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2021年1月30日发(作者：山村姑娘)
§
4

质数

算术基本定理

一、教学目标：

通过本节内容的学习，达到以下教学目标与要求：

一级目标
：掌握算术基本定理；

二级目标
：掌握质数和合数的概念。



二、教学内容和重、难点：

1.
质数和合数

2.
算术基本定理

3.
标准分解式

重点：算术基本定理

难点：算术基本定理的证明

三、教学方法和教具使用：





讲授法。

四、教学过程：

定义

如果一个大于
1
的整数的正因数只有
1
和它本身，那么就把这个整数叫做质数
.< br>否
则就叫合数
.
定理
1

设
a
是 任何一个大于
1
的整数，则
a
的除
1
以外的最小正因数q
是质数，且当
a
是合数时，

证

假设q
不是质数，由质数的定义得，
q
除
1
和它本身外还有一个正因 数
q
1
，因而
1

q
1

q.
但
q
|
a
，故
q
1
|
a< br>，这与
q
是
a
的最小正因数矛盾
.
故
q是质数
.



当
a
是合数时，
a

a
1
q
,
且
1

q

a
1
，故
a

a
1
q

q
2
,
q

a
.

定理
2

若
p
是一质数，
a
为任一整数， 则
p
|
a
或

p
,
a


1.

证

因

p
,
a

|
p
，
p
为质数，故

p
,
a


1
或

p
,
a


p
.
而当

p
,
a


1
时，
p
|
a
.
故

p
,a


1
或
p
|
a
.

推论
2.1

设
a
1
,
a
2,
,
a
n
是
n
个整数，
p
是质数.
若
p
|
a
1
a
2
a
n< br>，则
p
整除某个
a
k
.

证
若
p
/
|
a
i
,
i

1,2,
,
n
，则

p
,
a
i


1,
i

1,
2,
于是

p
,
a
1
a
2
,
n
.
a
n


1
，这与
p
|
a
1
a
2
有

a
n
矛盾
.
定理
3
（ 算术基本定理）
任意大于
1
的整数都能表示成质数的乘积，
即对任一整数a

1
，
a

p
1
p
2其中
p
1
,
p
2
,
p
n
,< br>p
1

p
2


p
n



























（
1
）

,
p
n
是质数，并且若


q
m





























（
2
）

,
n
.

a

q
1
q
2
其中
q
1
,
q
2
,
q
m
,
q
1

q
2
,
q
m
是质数，则
m

n
,
q
i

p
i
,
i

1
,2,
证

首先用数学归纳法证明（
1
）式成立
.
当
a

2
时，显然（
1
）式成立
.
假设对于一切
小于
a
的正整数（
1
）式成立
.
下面根据此归纳假推出（
1
）式对正整数
a
也成立
.
当
a
为质
数时，显然（
1
）式成立
.
当
a
为合数时，存在两个正整数
b
,
c
满足条件
< br>由归纳假设，
b
和
c
都分别能表示为质数的乘积，故
a
能表示成质数的乘积，即（
1
）式成
立
.
其次，证明表示的唯一性
.
若对
a
同时有（
1
）
，
（
2
）两式成立，则

p
1
p
2
p
n

q
1
q
2
q
m





















（
3
）

由
定
理
3
知
，
分
别
有
质
数
p
k
,
q
j
使
得
p
1
|
q
j
,
q
1
|
p
k
.
但
q
j
,
p
k
都
是
质
数
，
故
p
1

q
j
,
q
1

p
k
.
又
p
k

p
1
,
q
j

q
1
，故同时有
q
1

p
1
和
p
1< br>
q
1
,
因而
q
1

p
1
.
由（
3
）式得

p
2
p
n
q
2
q
n
.
同理可得
q
2

p
2
,
q
3

p
3
,
,
依此类推下去，最后得
m

n
,
q
n

p
n
.

推论
3.1
任意一个大于
1
的整数
a
都能唯一地表为

a
p
1

1
p
2

2
pk

k
,

i

0,
i
< br>1
,2,
,
k










（
4
）

其中
p
i

p
j

i

j

是质数
.
（
4
）叫做
a
的标准分解式
.
推论
3.2

设
a
是一个大于
1
的整数，且

则
a
的正因数
d
可以表示为

d

p
1

1
p
2

2
p
k

k
,

i


i

0,i

1
,2,
,
k
.





（
5
）

且当正整数
d
可以 由上式表示时，
d
为
a
的正因数
.
证

设
d
为
a
的一个正因数，
则当
d

1时，
d
可以表示为
d

p
1
0
p2
0
因
d
|
a
,
故
d
的质因 数必为
a
的质因数
.
而
a

a

p
1
1
p
2


2
p
k
0
.
当
d

1
时，
,
k
,< br>从
p
k

k
,
a
i

0,
i

1
,2,
而
d
可以表示为

下面证明

i

a
i
,
i

1< br>,2,


,
k
.



2
因
p
i
i
|
d
,
d
|
a
，
故
p
i
i
|
a
.
但
因
a

p
1
1
p
2
p
k

k
，
故
p

i
|
p
1

1
p
2

2
p
k

k
.
而
,
k
故
.
a

p
i

i
,
p
1
a
1
p
i

1

i

1
p
i

1

i

1
p
k

k

1
，故p
i

i
|
p
i

i
,p
i

i

p
i

i
,
i


i
,
i

1,
2,

的每个正因数
d
都可以由（
5
）表示出来
. < br>反之，当正整数
d
可以由（
5
）式表示出来时，显然
d
为
a
的一个正因数
.
附记

如把推论
2
中的条件“
a
i

0,
i

1
,2,< br>仍然成立
.
推论
3.3
设
a
,
b
是任意两个正整数，且

,
k< br>”改为“
a
i

0,
i

1
,2,
，结论
,
k
”
a

p
1

1
p
2

2
b

p
1
p
2
则


1

2
p
k

k
,

i

0,
i

1,2,
p
k
,

i

0,
i

1,2,
2
,
k
,
,
k
,

k







（
6
）


a
,
b


p
1

p
2


a
,
b


p
1

p
2

1
1
p
k

k
,
p
k
,

k
2



















（
7
）

其中

i

min


i
,
i

,

i

max


i
,

i

,
i

1
, 2,
证

由（
6
）式易知
p
1
1
p
2


2
,
k
.

p
k

k
为
a
,
b
的一个
p
k
k
为
a
,
b
的一个公因数，
p
1< br>
1
p
2

2
,
k
）
.
公倍数（其中

i

min


i
,

i

,

i

max
< br>
i
,

i

，
i

1, 2,
设
d
为
a
,
b
的任意一个正公因数，则由推论
2
及其附记得，
d
可以表示为

其中
0


i


i
,0




i
,
i

1
,2,
,
k
.故
0


i


i
,
i
1
,2,
,
k
.
于是

d

p
1

1
p
2

2
p
k

k
.
于是，
p
1

1
p2

2
p
k

k
为
a
,b
的最大公因数
.


设
m
为
a< br>,
b
的任意一个正的公倍数，则
a
|
m
,
b
|
m
.
因
p
i
i
|
a
,
p
i
i
|
a
,
i

1
, 2,
,
k
，故

p
i

i
|m
,
i

1
,2,
p
1

1
p
2

2
,
k
.
但
p
1

1
,
p
2

2
,
,
p
k

k
两两互质，故

p
k

k
为
a
,
b
的最小公倍数
.
p
k

k
|
m
,
p
1

1
p
2

2
p
k

k

m
.
于是
p
1

1
p
2

2
故（7
）式成立
.
根据定理
1
，可以构造质数表
. 下面构造
50
以内的质数表，当然，需要知道不超过
50
的
所有 质数
2,3,5,7.
不超过
50
的所有质数为
2,3,5,7.< br>把不超过
50
的所有正整数，
首先划去

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