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2021年1月30日发(作者：动画大电影)
分式的概念和性质（基础）

【学习目标】

1.
理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为
0
的条件
.
2
．掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式恒等变形，进而进行条件计算
.
【要点梳理】

【高清课堂
403986
分式的概念和性质

知识要点】

要点一、分式的概念
< br>一般地，如果
A
、
B
表示两个整式，并且
B
中含有字 母，那么式子
A
叫做分式
.
其中
A
B
叫做分子，< br>B
叫做分母
.
要点诠释：
（
1
）分式的形式和分数 类似，但它们是有区别的
.
分数是整式，不是分式，
分式是两个整式相除的商式
.
分式的分母中含有字母；分数的分子、分
母中都不含字母
.

（
2
）
分式与分数是相互联系的：
由于分式中的字母可以表示不同的 数，
所以
分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况
.

（
3
）分母中的“字母”是表示不同数的“字母”
，但π表示圆周率，是一个
常数，不是字母，如
a
是整式而不能当作分式
.


（
4
）分母中含有字母是分式的一个重要标 志，判断一个代数式是否是分式
x
2
y
不能先化简，如
是分式，与< br>xy
有区别，
xy
是整式，即只看形式，
x
不能看化简的结果
.
要点二、分式有意义，无意义或等于零的条件

1.
分式有意义的条件：分母不等于零
.
2.
分式无意义的条件：分母等于零
.
3.
分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零
.
要点诠释：
（
1
）分式有无意义与分母有关但与分子无关，
分式要明确其是否有意义，就
必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零
.

（
2
）
本章中如果没有特殊说明，
所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式
中分母的值不等于零
.

（
3
）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值
.
要点三、分式的基本性质

分式的分子与分母同乘
(
或除以
)
一个不等于
0
的整式，分式的值不变，这个性质叫做
分式的基本性质，用式子表示是：
A
A

M
A
A

M< br>
，

（其中
M
是不等于零的整式）
.
B
B

M
B
B

M
要点诠释：
（< br>1
）基本性质中的
A
、
B
、
M
表示的是整式
.
其中
B
≠
0
是已知条件中隐含着
的条件，一般在 解题过程中不另强调；
M
≠
0
是在解题过程中另外附加
的条件，在运用分式的基本性质时，
必须重点强调
M
≠
0
这个前提条件< br>.
（
2
）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分 式
中字母的取值范围有可能发生变化
.
例如：
字母
x
的取值 范围变大了
.
，
在变形后，
1
/
10
要点四、分式的变号法则

对于分式中的分子、
分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，
分式的值不变；
改变
其中任何一个或三个，分式成为原分式的 相反数
.
要点诠释：
根据分式的基本性质有

b
b

b
b
.
根据有理数除法的符号法则有

，
< br>
a
a
a

a

b
b
b< br>a
a



.
分式
与

互 为相反数
.
分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着
a

aa
b
b
重要的作用
.
要点五、分式的约分，最简分式

与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的
值，
这样的分式变形叫做分式的约分
.
如果一个分式的分子与分母没有相同的因式
（1
除外）
，
那么这个分式叫做最简分式
.
要点诠释：
（
1
）约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分
母再没有公 因式
.
（
2
）约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式
.分子、分母的公因式
是分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积；当分式
的 分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之转化为分子
与分母是不能再分解的因式积的形式， 然后再进行约分
.

要点六、分式的通分

与分数的通分类似，利用分式的基本性质，
使分式的分子和分母同乘适当的整式，
不改
变分式的值，把 分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分
.
要点诠释：
（
1
）
通分的关键是确定各分式的最简公分母：
一般取各分母所有因式的最高
次幂的积作为公分母
.

（
2
）
如果各分母都是单项式，
那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相
同字母的最高次幂的乘 积；
如果各分母都是多项式，
就要先把它们分解
因式，然后再找最简公分母
.

（
3
）
约分和通分恰好是相反的两种变 形，
约分是对一个分式而言，
而通分则
是针对多个分式而言
.
【典型例题】

类型一、分式的概念

1
、下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？


2
xm

1
2
5
a
2
2
，
，，
3

x
，
，
，

．
a
a
3
m
3

【思路点拨】
x
52
5
，
，

虽具有分式的形式，但分母不含字母，其中
的分母中

表示
3

3

一个常数，因此这三个式 子都不是分式．

【答案与解析】

x
2
5
2m

1
a
2
2
解：整式：
，

，
，
3

x
，分式：
，
，
．

a
3
3

a
m
【总结升华】
判断分式的依 据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不
含有字母则不是分式．

2
/
10
类型二、分式有意义，分式值为
0
2
、下列各式中，
m
取何值时，分式有意义？

（
1
）
1
m
3
m
；
（
2
）
；
（
3
）
．

|
m
|

2
m

2

m
2

9
【答案与解 析】

解：
（
1
）由
m

2
< br>0
得
m


2
，

故当
m


2
时分式
m
有意义．

m

2
（
2
）由
|
m
|

2

0
得
m


2
，

故当
m


2
时分式
1
有意义．

|
m
|

2
2
（
3
）
由

m

9


(
m

9 )

0
，
即无论
m
取何值时

m

9
均不为零，
故当
m
为任
2
2
意实数时 分式
3
m
都有意义．

2

m

9
【总结升华】
首先求出使分母等于零的字母的值，
然后让未知数不等于这些值，便可使分式
有意义．这是解答这类问题的通用方法．

举一反三：

【变式
1
】在什么情况下，下列分式没有意义
?
（
1
）
【答案】

解：分式没有意义的条件是分式的分母等于
0
．

（
1）由
x
(
x

7)

0
，得
x

0
或
x


7
，

∴

当
x

0
或
x


7
时，原分式没有意义．

（
2
）由
x

0
，得
x

0
，


∴

当
x

0
时，原分式没有意义．

（
3
）由
x
≥
0
得，
x

2

0
，即
x

2

0
，
∴

当
x
取一切实数，原分式都有意义，即没有
x
值能使分式没有意义．

【变式
2
】当
x
为何值时 ，下列各式的值为
0
．

2
2
2
2
3x
x

1
x

2
；
（
2）
2
；
（
3
）
2
．

x(
x

7)
x
x

2
x
2< br>
x
2
x

1
x

2
（< br>1
）
；
（
2
）
2
；
（
3< br>）
2
．

x

1
3
x
< br>2
x

4
【答案】

3
/
10
解：
（
1
）由
2
x

1

0
得
x


1
，

2
1
1
当
x


时，
3
x

2
3

(

)

2

0，

2
2
1
2
x

1
∴

当
x


时，分式
的值为
0
．

2
3
x

2
（
2
）由
x

x

0
得
x

0
或
x


1
，

当
x

0
时，
x

1

0

1

0
，

当
x


1
时，
x

1
(

1)

1

0
，

2
2
2
2
x
2

x
∴

当
x

0
时，分式
2
的值为
0
．

x

1
（
3
）由
x

2

0
得
x


2
，

当
x


2
时，
x

4
(

2)

4

0
，

∴

在分式有意义的前提下，分式
类型三、分式的基本性质

3
、不改变分式的值，将下列分式的分子、分母中的系数化为整数．

2
2
x

2
的值永不为
0
．
< br>2
x

4
1
1
x

y
0. 2
x

y
4
．

（
1
）
；

（
2
）
3
1
1
0.02
x

0.5
y
x

y
2
3
【思路点拨】
将（
1
）式中分子、分母同乘
50
，
（
2
）式的分子、分母同乘
12
即可．

【答案与解析】

解：
（
1
）
(0.2
x

y
)

50
10
x

50y
0.2
x

y


．

x

25
y
0.02
x

0.5
y
(0.02
x

0.5
y
)

50
1

1
1
1
x

y

12
x

y

4
x

3
y< br>3
4

4



（
2
）< br>3
.
1
1
1

6
x

4
y

1
x

y

x

y


12
2
3
3


2
【总结升华】
利用分式的基本性质，分式的分子与分母同乘
(
或除以
)
一个不等于
0
的整式，
分式的值不变
.
举一反三：
< br>【变式
1
】如果把分式
2
x
中的
x
,
y
都扩大
3
倍，那么分式的值（

）

3
x

2
y
4
/
10
A
扩大
3
倍
B
不变
C
缩小
3
倍
D
扩大
2
倍

【答案】
B
；

【变式
2
】填写下列等式中未知的分子或分母．

x
y
x
2

y
2
(
b

a)(
c

b
)
?


（
1< br>）
；

（
2
）
．

x

y
?
(
a

c
)(
a

b
)(
b

c
)
a

c
【答案】
(
x

y
)
；
1
；

解 ：
（
1
）先观察分子，等式左边分式的分子为
x

y
，而等式的右边分式的分子为
x

y
，
由于
(
x

y
)(
x

y
)

x

y
，即将等式左边分式的分子乘以
x

y
，因而分母也要 乘以
2
2
2
2
2
x

y
，所以在 ？处应填上
(
x

y
)
2
．

（
2
）先观察分母，等式左边的分母为
(
a

c
)(
a

b
)(
b

c
)
，等式右边 的分母为
a

c
，
根据分式的性质可知应将等式左边分式的分子、分 母同时除以
(
a

b
)(
b

c
)
，因为
(
b

a
)(
c

b< br>)

[(
a

b
)(
b

c
)]

1
，所以在？处填上
1
．

4
、

不改变分式的值，使下列分式的分子和分母不含“－”号．

（
1
）

4
x

2
a
3
m
2
b
；
（
2
）
；
（
3
）
；
（
4
）

．


5
y
b

n

3
c
【答案与解析】

解：
（
1
）

4
x
4
x

2
a
2
a
3
m
3
m
2
b
2
b


（
3
）

（
4
）

．




（
2
）




5
y
5
y
b
b

n
n

3
c
3
c
【总结升华】
在分子、分母、分式本身中，只有任意两个同时改变符号时，才能保证分式的< br>值不变．一般地，在分式运算的最后结果中，习惯于只保留一个负号，写在分式的前面．

类型四、分式的约分、通分

5
、

将下列各式约分：

15
x
n

2
y4
4
ax
2
16
m

m
3
a

1
（
1
）
；
（
2
）

；
（
3
）
2
；
（
4
）
2
．

n
3
3
3
x
y
12
x
m

m

20
a

1
【答案与 解析】

4
ax
2
4
x
2
a
a< br>解：
（
1
）
．



12
x
3
4
x
2
3
x
3
x
5
/
10

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