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2021年1月30日发(作者：喜羊羊与灰太狼开心闯龙年)
《五經算術》












〈卷上〉


《尚書》定閏法：




「帝曰：咨汝羲暨和，期三百有六旬六日。以閏月定四時成歲。」孔氏

注云：「咨，嗟；暨，與也。匝四時曰期。一歲十二月，月三十日，正三百

六十日。除小月六為六日，是為一歲。有餘十二日，未盈三歲足得一月，則

置閏焉。以定四時之氣節，成一歲之曆象。」



甄鸞按：一歲之閏惟有十日九百四十分日之八百二十七。而云餘十二日

者，理則不然。何者？十九年七閏，今古之通軌。以十九年整得七閏，更無

餘分。故以十九年為一章。今若一年有餘十二日，則十九年二百二十八日。

若七月皆小，則賸二十五日；若七月皆大，猶餘十八日。先推日月合宿，以

定一年之閏，則十九年七閏可知。


推日月合宿法：




置周天三百六十五度於上，四分度之一於下
‧
又置月行十三度十九分度

之七。除其日一度，餘十二度。以月分母十九乘十二度，積二百二十八；內

子七得二百三十五為章月。以度分母四乘章月得九百四十日為法。又以四分

乘度三百六十五，內子一，得一千四百六十一。乃以月行分母十九乘之，得

二萬七千七百五十九為周天分。以日法九百四十除之，得二十九日，不盡四

百九十九。即是一月二十九日九百四十分日之四百九十九。與日合宿也。


求一年定閏法：




置一年十二月。以二十九日乘之，得三百四十八日。又置十二月，以日

分子四百九十九乘之，得五千九百八十八。以日法九百四十除之，得六日。

從上三百四十八日，得三百五十四日，餘三百四十八。以三百五十四減周天

三百六十五度，不盡十一日。又以餘分三百四十八減章月二百三十五。而章

月少，不足減。上減一日，下加法九百四十分，得一千一百七十五。以實餘

三百四十八乃減下法，餘八百二十七。是為一歲定閏十日九百四十分日之八

百二十七。


求十九年七閏法：




置一年閏十日，以十九年乘之得一百九十日。又以八百二十七分，以十

九年乘之得一萬五千七百一十三。以日法九百四十除之，得十六日，餘六百

七十三。以十六加上日，得二百六日。以二十九除之，得七月，餘三日。以

法九百四十乘之，得二千八百二十。以前分六百七十三加之，得三千四百九

十三。以四百九十九命七月分之，適盡。是謂十九年得七閏月，月各二十九

日九百四十分日之四百九十九。


《尚書》、《孝經》「兆民」注數越次法：




「天子曰兆民，諸侯曰萬民。」甄鸞按：呂刑云：「一人有慶，兆民賴

之」注云：「億萬曰兆。天子曰兆民，諸侯曰萬民。」又按周官：乃經土地

而井，牧其田野。九夫為井，四井為邑，四邑為邱，四邱為甸，四甸為縣，

四縣為都。以任地事而令貢賦。凡稅斂之事，所以必共井者，存亡更守，入

出相同，嫁娶相媒，有無相貸，疾病相憂，緩急相救，以所有易以所無也。

兆民者，王畿方千里，自乘得兆井。王畿者，因井田立法，故曰兆民。若言

兆井之民也。如以九州地方千里者九言之，則是九兆，其數不越於兆也。諸

侯曰萬民者，公地方百里，自乘得一萬井。故曰萬民。所以言侯者，諸侯之

通稱也。




按注云：「億萬曰兆」者，理或未盡。何者？按黃帝為法，數有十等。

及其用也，乃有三焉。十等者，謂億、兆、京、垓、秭、壤、溝、澗、正、

載也。三等者，謂上、中、下也。其下數者，十十變之。若言十萬曰億，十

億曰兆，十兆曰京也。中數者，萬萬變之。若言萬萬曰億，萬萬億曰兆，萬

萬兆曰京也。上數者，數窮則變。若言萬萬曰億，億億曰兆、兆兆曰京也。

若以下數言之，則十億曰兆；若以中數言之，則萬萬億曰兆；若以上數言之

，則億億曰兆。注乃云「億萬曰兆」者，正是萬億也。若從中數，其次則需

有十萬億、次百萬億、次千萬億、次萬萬億曰兆。三數並違，有所未詳。按

尚書無此注，故從孝經注釋之。


《詩》伐檀毛、鄭注不同法：




「不稼不穡，胡取禾三百億兮；不狩不獵，胡瞻爾庭，有縣特兮。」注

云：「萬萬曰億。獸三歲曰特。」箋云：「十萬曰億。三百億，禾秉之數也

。」




甄鸞按：黃帝為法，數有十等。及其用也，乃有三焉。十等者，謂億、

兆、京、垓、秭、壤、溝、澗、正、載。三等者，謂上、中、下也。其下數

者，十十變之。若言十萬曰億，十億曰兆，十兆曰京也。中數者，萬萬變之

。若言萬萬曰億，萬萬億曰兆，萬萬兆曰京也。上數者，數窮則變。若言萬

萬曰億，億億曰兆、兆兆曰京也。據此而言，鄭用下數，毛用中數矣。


《詩》豐年毛注數越次法：




「豐年多黍多稌，亦有高廩，萬億及秭。」毛注云：「豐，大；稌，稻

。廩所以藏齋盛之穗。數萬至萬曰億；數億至億曰秭。」箋云：「豐年，大

有之年。萬億及秭，以言穀數多也。」




甄鸞按：毛注云數萬至萬曰億者，此即中數，萬萬曰億也。又云數億至

億曰秭者，或有可疑。何者？按黃帝數術云：中數者，萬萬曰億，萬萬億曰

兆，萬萬兆曰京，萬萬京曰垓，萬萬垓曰秭。此應云數億至垓曰秭，而言數

億至億曰秭者，有所未詳。


《周易》策數法：




「天地之數五十有五，此所以成變化而行鬼神也。乾之策二百一十有六

；坤之策百四十有四。凡三百有六十，當期之日。二篇之策，萬有一千五百

二十，當萬物之數也。是故四營而成易，十有八變而成卦；八卦而小成。引

而申之，觸類而長之，天下之能事畢矣。」




甄鸞按：天以一生水，地以二生火，天以三生木，地以四生金，天以五

生土。天數奇，二十五；地數耦，三十。并天地之數，合五十五，謂之大衍

之數。揲蓍得乾者，三十六策然後得九一爻。爻有三十六策。合二百一十六

。揲蓍得坤者，二十四策然後得六一爻。爻有二十四策。合一百四十四。并

乾坤之策，三百六十。當一期之日者，舉全數也。上、下經有六十四卦，卦

有六爻，合三百八十四爻。陰陽各半，陽爻稱九，陰爻稱六。九、六各百九

十二也。陽爻以三十六策乘之，得六千九百一十二；陰爻以二十四乘之，得

四千六百八。并陰陽之策，合得一萬一千五百二十也。四營者，仰象天，俯

法地，近取諸身，遠取諸物也。十八變者，三變而成爻，十八變而六爻也。

八卦而小成者，言雖成易，猶未備也。


《論語》「千乘之國」法：




「子曰：『導千乘之國。…』」注云：「司馬法：六尺為步，步百為畝

，畝百為夫，夫三為屋，屋三為井，井十為通，通十為成，成出革車一乘。

然則千乘之賦，其地千成也。」今有千乘之國，其地千成，計積九十億步。

問為方幾何？




答曰：三百一十六里六十八步一十八萬九千七百三十七分步之六萬二千

五百七十六。


術曰：置積步為實，開方除之即得。




按千乘之國，其地千成。方十里，置一乘地十里，以三百步乘之，得三

千步。重張相乘，得九百萬步。又以千成乘之，得積九十億步。以開方除之

，即得方數。




開方法曰：借一算為下法。步之常超一位，至萬而止。置上商九萬於實

之上。又置九億於實之下，下法之上，名曰方法。命上商九萬以除實畢。倍

方法九億得十八億。乃折之：方法一折，下法再折。又置上商四千於上，以

次前商之後。又置四百萬於方法之下，下法之上，名曰隅法。方、隅皆命上

商四千以除實畢。倍隅法得八百萬。上從方法，得一億八千八百萬。乃折之

：方法一折，下法再折。又置上商八百於上，以次前商之後。又置八萬於方

法之下，下法之上，名曰隅法。方、隅皆命上商八百以除實畢。倍隅法得十

六萬。上從方法，得一千八百九十六萬。乃折之：方法一折，下法再折。又

置上商六十於上，以次前商之後。又置上商六十於上，以次前商之後。又置

六百於方法之下，下法之上，名曰隅法。方、隅皆命上商六十以除實畢。倍

隅法得一千二百。上從方法，得一百八十九萬七千二百。乃折之：方法一折

，下法再折。又置上商八於上，以次前商之後。又置八於方法之下，下法之

上，名曰隅法。方、隅皆命上商八以除實畢。倍隅法得一十六。上從方法，

下法一亦從之，得一十八萬九千七百三十七分步之六萬二千五百七十六。以

里法三百步除之，得三百一十六里。不盡六十八步。即得三百一十六里六十

八步一十八萬九千七百三十七分步之六萬二千五百七十六也。


周官車蓋法：




「參分弓長，以其一為尊。」注云：「尊，高也。六尺之弓，上部近平

者二尺。爪末下於部二尺。二尺為句，四尺為弦，求其股。股十二。開方除

之，面三尺幾半。」




甄鸞按：句股之法，橫者為句，直者為股，斜者為弦。若句三，則股四

而弦五。此自然之率也。今此車蓋，句二弦四則股三，此亦自然之率矣。求

之法，句、股各自乘，并而開方除之，即弦也。股自乘，以減弦自乘，其餘

開方除之，即句也。句自乘，以減弦自乘，其餘開方除之，即股也。假令句

三自乘得九，股四自乘得十六，并之得二十五，開方除之得五，弦也。股四

自乘得十六；弦五自乘得二十五，以十六減之，餘九。開方除之得三，句也

。句三自乘得九，弦五自乘得二十五，以九減之，餘十六。開方除之得四，

股也。今車蓋崇二尺，弓四尺。以崇下二尺為句，弓四尺為弦，為之求股。

求股之法，句二尺自乘得四，弦四尺自乘得十六。以四減十六，餘十二。開

方除之，得三，即股三尺也也。餘三，倍方法得六；又以下法一從之得七。

即股三尺七分尺之三。故曰幾半也。


《儀禮》喪服絰帶法：




「苴絰大搹，左本在下。去五分一以為帶。齊衰之絰，斬衰之帶也，去

五分一以為帶。大功之絰，齊衰之帶也，去五分一以為帶。小功之絰，大功

之帶也，去五分一以為帶。緦麻之絰，小功之帶也，去五分一以為帶。」注

云：「盈手曰搹。搹，扼也。中人之扼圍九寸。以五分一為殺者，象五服之

數。」今有五服衰絰，迭相差五分之一。其斬衰之絰九寸，問齊衰、大功、

小功、緦麻絰各幾何？




答曰：齊衰七寸五分寸之一、大功五寸二十五分寸之十九、小功四寸一

百二十五分寸之七十六、緦麻三寸六百二十五分寸之四百二十九。




甄鸞按：五分減一者，以四乘之，以五除之。置斬衰之絰九寸，以四乘

之得三十六為絰實；以五除之得齊衰之絰七寸五分寸之一。以母五乘七寸得

三十五；內子一得三十六。以四乘之得一百四十四為實。以五乘下母五得二

十五為法。除之得大功絰五寸二十五分寸之十九。以母二十五乘五寸得一百

二十五，內子十九，得一百四十四。以四乘之得五百七十六為實。以五乘下

母二十五得一百二十五為法。以除之，得小功絰四寸一百二十五分寸之七十

六。以母一百二十五乘絰四寸，得五百。內子七十六，得五百七十六，又以

四乘之得二千三百四為實。以五乘下母一百二十五得六百二十五為法。以除

之，得緦麻之絰三寸六百二十五分寸之四百二十九。


喪服制食米溢數法：




「朝一溢米，夕一溢米。」注云：「二十兩曰溢，一溢為米一升二十四

分升之一。」




甄鸞按：一溢為米一升二十四分升之一法：置一斛米，重一百二十斤。

以十六乘之，為積一千九百二十兩。以溢法二十兩除之，得九十六溢為法。

以米一斛百升為實。實如法得一升。不盡四升，與法具再半之，名曰二十四

分升之一。稱法：三十斤曰鈞，四鈞曰石。石有一百二十斤也。所以名斛為

石者，以其一斛米重一百二十斤故也。


《禮記》王制國及地法：




凡四海之內有九州。大界方三千里。三三而九，計方一千里者有九也。

今為里田之法，方一千里為廣一里，則長一百萬里也。分方一千里為畿內，

餘為八州。州各得方一千里。各以方里自乘為積里。諸國皆倣方一百里國三

十。一國萬里，三十國合三十萬里。方七十里國六十。一國四千九百里，六

十國合二十九萬四千里。方五十里國一百二十。一國二千五百里，一百二十

國合三十萬里。上法一州有二百一十國，合地八十九萬四千里。以減一州之

地大數一百萬里，餘一十萬六千里為閒田。此據一州而言。若八州則地七百

一十五萬二千里，以減八州八百萬里，餘八十四萬八千里為閒田。




畿內方百里國九。一國萬里，九國合九萬里。方七十里國二十一。一國

四千九百里，二十一國合十萬二千九百里。方五十里國六十三。一國二千五

百里，六十三國合十五萬七千五百里。上法畿內有九十三國，計地三十五萬

四百里。以減一百萬里，餘六十四萬九千六百里為閒田。以八州之地七百一

十五萬二千里，并畿內三十五萬四百里，九州之國合地七百五十萬二千四百

里。以減九州之地大數九百萬里，餘一百四十九萬七千六百里為閒田。此商

制也。




鄭注云：「周公制禮，九州大界方七千里。七七四十九，即四千九百萬

里。計方一千里者，四十九也。」分方千里為畿內，餘為八州。州各得一千

里者六。一州合地六百萬里。方五百里國四。一國二十五萬里，四國合一百

萬里。方四百里國六。一國十六萬里，六國合九十六萬里。方三百里國十一

。一國九萬里，十一國合九十九萬里。方二百里國二十五。一國四萬里，二

十五國合一百萬里。方一百里國一百六十四。一國一萬里，一百六十四國合

一百六十四萬里。上法，一州二百一十國，計地五百五十九萬里。以減一州

之地大數六百萬里，餘四十一萬里，為附庸閒田。




按《周禮》據千里為法，則公國四，侯國六，伯國十一，子國二十五，

男國一百六十四。合二百一十國者，非周之數矣。據地方一千里為地一百萬

里。五國合為地五百萬里。方百里者五十九。方百里為地一萬里。五十九國

合為地五十九萬里。上二法，計得地五百五十九萬里。容前二百一十國，餘

方百里者四十一。方百里為地一萬里；百里之國四十一，為地四十一萬里。

上據地以下三法，合地六百萬里。一州之大數。




「古者以周尺八尺為步，今以周尺六尺四寸為步。古者百畝當今東田百

四十六畝三十步。古者百里當今百二十一里六十步四尺二寸二分。」注云：

「周尺之數，未之詳聞。按禮制，周猶以十寸為尺。蓋六國時多變亂法度。

或言周尺八寸，則步更為八八六十四寸。以此計之，古者百畝當今百五十六

畝二十五步。古者百里當今百二十五里也。」




甄鸞按：「古者以周尺八尺為步，今以周尺六尺四寸為步。古者一百畝

當今東田一百四十六畝三十步。」計之法：置古步八尺，以八寸乘之為六十

四寸。自相乘得四千九十六寸為古步法。又置今步六尺，以八寸乘之，內四

寸，得五十二寸。自相乘得二千七百四寸為今步法。置田一百畝，以百步乘

之得一萬步。以古步法乘之，得四千九十六萬寸為實。以今步法二千七百四

寸除之，得一萬五千一百四十七步。不盡二千五百一十二寸，約之得一百六

十九分步之一百五十七。以畝法一百步除積步，得一百五十一畝，餘四十七

步及分。以經中東田一百四十六畝三十步減之，計賸五畝一十七步及分。此

即經自不合。




求經云：「古者百里當今一百二十二十一里六十步四尺二寸二分」法：

置百里，以三百步乘之，得三萬步。以古一步六十四寸乘之，得一百九十二

萬寸。以今步法五十二寸除之，得三萬六千九百二十三步，餘四寸。以里法

三百步除積步，得一百二十三里，不盡二十三步四寸。以經中一百二十一里

六十步四尺二寸二分減之，計賸一里二百六十二步一尺三寸八分。亦經自不

合。




求鄭氏注云：「古者百畝當今一百五十六畝二十五步。」依鄭計之法：

置經中古者八十寸，今六十四寸相約。古步率得五，今步率得四。古步率五

自乘得二十五為古步法；今步率四自乘得十六為今步法。置田一百畝為一萬

步。以古步法二十五乘之得二十五萬。以今步法十六除之得一萬五千六百二

十五步。以畝法一百步除之，得一百五十六畝，不盡二十五步。




求鄭注云：「古者百里當今一百二十五里」法：置一百里，以三百步乘

之，得三萬步。以古步率五乘之，得一十五萬為實。以今步率四乘里法三百

步，得一千二百為法。實如法而一，得一百二十五里。按經自不合；鄭注又

不與經同。未詳所以。




〈卷下〉



《禮記》月令黃鍾律管法：




黃鍾術曰：置一算，以三九遍因之為法。置一算，以三因之得三，又三

因之得九，又三因之得二十七，又三因之得八十一，又三因之得二百四十三

，又三因之得七百二十九，又三因之得二千一百八十七，又三因之得六千五

百六十一，又三因之得一萬九千六百八十三為法。即是黃鍾一寸之積分。重

張其位於上，以三再因之，為黃鍾之實。以法除之，得黃鍾，十一月，管長

九寸。




置黃鍾一寸積分一萬九千六百八十三。以三因之得五萬九千四十九。又

置五萬九千四十九。以三因之得十七萬七千一百四十七，為黃鍾實。以寸法

一萬九千六百八十三除實，得黃鍾之管長九寸。




黃鍾下生林鍾，六月，管長六寸。置黃鍾管長九寸。以二乘之得十八，

以三除之得林鍾管長六寸。




林鍾上生太蔟，正月，管長八寸。置林鍾管長六寸。以四乘之，得二十

四。以三除之，得太蔟管長八寸。




太蔟下生南呂，八月，管長五寸三分寸之一。置太蔟之管八寸。以二乘

之得十六；以三除之，得南呂之管長五寸三分寸之一。




南呂上生姑洗，三月，管長七寸九分寸之一。置南呂管長五寸。以分母

三乘之，內子一得十六。以四乘之，得六十四。以三乘法三得九為法以除之

，得姑洗之管長七寸九分寸之一。




姑洗下生應鍾，十月，管長四寸二十七分寸之二十。置姑洗管長七寸。

以分母九乘之，內子一得六十四。以二乘之得一百二十八。以分母九乘法三

得二十七為法以除之，得應鍾之管長四寸二十七分寸之二十。




應鍾上生蕤賓，五月，管長六寸八十一分寸之二十六。置應鍾管長四寸

。以分母二十七乘之，內子二十得一百二十八。以四乘之，得五百一十二。

以分母二十七乘法三得八十一為法。除之得蕤賓管長六寸八十一分寸之二十

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