粤语歌曲-

2021年1月30日发(作者：爱不会绝迹)
初中数学公式表


公式分类

平方差

a
2
-b
2
=(a+b)(a-b)
和差的平方

(a+b)
2
=a
2
+b
2
+2ab
和差的立方

a
3
+b
3
=(a+b)(a
2
-ab+b
2
)
|a+b|≤|a|+|b|

三角不等式

|a-
b|≥|a|
-|b|
|a-
b|≤|a|+|b|

-
|a|≤a≤|a|

公式表达式



(a-b)
2
=a
2
+b
2
-2ab
a
3
-b
3
=(a-b)(a
2
+ab+b
2
)
|a|≤b<=>
-
b≤a≤b



一元二次方
-
b+√(b
2
-4ac)/2a
-b-
b+√(b
2
-4ac)/2a

程的解

根与系数的
X1+X2=-b/a
关系

b
2
-4a=0
判别式

b
2
-4ac>0
b
2
-4ac<0
X1*X2=c/a






注：韦达定理

注：方程有相等的两实根

注：方程有一个实根

注：方程有共轭复数根

三角函数公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
两角和公式

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)
ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)
tan2A=2tanA/(1-tan
2
A)
倍角公式

ctg2A=(ctg
2
A-1)/2ctga
cos2a=cos
2
a-sin
2
a=2cos
2
a-1=1-2sin
2
a


sin(A/2)=√((1
-cosA)/2)
cos(A/2)=√((1+cosA)/2)

sin(A/2)=-
√(
(1-cosA)/2)
cos(A/2)=-
√((1+cosA)/2)

tan(A/2)=-
√((1
-cosA)/((1+cosA))
ctg(A/2)=-
√((1+cosA)/((1
-cosA))
2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)
-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)
半角公式

tan(A/2)=√((1
-cosA)/((1+cosA))
ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1
-cosA))
2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)
和差化积

2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)
sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2
cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

1
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB
ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB
1+
2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2

某些数列前
2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)

n
项和

1
3
+2
3
+3
3+4
3
+5
3
+6
3
+…n
3
=n< br>2
(n+1)
2
/4
正弦定理

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
余弦定理

b
2
=a
2
+c
2
-2accosB
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB
-ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB
1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n
-1)=n
2

1
2
+2
2
+3
2
+4
2
+5
2
+6
2
+7
2
+8
2
+…+n
2
=n(n+1)(2n+1)/6
1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n +1)=n(n+1)(n+2)/3

注：

其中
R
表示三角形的外接圆半径

注：角
B
是边
a
和边
c
的夹角

解析几何公式

圆的标准方
(x-a)
2
+(y-b)2
=r
2

程

圆的一般方
2
2
x
+y
+Dx+Ey+F=0
程

抛物线标准
2
y
=2px
方程

y
2
=-2px
注：（
a,b
）是圆心坐标

注：
D
2
+E
2
-4F>0
x
2
=2py
几何图形公式

x
2
=-2py
直棱柱侧面
S=c*h
积

正棱锥侧面
S=1/2c*h'
积

圆台侧面积

S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l
圆柱侧面积

S=c*h=2pi*h
弧长公式

l=a*r (a
是圆心角的弧度数
r>0)
锥体体积公
V=1/3*S*H
式

柱体体积公
V=s*h
式

斜棱柱侧面积

S=c'*h
正棱台侧面积

S=1/2(c+c')h'
球的表面积

圆锥侧面积

S=4pi*r
2

S=1/2*c*l=pi*r*l
扇形面积公式

s=1/2*l*r
圆锥体体积公式

V=1/3*pi*r
2
h
圆柱体

V=pi*r
2
h
斜棱柱体积

V=S'L (S'
是直截面面积，
L
是侧棱长
)
注：pi=3.979……





2

1
过两点有且只有一条直线


2
两点之间线段最短


3
同角或等角的补角相等


4
同角或等角的余角相等


5
过一点有且只有一条直线和已知直线垂直


6
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短


7
平行公理

经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行


8
如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行


9
同位角相等，两直线平行


10
内错角相等，两直线平行


11
同旁内角互补，两直线平行


12
两直线平行，同位角相等


13
两直线平行，内错角相等


14
两直线平行，同旁内角互补


15
定理

三角形两边的和大于第三边


16
推论

三角形两边的差小于第三边


17
三角形内角和定理

三角形三个内角的和等于
180°


18
推论
1
直角三角形的两个锐角互余


19
推论
2
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和


20
推论
3
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角


21
全等三角形的对应边、对应角相等


22
边角边公理
(SAS)
有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等


23
角边角公理
( ASA)
有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等


24
推论
(AAS)
有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等


25
边边边公理
(SSS)
有三边对应相等的两个三角形全等


26
斜边、直角边公理
(HL)
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等


27
定理
1
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等


28
定理
2
到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上


29
角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合


30
等腰三角形的性质定理

等腰三角形的两个底角相等

(
即等边对等角）


31
推论
1
等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边


32
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合


33
推论
3
等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于
60°


34
等腰三角形的判定定理

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）


35
推论
1
三个角都相等的三角形是等边三角形


36
推论

2
有一个角等于
60°
的等腰三角形是等边三角形


37
在直角三角形中，如果一个锐角等于
30°
那么它所对的直角边等于斜边的一半


38
直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半


39
定理

线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等


40
逆定理

和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上


41
线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合


42
定理
1
关于某条直线对称的两个图形是全等形


43
定理

2
如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线


44
定理
3
两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上


45
逆定理

如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称



3
46
勾股定理

直角三角形两直角边a
、
b
的平方和、等于斜边
c
的平方，即
a^2+b^ 2=c^2

47
勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长
a
、
b
、
c
有关系
a^2+b^2=c^2
，
那么这个三角形是直角三角形


48
定理

四边形的内角和等于
360°


49
四边形的外角和等于
360°


50
多边形内角和定理

n
边形的内角的和等于（
n-2
）
×
180°


51
推论

任意多边的外角和等于
360°


52
平行四边形性质定理
1
平行四边形的对角相等


53
平行四边形性质定理
2
平行四边形的对边相等


54
推论

夹在两条平行线间的平行线段相等


55
平行四边形性质定理
3
平行四边形的对角线互相平分


56
平行四边形判定定理
1
两组对角分别相等的四边形是平行四边形


57
平行四边形判定定理
2
两组对边分别相等的四边形是平行四边形


58
平行四边形判定定理
3
对角线互相平分的四边形是平行四边形


59
平行四边形判定定理
4
一组对边平行相等的四边形是平行四边形


60
矩形性质定理
1
矩形的四个角都是直角


61
矩形性质定理
2
矩形的对角线相等


62
矩形判定定理
1
有三个角是直角的四边形是矩形


63
矩形判定定理
2
对角线相等的平行四边形是矩形


64
菱形性质定理
1
菱形的四条边都相等


65
菱形性质定理
2
菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角


66
菱 形面积
=
对角线乘积的一半，即
S=
（
a×
b
）< br>÷
2

67
菱形判定定理
1
四边都相等的四边形是菱形


68
菱形判定定理
2
对角线互相垂直的平行四边形是菱形


69
正方形性质定理
1
正方形的四个角都是直角，四条边都相等


70
正方形性质定理
2
正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平 分，每条对角线平分一组对角


71
定理
1
关于中心对称的两个图形是全等的


72
定理
2
关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分


73
逆定理

如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一


点平分，那么这两个图形关于这一点对称


74
等腰梯形性质定理

等腰梯形在同一底上的两个角相等


75
等腰梯形的两条对角线相等


76
等腰梯形判定定理

在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形


77
对角线相等的梯形是等腰梯形


78
平行线等分线段定理

如果一组平行线在一条直线上截得的线段


相等，那么在其他直线上截得的线段也相等


79
推论
1
经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰


80
推论
2
经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第


三边


81
三角形中位线定理

三角形的中位线平行于第三边，并且等于它


的一半


82
梯形中位线定理

梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的


一半

L=
（
a+b
）
÷
2 S=L×
h

83 (1)
比例的基本性质

如果
a:b=c:d,
那么
ad=bc

如果
ad=bc,
那么
a:b=c:d

84 (2)
合比性质

如果
a
／
b=c
／
d,
那么
(a±
b)
／
b=(c±
d)
／
d

85 (3)
等比性质

如果
a
／
b= c
／
d=…=m
／
n(b+d+…+n≠0),
那么



4
(a+c+…+m)
／
(b+d+…+n)=a
／
b

86
平行线分线段成比例定理

三条平行线截两条直线，所得的对应


线段成比例



87
推论

平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）
，所得的对应线段成比例


88
定理

如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所 得的对应线段成比例，那么这条直线平行
于三角形的第三边


89
平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比
例


90
定理

平行于三角形一边的直线和其他两边（或 两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相
似


91
相似三角形判定定理
1
两角对应相等，两三角形相似（
ASA
）


92
直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似


93
判定定理
2
两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（
SAS
）


94
判定定理
3
三边对应成比例，两三角形相似（
SSS
）


95
定理

如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三


角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似


96
性质定理
1
相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平


分线的比都等于相似比


97
性质定理
2
相似三角形周长的比等于相似比


98
性质定理
3
相似三角形面积的比等于相似比的平方


99
任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等


于它的余角的正弦值


100
任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等


于它的余角的正切值


101
圆是定点的距离等于定长的点的集合


102
圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合


103
圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合


104
同圆或等圆的半径相等


105
到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半


径的圆


106
和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直


平分线


107
到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线


108
到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距


离相等的一条直线


109
定理

不在同一直线上的三点确定一个圆。


110
垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧


111
推论
1
①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧


②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧


③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧


112
推论
2
圆的两条平行弦所夹的弧相等


113
圆是以圆心为对称中心的中心对称图形


114
定理

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦


相等，所对的弦的弦心距相等


115
推论

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两



5
弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等


116
定理

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半


117
推论
1
同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等


118
推论
2
半圆（或直径）所对的圆周角是直角；
90°
的圆周角所


对的弦是直径


119
推论
3
如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形


120
定理

圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它


的内对角


121
①直线
L
和⊙
O
相交

d
＜
r

②直线
L
和⊙
O
相切

d=r

③直线
L
和⊙
O
相离

d
＞
r

122
切线的判定定理

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线


123
切线的性质定理

圆的切线垂直于经过切点的半径


124
推论
1
经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点


125
推论
2
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心


126
切线长定理

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，


圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角


127
圆的外切四边形的两组对边的和相等


128
弦切角定理

弦切角等于它所夹的弧对的圆周角


129
推论

如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等


130
相交弦定理

圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积


相等


131
推论

如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的


两条线段的比例中项


132
切割线定理

从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割


线与圆交点的两条线段长的比例中项


133
推论

从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等


134
如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上


135
①两圆外离

d
＞
R+r
②两圆外切

d=R+r

③两圆相交

R-r
＜
d
＜
R+r(R
＞
r)

④两圆内切

d=R-r(R
＞
r)
⑤两圆内含
d
＜
R-r(R
＞
r)

136
定理

相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦


137
定理

把圆分成
n(n≥3):

⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正
n
边形


⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正
n
边形


138
定理

任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆


139< br>正
n
边形的每个内角都等于（
n-2
）
×
180°< br>／
n

140
定理

正
n
边形的 半径和边心距把正
n
边形分成
2n
个全等的直角三角形


141
正
n
边形的面积
Sn=pnrn
／
2 p
表示正
n
边形的周长


142
正三角形面积
√3a
／
4 a
表示边长


143
如果在一个顶点周围有
k
个正
n
边形的角 ，由于这些角的和应为


360°
，因此
k×
(n-2) 180°
／
n=360°
化为（
n-2
）
(k-2)=4

144
弧长计算公式：
L=n
兀
R
／
180

145
扇形面积公式：
S
扇形
=n
兀
R ^2
／
360=LR
／
2

146
内公切线长
= d-(R-r)
外公切线长
= d-(R+r)



6

高中数学常用公式及结论





1

元素与集合的关系
:
x

A

x

C
U
A
,
x

C
U
A

x

A
.

Ø
A

A



2
集合
{
a
1
,
a
2< br>,
,
a
n
}
的子集个数共有
2
n

个；真子集有
2
n

1
个；非空子集有
2
n

1
个；非空的真子集
有
2
n

2个
.
3
二次函数的解析式的三种形式：

(1)
一般式
f
(
x
)

ax

bx

c
(
a

0)
;
(2)
顶点式
f
(
x
)

a
(
x

h
)

k
(
a

0)
;
（当已知抛物线的 顶点坐标
(
h
,
k
)
时，设为此式）

(3)
零点式
f
(
x
)

a
(
x

x
1
)(
x

x
2
)(
a

0)
；
（当已知抛物线与
x
轴的交点坐标 为
(
x
1
,0),(
x
2
,0)
时，设为此式）

2
（
4
）切线式：
f
(
x
)

a
(
x

x
0
)

(
kx

d
),
(
a

0)
。
（当已知抛物线与直线
y

kx

d相切且切点的
2
2
横坐标为
x
0
时，设为此式）

4
真值表：

同真且真，同假或假

5
常见结论的否定形式
;
原结论

反设词

是

不是

都是

不都是

大于

不大于

小于

不小于

对所有
x
，成立

存在某
x
，不成立

对任何
x
，不成立

存在某
x
，成立

原结论

至少有一个

至多有一个

至少有
n
个

至多有
n
个

p
或
q

反设词

一个也没有

至少有两个

至多有（
n

1
）个

至少有（
n

1
）个


p
且

q

p
且
q


p
或

q

6

四种命题的相 互关系
(
下图
):
（
原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同 真同假
.
）


原命题







互逆







逆命题

若ｐ则ｑ















若ｑ则ｐ








互







互



互








为



为








互



否





















否












逆



逆





















否







否

否命题















逆否命题




若非ｐ则非ｑ




互逆






若非ｑ则非ｐ


充要条件：

(1)
、
p

q
，则
P
是
q
的充分条件，反之，
q
是
p
的 必要条件；


（
2
）
、
p

q
，且
q
≠
>
p
，则
P
是
q
的充分不必要条件；

(3)
、
p
≠
>
p
，且
q

p
，则
P
是
q
的必要不充分条件；

4
、
p
≠
>
p
，且
q
≠
>
p
，则
P
是
q
的既不充分又不必要条件。

7
函数单调性
:
增函数：
(1)
、文字描述是：
y
随
x
的增大而增大。

（
2
）
、数学 符号表述是：设
f
（
x
）在
x

D
上有定 义，若对任意的
x
1
,
x
2

D
,
且
x
1

x
2
，都有

f
(< br>x
1
)

f
(
x
2
)
成立 ，则就叫
f
（
x
）在
x

D
上是增函数。
D
则就是
f
（
x
）的递增区间。

减函数 ：
(1)
、文字描述是：
y
随
x
的增大而减小。


7
（
2
）
、数学符号表述是：设
f
（
x
）在
x

D
上有定义，若对任意的
x
1
,
x
2

D
,
且
x
1

x
2
，都有

f
(
x
1
)

f
(
x
2
)
成立，则就叫
f
（
x
）在
x

D
上是减函数。
D
则就是
f
（
x
）的递减区间。

单调性性质：
(1)
、增函 数
+
增函数
=
增函数；
（
2
）
、减函数< br>+
减函数
=
减函数；






(3)
、增函数
-
减函数
=
增函数；
( 4)
、减函数
-
增函数
=
减函数；

注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。

复合函数的单调性：

函数















单调

内层函数

外层函数

复合函数

等价关系：

单调性

↓

↓

↑

↑

↑

↑

↑

↓

↓

↓

↑

↓

(1)
设
x
1
,
x
2


a
,
b

,
x
1

x
2
那么

(
x
1

x
2
)
f
(
x
1
)

f
(
x
2)


0

f
(
x
1
)
f
(
x
2
)

0

f(
x
)
在

a
,
b

上是增 函数；

x
1

x
2
f
(
x1
)

f
(
x
2
)

0
f
(
x
)
在

a
,
b
上是减函数
.
(
x
1

x
2)

f
(
x
1
)

f
(x
2
)


0

x
1
x
2
(2)
设函数
y

f
(
x
)
在某个区间内可导，
如果
f

(
x
)

0
，
则
f
(
x
)
为增函数；
如 果
f

(
x
)

0
，
则
f
(
x
)
为减函数
.


8
函数 的奇偶性：
（注：
是奇偶函数的前提条件是：定义域必须关于原点对称）

奇函数：

定义：
在前提条件下，若有
f
(
x
)


f
(
x
)
或
f(

x
)

f
(
x
)
0
，

则
f
（
x
）就是奇函数。

性质
：
（
1
）
、奇函数的图象关于原点对称；
< br>（
2
）
、奇函数在
x
>
0
和
x<
0
上具有
相同
的单调区间；

（
3
）
、定义在
R
上的奇函数，有
f
（
0
）
= 0

.
偶函数：

定义：
在前提条件下，若有
f
(

x
)

f
(
x
)
，则
f
（
x
）就是偶函数。

性质
：
（< br>1
）
、偶函数的图象关于
y
轴对称；

（
2
）
、偶函数在
x
>
0
和
x
<
0< br>上具有
相反
的单调区间；

奇偶函数间的关系：

(1)
、奇函数·偶函数
=
奇函数；


（
2
）
、奇函数·奇函数
=
偶函数；

(3)
、偶奇函数·偶函数
=
偶函数；


(4)
、奇函数±奇函数
=
奇函数（也有例外得偶函数的）

(5)
、偶函数±偶函数
=
偶函数；




(6)
、奇函数±偶函数
=
非奇非偶函数

奇函 数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于
y
轴对称
;
反过来，如果一个函数 的图象关于原点对称，
那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于
y
轴对称，那 么这个函数是偶函数．

9
函数的周期性：

定义：
对函数
f
（
x
）
，若存在
T

0
，使得
f
（
x+T
）
=f
（
x
）
，则就 叫
f
（
x
）是周期函数，其中，
T
是
f
（
x
）
的一个周期。

周期函数几种常见的表述形式：


(1)
、
f
（
x+T
）
=
- f
（
x
）
，此时周期为
2T
；


8
（
2
）
、

f
（
x+m）
=f
（
x+n
）
，此时周期为
2
m

n

；

(3)
、
f
(
x
m
)


10
常见函数的图像：

y
y
y
y
1
，此时周期为
2m

。

f
(
x
)
k<0
o
k>0< br>x
o
a<0
x
y=a
x
01
o
x
y=log
a
x
0a>1
y=kx +b
a>0
2

y=ax
+bx+c

o
1
a>1
x


11
对于函数y

f
(
x
)
(
x

R),
f
(
x

a
)

f
(< br>b

x
)
恒成立
,
则函数
f
(x
)
的对称轴是
x

函数
y

f(
x

a
)
与
y

f
(b

x
)

的图象关于直线
x

12
分数指数幂与根式的性质：

(1)
a
m
n
a
b
;
两个
2
b

a
对称
.
2

n
a
m
（
a

0,
m
,
n

N

，且
n

1
）
.
m
n
（
2
）
a

1
m
n

1
n
a
n
（
3）
(
n
a
)

a
.
a
m< br>（
a

0,
m
,
n

N
， 且
n

1
）
.

（
4
）当n
为奇数时，
n
a
n

a
；当
n为偶数时，
n
a
n

|
a
|



a
,
a

0
.

a
,
a

0

13
指数式与对数式的互化式
:

log
a
N

b

a
b

N
(
a

0,a

1,
N

0)
.
指数性质：









(1)
1
、
a
r

p

s
1
mnm
n
0
a

(
a
)

a

1


；




（
2
）
、
（
）


；

(3)
、
a

0
p
a
r

s
(4)
、
a

a

a
指数函数：
(
a

0,
r
,
s

Q< br>)


；


(5)
、
a

n
a
m


；



m
n
(1)
、

y

a
(
a

1)
在定义域内是单调递增函数；

（
2
）
、

y

a
( 0

a

1)
在定义域内是单调递减函数。
注：


指数
函数图象都恒过点（
0
，
1
）

对数性质：



(1)
、

loga
M

log
a
N

log
a
(
MN
)

；
（
2
）
、
log
a
M

log
a
N

log< br>a
m
n
(3)
、

log
a
b
m

log
a
b


；
(4)
、

log
a
m
b

x
x
M

；






N
n

log
a
b

；


(5)
、

log
a
1

0

m
(6)
、

log
a
a

1



；








(7)
、



a
对数函数：


l
o
a
g
b

b





(1)
、

y

log
a< br>x
(
a

1)

在定义域内是单调递增函数；


9
（
2
）、
y

log
a
x
(0

a

1)
在定义域内是单调递减函数；
注：

对数
函数图象都恒过点（
1
，
0
）

< br>a
x
,

(
0
或
,
1
)< br>a
x

,
(3)
、


l
o
g
a
x

0

(

1,

(4)
、
log
a
x

0

a

(0,1)
则
x

(1,

)
或

a

(1,

)
则
x

(0,1)

14
对数的换底公式
:
log
a
N


对数恒等式：
a
nlog
a
N
log
m
N
(
a
0
,
且
a

1
,
m

0,
且
m

1
,

N

0
).
log
m
a

N< br>(
a

0
,
且
a

1
,< br>
N

0
).
推论

log
a< br>m
b

n
log
a
b
(
a

0
,
且
a

1
,

N

0
).
m
15
对数的四则运算法则
:
若
a
＞
0
，
a
≠
1
，
M
＞
0
，
N
＞
0
，则

(1)< br>log
a
(
MN
)

log
a
M< br>
log
a
N
; (2)
log
a
n
(3)
log
a
M

n
log
a
M
(
n

R
)
; (4)
log
a
m
M

log
a
M

log
a
N
;
N
n
N
n

log
a< br>N
(
n
,
m

R
)
。

m
x
16
平均增长率的问题（负增长时
p

0
）
：

如果原来产值的基础数为
N
，平均增长率为
p
，则对于时间
x的总产值
y
，有
y

N
(1

p)
.
17
等差数列：

通项公式：

（
1
）

a
n

a
1

(
n

1)
d

，其中
a
1为首项，
d
为公差，
n
为项数，
a
n
为末项。

（
2
）推广：

a
n

ak

(
n

k
)
d

（3
）
a
n

S
n

S
n
1
(
n

2)


（
注
：
该公式对任意数列都适用）

前
n
项和：

（
1
）
S
n

n
(
a
1

a
n
)

；其中
a
1
为首项，
n
为项数，
a
n
为 末项。

2
n
(
n

1)
（
2< br>）
S
n

na
1

d

2
（
3
）
S
n

S
n

1

a
n
(
n

2)




（
注
：
该公式对任意数列都适用）

（
4
）
S
n

a
1

a
2


a
n




（
注
：
该公式对任意数列都适用）

常用性质：
（
1
）
、若
m+n=p+q
，则有

a
m

a
n

a
p

a
q

；

注：
若
am
是
a
n
,
a
p
的等差中项，则有
2
a
m

a
n

a
p

n
、
m
、
p
成等差。

（
2
）、若

a
n

、

b
n
< br>为等差数列，则

a
n

b
n

为 等差数列。

（
3
）
、

a
n

为等差数列，
S
n
为其前
n
项和，则
S
m
,
S
2
m

S
m
,
S
3
m

S
2
m
也成等差数列。

（
4
）
、
a
p

q
,
a
q

p
,
则
a
p

q

0

；



（
5
）


1+2+3+
…
+n=
等比数列：


10
n
(
n

1
)

2
通项公式：
（
1
）

a
n
< br>a
1
q
n

1

a
1
n< br>
q
(
n

N
*
)

，其 中
a
1
为首项，
n
为项数，
q
为公比。

q
n

k
（
2
）推广：
a
n
a
k

q

（
3
）
an

S
n

S
n

1
(n

2)




（
注
：
该公式对任意数列都适用）

前
n
项和：
（
1
）
S
n

S
n
1

a
n
(
n

2)


（
注
：
该公式对任意数列都适用）

（
2
）
S
n

a
1

a
2


a
n




（
注
：
该公式对任意数列都适用）


na
1














（
3
）
S
n


a
1
(1

q
n
)

1

q

(
q

1)
(
q

1)



常用性质：
（
1
）
、若
m+n=p+q
，则有

a
m

a
n

a
p

a
q

；

注：
若
am
是
a
n
,
a
p
的等比中项，则有

a
m

a
n

a
p

n
、
m
、
p
成等比。

（
2
）、若

a
n

、

b
n
< br>为等比数列，则

a
n

b
n

为 等比数列。

2
ab
(1

b
)
n
18
分期付款
(
按揭贷款
)
：每次还款
x
< br>元
(
贷款
a
元
,
n
次还清
,
每期利率为
b
).
n
(1

b
)
< br>1
19
三角不等式：

（
1
）若
x

(0,
(2)
若
x

(0,

2
)
，则
sin
x

x

tan
x
.
)
，则
1

sin
x

cos
x

2
.
2
(3)
|
sin
x
|

|
c os
x
|

1
.
20
同角三角函数的基本关系式

：
sin


cos


1
，
tan

=
2
2

sin

，

cos

sin

sin

;
21
正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）

22
和角与差角公式


sin(



)

sin

cos


cos
sin

;
cos(



)
cos

cos

tan(



)

tan


tan

.
1
t an

tan

a
sin


b
cos

=
a
2

b
2
sin(



)

(
辅助角

所在象限由点(
a
,
b
)
的象限决定
,
tan
< br>
23
二倍角公式及降幂公式

b
).
a
sin
2


sin

cos


2
2
tan

.
2
1

ta n

2
2
1

tan
2

cos
2


cos


sin

< br>2cos


1

1

2sin


.
2
1

tan

2
tan

sin
2

1

cos
2
< br>.

tan
2


tan



2
1

tan

1

cos
2

sin
2

2

11
sin
2


1

cos
2

1

cos
2


,cos
2


2
2
24
三角函数的周期公式

函数
y

sin(
x


)
，
x
∈
R
及函数
y

cos(

x


)
，
x∈
R(A,
ω
,

为常数，且
A
≠
0 )
的周期
T

2



；函数
y

tan(

x


)
，
x
k


,
k

Z
(A,
ω
,

为常数，且
A
≠
0)
的周期
T

.
|

|
2
三角函数的图像：

y =sinx
y
y
1
y=cosx
1
-
π
/ 2
3
π
/2
-2
π
-3
π
/2
-
π
o
π
/2
π
2
π
x
-2
π
-3
π
/2
-
π
-
π
/2
o
π
/2
π
3
π
/2
2
π
-1-1
25
正弦定理

：
a
sin
A

b
sin
B

c
sin
C

2
R
（
R
为

ABC
外接圆的半径）
. < br>
a

2
R
sin
A
,
b

2
R
sin
B
,
c

2
Rsin
C

a
:
b
:
c

s in
A
:sin
B
:sin
C

26
余弦定理：

a
2

b
2

c
2

2
bc
cos
A
;
b2

c
2

a
2

2
ca< br>cos
B
;
c
2

a
2

b
2

2
ab
cos
C
.
27
面积定理：

（
1
）
S

1
2
ah
1
2
bh
1
a

b

2
ch
c
（
h
a
、
h
b、
h
c
分别表示
a
、
b
、
c
边上的高）
.
（
2
）
S

1
1
2
ab
sin
C

2
bc
sin
A

1
2
ca
sin
B
.
(3)
S1

OAB

2
(|
OA
|

|
OB
|)
2

(
OA

OB
)
2
.
r
2
S

a

b
－
c
斜边

内切圆

a

b

c
,
r
直角

内切圆

2

28
三角形内角和定理

：

在△
ABC
中，有
A

B

C



C


(
A

B
)

C
2


A

B
2

2
2
C

2


2(
A
< br>B
)
.
29
实数与向量的积的运算律
:
设
λ
、
μ
为实数，那么：

(1)
结合律：
λ
(
μ
a
)=(
λ
μ
)
a
;
(2)
第一分配律：
(
λ
+
μ
)
a
=
λ
a
+
μ
a
;
(3)第二分配律：
λ
(
a
+
b
)=
λ
a< br>+
λ
b
.
30
a
与
b
的数量积< br>(
或内积
)
：
a
·
b
=|
a
||
b
|
cos

。

31
平面向量的坐标运算：

(1)
设
a
=
(
x
1
,
y
1
)
,
b
=
(
x
2
,
y
2
)
，则
a
+b
=
(
x
1

x
2
,
y1

y
2
)
.
(2)
设
a
=
(
x
1
,
y
1
)
,
b
=
(
x
2
,
y
2
)
，则
a
-
b
=
(
x
1

x
2
,
y
1

y
2
)
.
(3)
设
A
(
x
1
,
y
1
)
，
B
(
x
2
,
y
2
)
,
则
AB

OB

OA

(
x
2
< br>x
1
,
y
2

y
1
)
.
(4)
设
a
=
(
x
,
y
),

R
，则

a
=
(

x< br>,

y
)
.
(5)
设
a
=
(
x
1
,
y
1
)
,
b
=
(
x
2
,
y
2
)
，则
a
·b
=
(
x
1
x
2

y
1y
2
)
.
32
两向量的夹角公式：

co s


a

b
x
1
x
2

y
1
y
2
|
a
|

|
b
|

x
2

y
2

x
2
2
(
a
=
(
x
1
,
y
1
)
,
b
=
(
x
2
,
y
2
)
).
1
1
2

y
2
33
平面两点间的距离公式：


d
A
,
B
=
|
AB
|

AB

AB

(x
2
2

x
1
)
2

(y
2

y
1
)
(A
(
x
1< br>,
y
1
)
，
B
(
x
2
,< br>y
2
)
).

12
|

|
x

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