
故选
B
．
【点评】
此题考查了因式分解﹣运用 公式法，
熟练掌握完全平方公式是解本题的
关键．
2
．
（
2008•
淮安校级一模）已知
x
2
+
ax
﹣
12
能分解成两个整数系数的一次因式的
积，则整数
a的个数有（
）
A
．
0
B
．
2
C
．
4
D
．
6
【分析】
根据十字相乘法分解因式，﹣
1 2
可以分解成﹣
1
×
12
，
1
×（﹣
12
）
，﹣
2
×
6
，
2
×（﹣
6）
，﹣
3
×
4
，
3
×（﹣
4
）
，
a
等于分成的两个数的和，然后计算即
可得解．
【解 答】
解：
∵﹣
1
×
12
，
1
×
（ ﹣
12
）
，
﹣
2
×
6
，
2
×
（﹣
6
）
，
﹣
3
×
4
，3
×
（﹣
4
）
，
∴
a=
﹣
1
+
12=11
，
1
+
（﹣
12
）
=
﹣
11
，﹣
2
+
6=4
，
2
+
（﹣
6
）
=
﹣
4
，﹣
3
+
4=1
，
3
+
（﹣
4
）
=
﹣
1
，
即
a=
±
11
，±
4，±
1
共
6
个．
故选
D
．
【点评】
本题主要考查了十字相乘法进行因式分解，准确分解﹣
12
是解题的 关
键．
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3
．
（2010•
拱墅区二模）任何一个正整数
n
都可以写成两个正整数相乘的形式，< br>我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解
n=p
×
q
（
p
≤
q
）称为正整数
n
的
最佳分解，
并定义一个新运 算
那么以下结论中：①
；②
．
例如：
12=1
×
1 2=2
×
6=3
×
4
，
则
．
； ③若
n
是一个完全平方数，则
F
（
n
）
．正确的个 数
=1
；④若
n
是一个完全立方数（即
n=a
3
，
a
是正整数）
，则
为（
）
A
．
1
个
B
．
2
个
C
．
3
个
D
．
4
个
【分析】
首先读懂这种新运算的方法，再以法则计算各式，从而判断．
【解 答】
解：依据新运算可得①
2=1
×
2
，则
②
24 =1
×
24=2
×
12=3
×
8=4
×
6
，则
，正确；
，正确；
③若
n
是一个 完全平方数，则
F
（
n
）
=1
，正确；
④若
n
是一个完全立方数（即
n=a
3
，
a
是正整 数）
，如
64=4
3
=8
×
8
，则
F（
n
）不
一定等于
，故错误．
故选
C
．
【点评】
本题考查因式分解的运用，此题的关键 是读懂新运算，特别注意
“
把两
个乘数的差的绝对值最小的一种分解
”
这句话．
4
．
（
2015•
张家 口二模）已知二次三项式
x
2
﹣
4x
+
m
有一个因 式是
x
+
3
，求另一个
因式以及
m
的值时，可以设 另一个因式为
x
+
n
，则
x
2
﹣
4x+
m=
（
x
+
3
）
（
x
+< br>n
）
．
即
x
2
﹣
4x
+
m=x
2
+
（
n
+
3
）
x
+
3n
．
∴
解得，
n=
﹣
7
，
m=
﹣
21
，
∴另一个因式为
x
﹣< br>7
，
m
的值为﹣
21
．
类似地，二次三项 式
2x
2
+
3x
﹣
k
有一个因式是
2x< br>﹣
5
，则它的另一个因式以及
k
的值为（
）
A
．
x
﹣
1
，
5 B
．
x
+
4
，
20 C
．
x
，
D
．
x
+
4
，﹣
4
【分析】< br>所求的式子
2x
2
+
3x
﹣
k
的二次项系数 是
2
，因式是（
2x
﹣
5
）的一次项系
数是
2
，则另一个因式的一次项系数一定是
1
，利用待定系数法，就可以求出另
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一个因式．
【解答】
解：设另一个因式为（< br>x
+
a
）
，得
2x
2
+
3x
﹣
k=
（
2x
﹣
5
）
（
x< br>+
a
）
则
2x
2
+
3x
﹣
k=2x
2
+
（
2a
﹣
5
）
x
﹣
5a
，
，
解得：
a=4
，
k=20
．
故另一个因式为（< br>x
+
4
）
，
k
的值为
20
．
故选：
B
．
【点评】
此题考查因式分解的实际运用，
正确读懂例题，
理解如何利用待定系数
法求解是解本题的关键．
5
．
（
2015•
河北模拟）
现有一列式子：< br>①
55
2
﹣
45
2
；
②
5552
﹣
445
2
；
③
5555
2
﹣4445
2
…
则第⑧个式子的计算结果用科学记数法可表示为（
）
A
．
1.1111111
×
10
16
B
．
1.1111111
×
10
27
C
．
1.111111
×
10
56
D
．
1.1111111
×
10
17
【 分析】
根据题意得出一般性规律，写出第
8
个等式，利用平方差公式计算，将
结果用科学记数法表示即可．
【
解
答
】
解
：根
据
题
意
得
：
第
⑧
个
式子
为
555555555
2
﹣
444444445
2< br>=
（
555555555
+
444444445
）×（
555555555
﹣
444444445
）
=1.1111111
×
10
17
．
故选
D
．
【 点评】
此题考查了因式分解﹣运用公式法，以及科学记数法﹣表示较大的数，
熟练掌握平方差公 式是解本题的关键．
6
．
（
2014
秋
•
博野县期末）
设
a
、
b
、
c
是三角形的三边长，
且
a
2
+
b
2
+
c
2
=ab
+
bc
+
ca
，
关于此三角形的 形状有以下判断：
①是等腰三角形；
②是等边三角形；
③是锐角
三角形；④是 斜三角形．其中正确的说法的个数是（
）
A
．
4
个
B
．
3
个
C
．
2
个
D
．
1
个
【分析】
根据已知条件和三角形三边关系判断三角形的形状．
三边相等的为等边
三角形，且一定 也是等腰三角形和三个角都为
60
度的锐角三角形，又由于三角