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2021年1月30日发(作者：完美的错误)

分式定义及性质

知识点

一、分式

分式的概念：
一般地，形如
A
的式子叫做分式，其中
A
和
B
均为整式，
B
中含有字母。

B
分式是否有意义的识别方法：

分式无意义的条件：





















；分式值为
1
的条件：





















；

分式有意义的条件：





















；分式值为
-1
的条件：





















；

分式为
0
的条件：





















；

二、分式的基本性质

分式的分子与分母同乘以（或除以）一个不等于
0
的整式，分式的值不变。

（
1
）分式的分子与分母都乘以（或除以）的整式不能为
0
；

（
2
）要充分理解基本性质中的“都”和“同”这两个字的含义，避免犯只乘分子 或分母一项的错误；

（
3
）分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中 任意一个，分式的值不变；

（
4
）因为分数线在分式中具有括号的作用，当 分子或分母为多项式，要把它看作一个整体变号时，
将多项式的各项都变号。

三、约分

根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。

分式约分的步骤：先把分式的分子与分母分解因式，再约去分子与分母的公因式。

（
1
）如果分式的分子、分母是单项式，约去分子、分母系数的最大公约数和相同因式的最低次幂 ；

（
2
）如果分式的分子与分母都是多项式时，可先把分子、分母分解因式 ，然后约去分子与分母的公
因式；

（
3
）当分式的分子或分母的系数是负数时，应先把负号提到分式的前边。

最简分式：
分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。
（分子、分母都是乘积形式 时，才能约分）

四、通分：

（
1
）分式通分的意义：< br>根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同
分母的分式，叫做分式 的通分。

（
2
）
通分的关键是
确定几个分式的公分母。

（
3
）
取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母，叫做
最简公 分母。

确定公分母时应注意：
系数取
各分母系数的最小公倍数
，< br>字母因式取
各分母所有字母因式的最高次幂
的积。

（
4）约分是对一个分式而言，是将分式简化；通分是对几个分式而言，是将分式化繁。

根据 分式的基本性质，将分式的分子和分母都乘以同一个数，就可以使它们各项的系数化为整数；这
个数显然 应取分子、分母中各项系数的最小公倍数。

分子或分分母的系数是负数时，一般先把负号提到分式本身的前面，或先去掉负号。

分子和分母中含有可以分解因式的多项式，应先把它们分解因式，然后再约去公因式。








- 1 -

例
1
、
下列式子中是分式的有




























。

（
1
）

1
3
1
1
a

b
2
；（
2
）
x
；（
3
）
；（
4
）
2；（
5
）
y

2
；（
6
）
；

y
a

b
3
x
m
3
2
abc
3
5
b
2

4
c
1
x
（
7
）
2
(
x

3
)
；（
8
）
4
x

；（
9
）
< br>；（
10
）
；（
11
）
。

3x

4
y

5
z
9
a
5【变式
1
】下列式子是分式的有


























。

（
1
）
1
x
3
1
x

1
1
；（
2
）
；（
3
）
；（
4
）
y

；（
5
）
；（
6
）
a

。

y

x
a

b
x

1
m

【变式
2
】下列式子是分式的有


























。


5
a
2
x
2

x

2
b
2
xy
2
x

7
x
1
（
1
）
；（
2
）


；（
3
）
；（
4
）
；（
5
）
2

；（
6
）
2

2
a

b
2
x

y
。
x

5
2
3

【变式
3
】下列式子是分式的有




















































。

x
2
1
x
2

1
3
xy
2
1
5
xy
15
3
9
a5
a

b
3
a
2

b
22
；
8
a
b
；
-
；
；
；2

；
；
；

；
；
；
；
。

x
2
4
2
x

y
x

y
a
m
23
2
x

y
6


【变式
4
】代数式

例
2
、
（
1
）当
x
取何值时，分式

a
m

1
1
1
,
,
(
x

y
),
,x
2

y
2
中分式有























。

3
m
2
a
3
x

1
有意义；

2
x

3
x
2
25
（
2
）当
x
取何值时，分式
的值为
0；

x

5

（
3
）当
x
取何值时，分式
x
没有意义。

x
2

9

【变式
1
】下列说法中正确的是












。

①分母等于零，分式无意义；②分母等于零且分子不等于零，分式无意义；

③分子等于零，分式的值为零；④分子等于零且分母不等于零，分式的值为零。

【变式
2
】下列关于分式的判断，正确的是

x

1
3
的值为零








B.
无论
x
为何值，
2
的值总为正数

x

2
x

1
3
x

3
C .
无论
x
为何值，
不可能得到整数值





D.
当
x

3
时，
有意义

x

1
x
A.

当
x

2
时，


- 2 -

【变式
3
】下列分式，对于任意的
x
值总有意义的是
x
2

1
x

5
x

12
x
A.

2






B.
2






C.





D.

8x
x

1
x

1
3
x
2
【变式
4
】当
x


2
时，下列分 式有意义的是

x

2
x

2
x

2
x

2






B.







C.
2








D.

x

2
2
x

4
x

4
x

2
3
a

b
【变式
5
】若
a
、
b
使分式
有意义，应满足的条件 是

a

b
A.
a

b





B.
a

b
，但

a
、
b
不都为零




C.
a

b




D.
a

b
，但

a
、
b
都不为零



A.
< br>【变式
6
】使分式
x

2
有意义，
x
应满足的条件是

(
x

1
)(
x
< br>2
)
A.

x

1





B.
x

2





C.
x

1
或
x

2






D.
x

1
且
x

2


【变式
7
】使代数式

【变式
8
】若代数式

【变式
9
】如果

【变式
10
】函数

x

3
x

2
有意义的
x
的值是




















。


x

3
x

4
1

x
有意义，则实数
x
的取值范围是












。

x

1
x
有意义，那么
x
的取值范围是












。

x

1
x

2

x

1
的自变量
x
的取值范围是












。

x

1
x
2

9
【 变式
11
】若分式
2
有意义，则
x
应满足的条件是












。

x

4
x

3

x
都有意义，则
m
所满足的条件是

x
2

m
A.

m

0





B.
m

0



C.
m

0





D.
m

0

【变式
12
】若对于任意数
x
分式

1
不论
x
取何实数总有意义，则
m
的取值范围是

2
x

6
x

m
A.

m

9






B.
m

9





C.

m

9





D.
m

9

【变式
13
】若 分式
【变式
14
】已知分式
(
x

1
)(
x

3
)
有意义，则
x
的取值为












。

(
x

1
)(
x

3
)
3
x
5
x

3
有意义，试 判断
是否有意义。

x

2

x

2
- 3 -
【变式
15
】已知分式


【变式
16
】 （
1
）当
x
为何值时，分式
5
x
无意义。

3
2

x

2
（
2
）当
x
为何值时，分式
x
有意义。

2
x
x

x

1
的值为零，则
m
的值为












。

【变式
17
】若分式
m

1
m

m
2
【变式
18
】如果分式
3
有意义 ，那么
x
的取值范围是












。

x

3
x
2

1
【变式
19
】分式
的 值为零，则
x
的值为












。

x

1
【变式
20
】当分式

【变式21
】
当
x


2
时，
分式
x

5
x
2

4
x

5
的值为
0
是，
x
的值为












。

x

b
无意义；
当
x

4
时，
此分 式的值为
0
，
则
a

b













。

x

a
2
x

1
2
x

1

0
。

【变式
22
】当
x
=






时，
【变式
23
】如果
x

2
x

x

6
2

0
，则
x
的值为












。

x
2

x

6
【变式
24
】当
x
=






时，分式
的值为零。

(
1

x
)(
x

3
)
【变式
2 5
】如果分式：
x
5
1

x

1
有意义，那么
x
的取值范围是












。


【变式
26
】如果分式

【变式
27
】分式

x




a



中，当
x


a
时，下列结论正确的是



2
x
，当
x
=






时，分式的值为零；当
x
=






时，分式无意义。

5
x

1
3
x

1
1
1
a


a


A.
分式的值为零




B.
分式无意义




C.
若








，
分式的值为零



D.
若








，
分式的值为零



3
3
【变式
28
】当
x
取什 么数时，分式
x

3
x
2

8
x

15
（
1
）有意义？（
2
）值为零？


- 4 -

(
2
x

3
)
2

(
2
x

5
)
2
【变式
29
】已知分式

(
3
x

4
)

(
3
x

5
)
2
（
1
）当
x
为何值时，分式无意义？

（
2
）当
x
为何值时，分式的值为零？

（
3
）当
x
为何值时，分式的值为

1
？





a
可变形为

a

b
a
a
a
a
A.







B.








C.






D.



a

b
a

b
a

b
a

b
例
3
、
根据分式的基本性质，分式

【变式
1
】若
ac

bd
(
ac

0
)
，则下列比例式中不成立的是

A.

a
b
b
a
a
b
b
c







B.







C.






D.


d
c
c
d
c
d
a
d

x

y
相等的是


x

y
【变式
2
】与分式
A.

x

y
x

y
x

y
x

y






B.







C.







D.

x

y
x

y
x

y

x

y
2
x

3
的值相同的是

4

x
3

2
x
2
x

3
3

2
x
3

2
x
A.








B.








C.






D.


4

x
4

x
4

x
x

4
a
a
(
a

1
)
【变式4
】等式
成立的条件是













。


2
a

1
a

1
【变式
3
】下列分式中与分式



例
4
、
不改变分式的 值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数：

1
x

y
4
1
3
2
0
.
3
m

0
.
5
n
3
（
1
）






















（
2
）

























（
3
）
3


4
a

a
1
1
0
.
6
m

0
.
4
n
x

y
1
2
1

a

a

5
2
2
3


1
2
y
5
的分子与分母的最高次项的系数是整数。

【变式
1
】不改变分式的值，使分式
1
x

y
2
2
x



- 5 -

【变式
2
】不改变分式的值，把下面分式的分子与分母中各项的系数都化为整数，且最高次项的系数
是正数：

1
1
1
m

m
2
2< br>x

1

x
2
5




































（
2
）

2
（
1
）

2






1
1
1
2
1
3

m


x

x

3
4
3
2







【变式
3
】化简：不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数 都化为整数：


0
.
01
x
2

0
.
2
x
0
.
25
x

0.
2
y
0
.
5
x

y
（1
）



















（
2
）





2


















（
3
）

1
.
5
x

y
1
.
2
x

0
.
24
x
0
.
2
x

4






1

x
2

1

x
2



。
【变式
4
】
不改变分式的值，< br>使分式
中分子与分母的最高次项的系数是正数，
则


1

x
2

1

x
2

5
y
2
的值，把分子、分母中各项系数化成整数，那么结果是
【变式
5
】不改变分式
2
x

y
3
2
x

A.


例
5
、
对下列分式进行约分：


2
x< br>
15
y
4
x

5
y
6
x

15
y
12
x

15
y




B.




C.




D.

4
x

y
2
x

3
y
4
x

y
4
x

6
y

3
a

3
b
x
2

1
m
2

2
m

1


32
（
1
）



a


b


c








（
2
）








2









（
3
）





2














（
4
）

2
(
a

b
)
x

2
x

1
2
3


1

m
24
a
b
d


3
2





- 6 -

-

-

-

-

-

-

-

-