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2021年1月30日发(作者：大胆妈妈)

平行四边形

一、

基础知识平行四边形


平行四边形

矩形

有
一
个
角
是
直
角
的
平
行
四
边
形
是
矩形。



质






1
、定义：

2
、判定定理：

（
1
）两组对边分别相等的四
边形是平行四边形。

（
2
）两组对角分别相等的四
判

边形是平行四边形。


（
3
）一组对边平行且相等的
定

四边形是平行四边形。

（
4
）对角线互相平分的四边
形是平行四边形。

对称性


轴对称图形

轴对称图形

轴对称图形

轴对称图形

1
、定义：

2
、判定定理：

（
1
）对角线相等
的
平
行
四
边
形
是
矩形。

（
2
）有三个角是
直
角
的
四
边
形
是
矩形。< br>
1
、对边平行且相等。

3
、对角线互相平分

1
、四个角都是直
角。

2
、对角线相等。

1
、四条边都相等。

2
、两条对角线互相垂
直，
并且每一条对角线
平分一组对角。

1
、定义：

2
、判定定理：

（
1
）一组邻边相等的
平行四边形是菱形。

（
2
）对角线互相垂直
的四边形是菱形。

1
、先证明是矩形再
2
、先证明是菱形再
证一个角是直角。

菱形

有一组邻边相等的平
行四边形是菱形。

正方形

有一组邻边
相等且
有一个角是
直角的
平行四边形。

具有平行四边形、
矩
形、菱形的
所有特
征。

1
、两腰相等两底平行

2
、同一底上的两角相
等

3
、两条对角线相等

1
、定义：先判断是梯
2
、 同一底上的两个角
相等的梯形是等腰梯
形。

3
、对角线相等的梯形
是等腰梯形。

等腰梯形

两腰相等的梯形是等
腰梯形。

定

有两组对边分别平行的四边
义

形是平行四边形。

性

2
、对角相等，邻角互补。

证明一组邻边相等。

形在证明两腰相等。

二、
1
、
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三遍的一半。


2
、
由矩形的性质得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的 中线等于斜边的一半。

A

三、例题

D
例
1
、
如图
1
，
平行四边形
ABCD
中，
AE
⊥
BD
，
CF
⊥
BD
，
垂足分别为
E
、
F.
求证：
∠
BAE =
∠
DCF.
F



E

B


C


（图
1
）






例
2
、如图
2
，矩形
ABCD
中，
AC
与
BD
交于
O
点，
BE
⊥
AC
于
E
，
CF
⊥
B D
于
F.
A
D
求证：
BE = CF.

E
F


O

B
C

（图
2
）







A
D
例
3
、
已知：
如图
3
，
在梯形
ABCD
中，
AD
∥
BC
，
AB = DC
，
点
E
、
F
分别在
AB
、
CD
上，
且
BE = 2EA
，

F
CF = 2FD.
求证：∠
BEC =
∠
CFB.
E






B

C
图
3






例
4
、如图
6
，
E
、
F
分别是


ABCD
的
AD
、
BC
边上的点，且
AE = CF.
D
A
E
（
1
）求证：
△
A BE
≌△
CDF
；

N
（
2
）若



M
、
N
分别是
BE
、
DF
的中点，连结
MF
、
EN
，试判断四边形
MFNE
是怎样的四
M
边形，并证明你的结论
.


C
B
F

(
图
6)









例
5
、如图
7


ABCD
的对角线< br>AC
的垂直平分线与边
AD
，
BC
分别相交于点
E< br>，
F.
，求证：四边形
AFCE
是菱形
.

E

A
D





O

B
C

F



7
图




例
6
、如图8
，四边形
ABCD
是平行四边形，
O
是它的中心，
E
、
F
是对角线
AC
上的点
.
D
C
（
1
）如果













，则
△
DEC
≌△
BFA
（请你填上一个能使结论成立的一个条件）
；

（
2
）证明你的结论
.
F
E


A
B

图
8








例
7
、如图
9
，已知在 梯形
ABCD
中，
AD
∥
BC
，
AB
=
DC
，对角线
AC
和
BD
相交于点
O
，< br>E
是
BC
边上一个动点（点
E
不与
B
、C
两
点重合）
，
EF
∥
BD
交
AC< br>于点
F
，
EG
∥
AC
交
BD
于点< br>C.
（
1
）求证：四边形
EFOG
的周长等于
2O B
；

（
2
）请你将上述题目的条件
“
梯形
ABCD
中，
AD
∥
BC
，
AB = DC”
改 为另一种四边形，其他条件不变，使得结论，
“
四边形
EFOG
的周长等于< br>2OB”
仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出已知、求证、不必证明
.
A
D






O
F

G


B
C

E



图
9









例
8
、有一块梯形形状的土地，现要平均 分给两个农户种植（即将梯形的面积
两等分）
，试设计两种方案（平分方案画在备用图
13(1)
、
(2)
上）
，并给予合理
的解释
.



备用图（
1
）

备用图（
2
）




图
13





四、练习


一、选择题

1.
下列命题正确的是（

）

(A)
、一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形
(B)
、对角线相等的四边形一定是矩形

(C)
、
两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形
(D)
、
在两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形

2.
已知平行四边形
ABCD
的周长
32, 5AB=3BC,
则
AC
的取值范围为
( )
A. 6；
B. 6；
C. 10；
D. 43.
两个全等的三角形（不等边）可拼成不同的平形四边形的个数是（


）


（
A
）
1





（
B
）
2




（
C
）
3





（
D
）
4
4
．延长平形四边形
ABCD
的一边
AB
到
E
，使
BE
＝
BD
，连结< br>DE
交
BC
于
F
，若∠
DAB
＝
1 20
°
,
∠
CFE
＝
135
°，
AB＝
1
，则
AC
的长为
（

）
（
A
）
1





（
B
）
1.2




（
C
）
3






（
D
）
1.5
2
5
．若菱形
ABCD
中，
AE
垂直平分
BC
于
E
，
A E
＝
1cm
，则
BD
的长是（

）

（
A
）
1cm





（
B
）
2cm




（
C
）
3cm




（
D
）
4cm
6.
若顺次连结一个四边形各边中点所得的图形是矩形，那么这个四边形的对角线
(


)
（
A
）互相垂直


（
B
）相等


（
C
）互相平分

（
D
）互相垂直且相等

7.
如图，等腰△
AB C
中，
D
是
BC
边上的一点，
DE
∥
AC
，
DF
∥
AB
，
AB=5
那么四边形
AF DE
的周长是

（
A
）
5
（
B
）
10
（
C
）
15
（
D
）
20






(
第
7
题）

（第
8
题）

（第
9
题）

（第
10
题）

8.
如图，将边长为
8cm
的正方形纸片
ABCD
折叠，使点
D
落在
BC
边中点E
处，点
A
落在点
F
处，折痕为
MN
，则线段
CN
的长是（

）．


（
A
）
3cm
（
B
）
4cm
（
C
）
5cm
（
D
）
6cm
9.
如图，在直角梯形
ABCD
中，AD∥BC，∠B=90°，
AC
将梯形分成两个三角形，其中△AC
D
是周长为
18 cm
的等边三角形，则该
梯形的中位线的长是
( )
．

(A)9 cm (B)12cm (c)

（

）

A
E
D
O
B
C
9
cm (D)18 cm
2
10.
如图，在周长为
20cm
的□ABCD中，AB≠A D，
AC
、
BD
相交于点
O
，
OE
⊥BD
交
AD
于
E
，则△
ABE
的周长为（

）

(A)4cm (B)6cm (C)8cm (D)10cm
11.
如图
2
，
四边 形
ABCD
为矩形纸片．
把纸片
ABCD
折叠，
使点
B
恰好落在
CD
边的中点
E
处，
折痕为
AF．
若
CD
＝
6
，
则
AF
等于

（


）

D
（
A
）
4
3

（
B
）
3
3


（
C
）
4
2


（
D
）８



A
D
A
E
12.
如图，已知四边形
ABCD
中，
R
、< br>P
分别是
BC
、
CD
上的点，
E
、
F
分别是

AP
、
RP
的中点，当点
P
在
CD
上从
C
向
D
移动而点
R
不动时，那么 下列结论

成立的是

（
)
A
、线段
EF
的长逐渐增大
B
、线段
EF
的长逐渐减小

C
、线段
EF
的长不变
D
、线段
EF
的长与点
P
A. 7.5cm

B. 7cm

C. 6.5cm

D. 6cm
B
F
图


2
E
P
C
B
F
R
第
12
题图

C
13. 在梯形
ABCD
中，
AD//BC
，对角线
AC
⊥BD
，且
AC

5
cm
，
BD=12c m
，则梯形中位线的长等于（

）

14.
国家级历史文化名城——金华，风光秀丽，花木葱茏．某广场上一个形状是

平行四边 形的花坛（如图）
，分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫
6
种颜色的花．

如果有
A
G
B
紫

黄

A B
∥
EF
∥
DC
，
BC
∥
GH
∥
AD
，那么下列说法中错误的是（

）

A
．红花、绿花种植面积一定相等
B
．紫花、橙花种植面积一定相等

蓝

C
F
第
14
题

E
D
绿

红

H
橙

C
．红花、蓝花种植面积一定相等
D
．蓝花、黄花种植面积一定相等

二、填空题

1.
如果 四边形四个内角之比
1
：
2
：
3
：
4
，则 这四边形为＿＿＿＿形。
2.
若正方形的对角线长为
2
错误！未找到引用源 。
cm
，则正
方形的面积为＿＿＿。

3.
若矩形一个内角 的平分线，把另一边分为
4cm,5cm
两部分，则这个矩形周长是＿＿＿

4.
已知：平行四边形
ABCD
的周长是
30cm
，对角线
AC
，
BD
相交于点
O
，△
AOB
的周长比△BOC
的周长长
5cm
，则这个平行四边形的各边
长为＿＿＿＿＿。

3
5.
已知：
平行四边形
ABCD
中，
AE
⊥
BC交
CB
的延长线于点
E
，
AF
⊥
CD
交
CD
的延长线于点
F
，
AB
＋
BC
＋< br>CD
＋
DA
＝
32cm
，
BC
＝
AB
，
5
∠
EAF
＝
2
∠
C
，则
BE
长为＿＿＿，则∠
C
＿＿＿
.
6.
在平面 直角坐标系中，
点
A
、
B
、
C
的坐标分别是
A(
－
2
，
5)
，
B(
－
3
， －
1)
，
C(1
，
－
1)
，
在第一象限内 找一点
D
，
使四边形
ABCD
是平行四边形，那么点
D的坐标是

．

7.
已知 ：如图
8
，正方形
ABCD
中，对角线
AC
和
BD
相交于点
O
，
E
、
F
分别是边
AB
、
BC
上的点，若
AE
＝
4cm
，
DF
＝
3cm
，且
OE
⊥
OF
，则
EF
C
D
的长为

。

F
A
E
C


B

O
F
图



D
D
P
（
1
）

图
9
（
2
）

B
A
E
（第
9
题）




．

A
M
B
P
N
C
第
10
题图


8
．

如图9
（
1)
是一个等腰梯形，由
6
个这样的等腰梯形恰好可以拼出 如图
10(2)
所示的一个菱形．对于图
10(1)
中的等腰梯形，
请写出它的内角的度数或腰与底边长度之间关系的一个正确结论：

9
．如图，在四边 形
ABCD
中，
P
是对角线
BD
的中点，
E
，
F
分别是
AB
，
CD
的中点，
AD

BC
，

PEF

18
，
则
< br>PFE
的度数是

．

10
．如图 ，菱形
ABCD
的两条对角线分别长
6
和
8
，点
P
是对角线
AC
上的一个动点，点
M
、
N
分别是边< br>AB
、
BC
的中点，则
PM
+
PN
的最小值 是
_____________
．

11.
如图，在四边形
ABCD
中，
E
、
F
、
G
、
H
分别是
AB
、
BD
、
CD
、
AC
的中点， 要使四边形
EFGH
是菱形，四边形
ABCD
还应满足的一个条件是

。

A
O
E
B
F
D
A
E
D
O
C
B
F
C

（
12
题）

（
13
题）

（
14
题）

12
、

如图所示，
O
为矩形
ABCD
的对角线交点，
DF
平分∠
ADC交
AC
于
E
，
BC
于
F
，∠
BDF=15
°，则∠
COF=______
．

13.
如图，矩形
ABCD
的对角线
AC
和
BD
相交于点
O
，过点
O
的直线分别交
AD
和
BC
于点
E
、
F
，
AB

2
，
BC
3
，
则图中阴影部分的面积为





．

Ｂ
ＣＤ
ＣＤ
ＣＤ
14
、如图，矩形< br>Ａ
1
1
1
1
的面积为４，顺次连结各边中点得到四边形
Ａ
2
B
2
2
2
，再顺次连结四边形
Ａ
2
B
2
2
2
四边中点得
到四边形
ＡＢＣＤ
3
3
3
3
，依此类推，求四边形
ＡＢＣＤ
n
n
n
n
的面积是


。

15
、如图⑴已 知
O
是□
ABCD
的对角线交点，
AC
＝
24，
BD
＝
38
，
AD
＝
14
，那么△
OBC
的周长等于＿＿＿＿＿。





A
O
⑴

C
D
A
D
O
A
D
A
F
E
C
B
C
⑷

D
B
B
⑵

C
B
⑶

E
16
、在平行四边形
ABCD
中，∠
C
＝∠
B+
∠
D,
则∠
A
＝＿＿ ＿，∠
D
＝＿＿＿。

17
、一个平行四边形的周长为
70 cm
，两边的差是
10cm
，则平行四边形各边长为＿＿＿＿
cm
。

18
、已知菱形的一条对角线长为
12cm
，面积为
30 cm
，则这个菱形的另一条对角线长为
__________cm
。

19
、菱形
ABCD
中，∠
A
＝
60
，对角线< br>BD
长为
7cm
，则此菱形周长＿＿＿＿＿
cm
。

20
、如果一个正方形的对角线长为
o
2
2
，那么它的面积 ＿＿＿＿＿＿。

o
21
、如图
2
矩形
ABCD< br>的两条对角线相交于
O,
∠
AOB
＝
60
,AB＝
8,
则矩形对角线的长＿＿＿。

22
、如图
3,< br>等腰梯形
ABCD
中，
AD
∥
BC
，
AB< br>∥
DE
，
BC
＝
8
，
AB
＝
6
，
AD
＝
5
则△
CDE
周长＿＿＿。

21
、正方形的对称轴有＿＿＿条

22
、如图
4
，
BD
是□
ABCD
的对角线，点
E
、
F
在
BD
上，要使四边形
AECF
是平行四边形，还需增加的一个条件是＿＿＿ ＿＿＿

23
、要从一张长为
40cm
，宽为
20cm的矩形纸片中，剪出长为
18cm
，宽为
12cm
的矩形纸片，最多能剪 出＿＿＿＿＿＿张。

三、解答题

1.
如图，在四边形
A BCD
中，∠
A=60
°
,
∠
B=
∠
D= 90
°
,BC=2,CD=3,
求
AB
的长。





2.
如图，在等腰梯形
ABCD
中，
AD
∥
BC,AB=CD=2,
∠
BAD=120
°
,< br>对角线
AC
平分∠
BCD
，求等腰梯形
ABCD
的周 长。







3.
将平行 四边形纸片
ABCD
按如图方式折叠，使点
C
与
A
重合，点
D
落到
D
′

处，折痕为
EF
．

（
1
）求证：△
ABE
≌△
AD
′
F；

（
2
）连接
CF
，判断四边形
AECF< br>是什么特殊四边形？证明你的结论







D
′

A
F
D
B
E
A
D
E
C
4
．已知：如图，在梯形
ABCD中，
AD
∥
BC
，
AB=CD
，对角线
AC< br>、
BD
相交于点
E
，

∠
ADB=60°，
BD=10
，
BE
∶
ED=4
∶
1
，求梯形
ABCD
的腰长
.






5.
如图，菱形
ABCD
，
E
，
F< br>分别是
BC
，
CD
上的点，∠
B
＝∠
EAF
＝
60
°，

∠
BAE
＝
18
°求∠
CEF
的度数。



B
E
C
F
D
A
B
C

-

-

-

-

-

-

-

-