-

2021年1月30日发(作者：鼻行类动物)

人教版八年级下册

18.2
特殊平行四边形讲义




【知识体

系】

























菱
形

【要点梳理】

要点一、矩形

1
.
定义：

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形

2
.
性质：

(
1
)
具有平行四边形的所有性质；

(2)

四个角都是直角；

(3)

对角线互相平分且相等；

(4)

中心对称图形，轴对称图形

.


3
.
面积：
S
矩形
=
长宽

4
•判定：
(
1)
有一个角是直角的平行四边形是矩形

(2)

行四边形是矩形

(3)

的四边形是矩形

要点诠释：由矩形得直角三角形的性质：

(1
)
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
;
(2
)
直角三角形中，
30
度角所对应的直角边等于斜边的一半
.


对角线相等的平
•


有三个角是直角
•

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特殊平行四边形讲义

要点二、菱形

1.
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形

2
•性质：
(
1
)
具有平行四边形的一切性质
;
(2)

四条边相等；

(3)

两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角
;

(4
)
中心对称图形，轴对称图形








4
•判定：
(
1
)
一组邻边相等的平行四边形是菱形
;
(2)

对角线互相垂直的平行四边形是菱形
;
(3)

四边相等的四边形是菱形
•

要点四、正方形

1.
定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形

2.
性质：
(
1
)
对边平行；

(
2
)
四个角都是直角；

(
3
)
四条边都相等；

(4)

对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；

(5)

两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形
;
(6)

中心对称图形，轴对称图形

.

1
3.
面积 ：
S
正方形
=
边长
x
边长
=
—
x
对角线
x
对角线

2
4
.
判定：
(
1
)
有一个角是直角的菱形是正方形；

(
2
)
一组邻边相等的矩形是正方形；

(
3
)
对角线相等的菱形是正方形；

(4)

对角线互相垂直的矩形是正方形；

(5)

对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；

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特殊平行四边形讲义

(6)

四条边都相等，四个角都是直角的四边形


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特殊平行四边形讲义

类型一、矩形

、已知：如图，

D
是厶
ABC
的边
AB
上一点，
CN/
AB,
DN
交
AC
于点

M MA= MC
①求证：
CD= AN
；②若
/
AMD
=
2
/
MCD
求证：四边形

ADCN
是矩形
.
【思路点拨】

①根据两直线平行，内错角相等求出
/
DAC=
Z
NCA
然后利用“角边角”证明△
AMD
和厶
CMN
全等，根
三角形对应边相等可得

AD- CN,
然后判定四边形

ADCN
是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证；

②根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和推出
/
MC
-Z
MDC
再根据等角对等边可得

MD- MC
然后证明
AC
=
DN
再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得证
.
【答案与解析】

证明：①•••
CN/ AB

•••Z
DAC=
Z
NCA
在
△
A
MDm CMN
中

,

DAC NCA
••• MA MC

,

AMD CMN
•

△
AMD2
^
CM
(
ASA
,

•

AD- CN
又•••
AD// CN
•四边形
ADCN
是平行四边形，

•

CD- AN
；

②
T
Z
AM
—

2
Z
MCD
, Z
AM
-Z
MC
9Z
MDC
•

Z
MC
—
Z
MDC

•

MD- MC
由①知四边形

ADCN
是平行四边形，

•

MD- MN= MA= MC
•
AC
—

DN

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据全等

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特殊平行四边形讲义

•••四边形
ADCN
是矩形
.
【总结升华】

要判定一个四边形是矩形，通常先判定它是平行四边形，再根据平行四边形构成矩形的条件，判定有

个角是直角
或对角线相等
.

C^
2
、如图所示，在矩形

处，求
EF
的长
.

ABCD
中
,
AB
=
6
,
BC
=
&
将矩形
ABCD
沿

CE
折叠后，使点

D
恰好落在对角线

AC
上的点
F

【思路点拨】

要求
EF
的长，可以考虑把

EF
放入
Rt
A
AEF
中，由折叠可知

CD
=
CF
,
DE
=
EF,
易得
AC
=
10
,
所以
AF
=
4
,
AE
=
8-EF,
然后在
Rt
A
AEF
中利用勾股定理求出

EF
的值
.
【答案与解析】

解：设
EF
=
X
,
由折叠可得：
DE
=
EF
=
X
,
CF
=
CD= 6
,
又•••在

Rt
△
ADC
中
，
AC
6
2
8
2
10
.
AF
=
AC- CF
=
4
,
AE
=
AD- DE
=
8
-
X
.

在

Rt
△
AEF
中，
AE
2
AF
2
EF
2
，

即
(8 x)
2

解得：
x
=
3
4
2

x
2
,

•
EF
=
3

【总结升华】

在矩形折叠问题中往往根据折叠找出相等的量，然后把未知边放在合适 的直角三角形中，再利用勾股定

理进行求
解
.
举一反三
:
【变式】把一张矩形纸片
(
矩形

ABCD
按如图方式折叠，使顶点

B
和点
D
重合，折痕为
EF.
若
AB
=
3
cm
,
BC
=
5


cm
，则重叠部分△
DEF
的面积是

________ cm
2


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特殊平行四边形讲义


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【总结升华】

运用菱形的 性质可以证明线段相等、角相等、线段的平行及垂直等问题，关键是要记住它们的判定和性

质
•

举一反三
:
【变式】用两张等宽的纸带交叉重叠地放在一起，重合的四边形

菱形
请说明理由
.
ABCD
是菱形吗？如果是菱形请给出证明，如果不是


【答案】四边形
ABCD
是菱形；

证明：由
AD// BC AB// CD
得四边形
ABCD
是平行四边形

过
A
,
C
两点分别作

AE
丄
BC
于

E
,
CF
丄
AB
于
F
.
A
D

•••/
CFB=
Z
AEB= 90
°
.

•

Rt
△
ABE^ Rt
△
CBF,
•

AB
=
BC,
•四边形
ABCD
是菱形
•


类型三、正方形

如图，一个含

45
°的三角板
HBE
的两条直角边与正方形

ABCD
的两邻边重合，过

E

点作
EF
丄
AE
交
/
的角平分线于
F
点，试探究线段

AE
与
EF
的数量关系，并说明理由


【思路点拨】
AE
=
EF.
根据正方形的性质推出

AB= BC,
Z
BAD=
Z
HAD=
Z
DC
=
90
°, 推出
/
HAE=
Z
CEF
根据△
HEB
是以
/B
为
直角的等腰直角三角形，

得到
BH= BE
Z
H= 45
° ,
HA= CE,
根据
CF
平分
Z
DCE
推出
Z
H=
Z
FCE
根据
ASA
证厶
HAE^
A
CEF
即可得到答案
.

【答案与解析】

探究：
AE
=
EF
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特殊平行四边形讲义

证明：•••△
BHE
为等腰直角三角形
，

•••/
H=
Z
HEB= 45
°
,
BH= BE.
又•••
CF
平分
/
DCE
四边形
ABCD
为正方形，

1
•••/
FCE=
—
/
DCE= 45
° ,

2
•••/
H
=Z
FCE.

由正方形

ABCD
知
/
B
=
90
°,/
HAE= 90
°+/
DAE= 90
°+/
AEB,
而

AE
丄

EF
,
：
/
FEC
=
90
°+/
AEB

•

/
HAE=
/
FEC.
由正方形

ABCD
知

AB= BC
•
BH- AB
=
BE
—
BC,
•

HA= CE,
•

△

AHE^
A
ECF
(
ASA ,
•
AE
=
EF.
【总结升华】充分利用正方形的性质和题目中的已知条件，通过证明全等三角形来证明线段相等

举一反三：

【变式】如图所示，
E
、
F
、
G H
分别是四边形

ABCD
各边中点，连接

EF
、
FG GH HE
则四边形
EFGH
为

_______________
形
.
① ② ③

(1)

当四边形满足

当四边形满足

当四边形满足

条件时，

四
边形

EFGH
是菱
形
.
EFGH
是矩
条件时，

四
边形

形
.
EFGH
是正方
条件时，

四
边形

形

⑵


⑶

在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性
.
【答案】四边形
EFGH
为平行四边形；


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特殊平行四边形讲义

解：
(
1)AC
=
BD

理由：如图①，四边形

ABCD
勺对角线
AC
BD

1
2
故四边形
EFGH
为菱形
.
(2)
AC
丄

BD

理由：如图②，四边形

ABCD
勺对角线互相垂直，

此时四边形
EFGH
为平行四边形
.
易得
GHL BD
即
GHL EH,
故四边形

EFGH
为矩形
.
(3)
AC
=
BD
且

AC
丄

BD,

1

2

此时四边形

EFGH
为平行四边形，且

E
十丄
BD, HG=
丄
AC,
得
EH= GH

理由：如图③，四边形

ABCD
勺对角线相等且互相垂直，

综合
(1)(2)
可得四边形
EFGH
为正方形
.
本题是以平行四边形为前提，加上对角线的特殊条件来判定特殊的平行四边形，加上邻边相等为菱形，加上对角

线互相垂直为矩形，综合得到正方形
.
几种特殊四边形性质、判定


判

四边形

性

质

定

边

角

对角线

①

有
一个角是直角的平行四边形是矩

形；

矩形

对边平行

且相等

②

有
一个角是直角的四边形是矩形；

四个角是直

角

相等且互相平分

③

对角线相等的平行四边形是矩形

垂直且互相平

分，
每一条对角

线平分
菱形

四条边相

等



①

有
一组邻边相等的平行四边形是菱

形；

②

四条边都相等的四边形是菱形；

③

对角线互相垂直的平行四边形是菱

对角相等，

邻角互补

一组对角

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特殊平行四边形讲义





形
•

相等、垂直、平

分，并且每一条

对
正方形

四条边相

等

角线平分一组

四个角是直

角

对角

①

邻
边相等的矩形是正方形

②

对角线垂直的矩形是正方形

③

有
一个角是直角的菱形是正方形

④

对角线相等的菱形是止方形


类型一、矩形的判定

1< br>、如图，矩形
ABCD
的周长为
20cm
，两条对角线相交于

0
点，过点
0
作
AC
的垂线
EF
,
分别交
AD
,
BC
于
E
，
F
点，连结
CE
，则
△

CDE
的周长为（

）

*

A
.
5cm B
.
8cm C
.
9cm D
.
10cm
【解析】
D

E

举一反三

【变式】如图，已知矩形
ABCDn
对角线
BD
折叠，记点
C
的对应点为
C'
,
若
/
ADC
=
20°

,
则
/
BDC
的度数为

_____________


【答案与解析】
55
°

2
】矩形的边长为
10< br>和
15,
其中一个内角平分线分长边为两部分

【变式
A. 6
和

9 B. 5
和

10 C. 4
和

11 D. 7
和

8

，
这两部分的长度分别为
（）

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特殊平行四边形讲义

斡
;
知图，
,-AE
平甘
MLS
*

：
^£
BAE = 4^
r

又叭

:^Ai3L
呈尊屣直第三舞也
.

:
占
E

二

AB
=

LU .
.■PE
-
ltf
r
AH-

In
川一齐

【解析】

【答案】
B

=.
匚「

【变式
3
】四边形
ABCD
勺对角线交于点

0,
在下列条件中，不能说明它是矩形的是

A. AB=CD, AD=BC
/
BA[=90°

B.
/
BAD
/
ABC =90
°

,
/
BAD+
Z
ADC=10
°

D. A0=C0,B0=D0,AC=BD
（

）

C
/
BAD
Z
BCD,
/
ABC+
Z
ADC=18
）
°

【答案】
C

2
、在平行四边形

ABCD
中，过点
D
作
DE

AB
于点
E
,
点
F
在边
CD
上
,
DF

BE
，连接

AF
,
BF
。

(1
)
求证：四边形

BFDE
是矩形。

(2
)
若

CF 3, BF 4
,
DF 5
,
求证：
AF
平分

DAB
。

【解析】

证明：
(
1
)
因为四边形

ABCD
为平行四边形，所以

DC//AB
，即
DF//BE
,
又因为
DF=BE
所以四边形

DEBF
为平行四边形。又因为

DEI AB
所以
/
DEB=90
,

所以平行四边形

DEBF
为矩形。

(
2
)
因为四边形

DEBF
为矩形，所以
/
BFC=90
。在△
BFC
中
,
CF=3, BF=4
,
根据勾股定理得，

BC CF
2
BF
2

3
2
4
2
5
，所以根据平行四边形的性质，

AD=BC=5
所以
AD=DF=5
所以
/
DAF=
/
DFA
因

为

DC//AB
，所以
/
DFA=/ FAB,
所以
/
DAF
玄

FAB
即

AF
平分
/
DAB
【举一反三】

【变式】如图，在平行四边形

ABCD
中
,
E
为
BC
的中点，连接

AE
并延长交

DC
的延长线于点

F
.
(1)
求证：
AB=CF
⑵

当
BC
与
AF
满足什么数量关系时，四边形

ABFC
是矩形，并说明理由
.
【解析】解答：

F

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特殊平行四边形讲义

⑴

证明：•••四边形

ABCD
是平行四边形
,
••• AB// CD, AB=CD

•••/
BAE=Z CFE
/
ABE
玄

FCE
••• E
为
BC
的中点，

•

EB=EC
•

△

ABE^
A
FCE
•

AB=CF.
⑵
当
BC=AF时
,
四边形
ABFC
是矩形。

理由如下：•••
AB// CF
,
AB=CF
•四边形
ABFC
是平行四边形，

•/
BC=AF
•四边形
ABFC
是矩形。










3
、如图，
△
ABC
中，点

0
是

BCA
的外角平分线于点

F
,



(1)
求证：
OE=OF
；

AC
上一个动点，过点

0
作直线

MN
//
BC,
设
MN
交
/
BCA
的平分线于点

E
,
交
/


(2)
当
点
0
运动到何处时，四边形

AECF
是矩形，并证明你的结论。





【解

析】


(
2)
当
0运动幽
C
中亢时
.
四边
皤
ABCF
対柜

好

理由，丁。是帆
的中点
.


VEO-FO


（
1
）
-g
平分
zJo
/. E3
边影
AECF
■是平斤
E3

边形


Z
ACE
-Z
BCE

VCE
AZ
ACB
的平分
6L CF
是
EACD
的平分銭


'.'MIJ
i
1
,
BC

■■
- £
ACR

■
i
/ACfi
■
ZXCF
>
- x£
4CP


，
:
ZECE
=
ZOEX

2
2

ZrfCT * ZJCF
*
厶
5
亠卜

1
盼一剜



■OE
-OC
二

_ECF=Z
A
CE +^1ACF=9O*



同理可將，
OF=OC
.:
四边戕尼
CF
为距形

.■
- CB- QF

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18.2
特殊平行四边形讲义

举一反三

【变式】如图，在等边三角形

ABC
中，点
D
是
BC
边的中点，以
AD
为边作等边三角形

ADE.

(1)
求
/
CAE
的度数
;
⑵取
AB
边的中点
F
,
连结
CF
、
CE
，试证明四 边形

AFCE
是矩形
.
ID
U
I
暮边三甫壮

且

.

-DA^Stf-BAC. K3..DAH- DAC
佃
,

■'
DAE
見需边三傭飛
,

.■
-
LAE- titl .

^CAE -Z DAE-ZCAD-3D
p

I

5
证响
.
^DACft^l^
三
甸 刑
.
F
是
AD
中点
.


I

A. BFC-90C

由

fl |45i f Afc Ml
・

x
：
ElAC-fil]'
K

仏

FAE^ftD i

/-AE CPi

V B
盘
f
是等惋三用刑

HAD. CF^SIgBC. AH
边曲中炊
,
/-AO-Cfi

RV AD AEr

ACp-AEi

・
「
C3
过ffSAFCE
星平行
ES
i2
刑
n

AFC-/FAE-WI

/
曰边卿
AFCE
是矩服

【考点】等边三角形的性质以及矩形的判定方法
.
矩形的判定定理：
(1)
有一个角是直角的
平行四边形是矩形
;
(2)
对角线相等的平行四边形是矩形；

(
3)
有三个角是直角的四边形是矩形

类型二、菱形的判定

CP
1.
如图在△
ABC
中
,
AD
平分
/
BAC
交BC
于
D
点，过
D
作
DE// AC
交
AB
于
E
点
，
过
D
作
DF// AB
交
AC
于

F
点
.
求

证：
(
1
)
四边形
AEDF
是平行四边形

；
(
2
)7
2
=
Z
3
;(
3
)
四边形
AEDF
是菱形。

fill
i£
^(ir.'DEl|AC
(
DFI|AD,
二四边龙一
UiLM'
是二
#
T
四込那
.

AD
平企

B VC.
—也

[HDFi AR. / 1_ 3
故八

(
3)
■/
□边
形血
EDF
呈平
匚达形
,
又」一出

A .VF-DF.
B
D
€

【解析】

■

-
…、

举一反三

【变式】已知：如图

二
ABCD
的对角线
AC
的垂直平分线与边

AD BC
分别交于
E
、
F
.
求
证：四边形

AFCE
是菱形
.
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特殊平行四边形讲义



【解析】证明：•••
AE// FC.



•••/
EAC
玄

FCA.



EAO
FCO
•••在△
AOE-
与
^
COF
中
,
AO CO

AOE

COF



•

E0=FO
•

△

AOE^
A
COF(ASA).
•四边形
AFCE
为平行四边形
,
又•••
EF
丄

AC,

•四边形
AFCE
为菱形
;
2.
如图，△
ABC
中，
AD
是边
BC
上的中线，过点

A
作
AE// BQ
过点

D
作
DE// AB DE
与
AC AE
分别交于点

O
点
E
,
连
接
EC.
(1)
求证：
AD=EC
(2)
当
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BAC=
90
时，求证：四边形

ADCE
是菱形
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［解析】

：计上：■宀
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门罕，右

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宀萍
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【方法总结】

举一反三
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