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2021年1月30日发(作者：十大民间故事)






























分式的概念和性质（提高）

【学习目标】

1.
理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为
0
的条件
.
2
．掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式恒等变形，进而进行条件计算
.
【要点梳理】

【高清课堂
403986
分式的概念和性质

知识要点】

要点一、分式的概念
< br>一般地，如果
A
、
B
表示两个整式，并且
B
中含有字 母，那么式子
A
叫做分式
.
其中
A
B
叫做分子，< br>B
叫做分母
.
要点诠释：
（
1
）分式的形式和分数 类似，但它们是有区别的
.
分数是整式，不是分式，
分式是两个整式相除的商式
.
分式的分母中含有字母；分数的分子、分
母中都不含字母
.

（
2
）
分式与分数是相互联系的：
由于分式中的字母可以表示不同的 数，
所以
分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况
.

（
3
）分母中的“字母”是表示不同数的“字母”
，但
π
表示圆周率，是一个
常数，不是字母，如
a

是整 式而不能当作分式
.

（
4
）分母中含有字母 是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式
x
2
y
不能先化简，如< br>是分式，与
xy
有区别，
xy
是整式，即只看形式，
x
不能看化简的结果
.
要点二、分式有意义，无意义或等于零的条件

1.
分式有意义的条件：分母不等于零
.
2.
分式无意义的条件：分母等于零
.
3.
分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零
.
要点诠释：
（
1
）分式有无意义与分母有关但与分子无关，
分式要明确其是否有意义，就
必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零
.

（
2
）
本章中如果没有特殊说明，
所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式
中分母的值不等于零
.

（
3
）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值
.
要点三、分式的基本性质

分式的分子与分母同乘
(
或除以
)
一个不等于
0
的整式，分式的值不变，这个性质叫做
分式的基本性质，用式子表示是：
A
A

M
A
A

M< br>
，

（其中
M
是不等于零的整式）
.
B
B

M
B
B

M
要点诠释：
（< br>1
）基本性质中的
A
、
B
、
M
表示的是整式
.
其中
B
≠
0
是已知条件中隐含着
的条件，一般在 解题过程中不另强调；
M
≠
0
是在解题过程中另外附加
的条件，在运用分式的基本性质时，
必须重点强调
M
≠
0
这个前提条件< br>.
（
2
）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分 式
中字母的取值范围有可能发生变化
.
例如：
字母
x
的取值 范围变大了
.
，
在变形后，
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要点四、分式的变号法则

对于分式中的分子、
分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，
分式的值不变；
改变
其中任何一个或三个，分式成为原分式的 相反数
.
要点诠释：
根据分式的基本性质有

b
b

b
b

，

.
根据有理数除法的符号法则有< br>
a
a
a

a

b
b
b< br>a
a



.
分式
与

互 为相反数
.
分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着
a

aa
b
b
重要的作用
.
要点五、分式的约分，最简分式

与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的
值，
这样的分式变形叫做分式的约分
.
如果一个分式的分子与分母没有相同的因式
（1
除外）
，
那么这个分式叫做最简分式
.
要点诠释：
（
1
）约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分
母再没有公 因式
.
（
2
）约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式
.分子、分母的公因式
是分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积；当分式
的 分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之转化为分子
与分母是不能再分解的因式积的形式， 然后再进行约分
.

要点六、分式的通分

与分数的通分类似，利用分式的基本性质，
使分式的分子和分母同乘适当的整式，
不改
变分式的值，把 分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分
.
要点诠释：
（
1
）
通分的关键是确定各分式的最简公分母：
一般取各分母所有因式的最高
次幂的积作为公分母
.

（
2
）
如果各分母都是单项式，
那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相
同字母的最高次幂的乘 积；
如果各分母都是多项式，
就要先把它们分解
因式，然后再找最简公分母
.

（
3
）
约分和通分恰好是相反的两种变 形，
约分是对一个分式而言，
而通分则
是针对多个分式而言
.
【典型例题】

类型一、分式的概念

【高清课堂
403986
分式的概念和性质

例
1
】

1
、
指出下列各式中的整式与分式：，
1
x
a

b
x
3
2
1，
，
，
2
，

，

3
2
y
2
，
3
2

x

1x

y
x
2
y
2
，
．
4
x
【思路点拨】
判断分式的依据是看分母中是否含有字母，
如果含有字 母则是分式，
如果不含
有字母则不是分式．

【答案与解析】
a

b
x
2
y
2
2
解：整式有：，
，

，

3

2
y
，；

3
2

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1
3
x
2
1
分式有：
，
，
，
．
x
x

y
x
2

1
x
【总结 升华】
判断分式的依据是看分母中是否含有字母．此题判断容易出错的地方有两处：
一个是把< br>π
也看作字母来判断，
没有弄清
π
是一个常数；
另一个就是将 分式化简成整式后
x
2
再判断，如
x
和
，前一个是整式，后 一个是分式，它们表示的意义和取值范围是不相同
x
的．

类型二、分式有意义，分式值为
0
【高清课堂
403986
分式的概念和性质

例
2
】

2
、

当
x
取什么数时，下列分式有意义？当
x< br>取什么数时，下列分式的值为零？

（
1
）
x
x
5
2
x

10
；
（
2
）< br>；
（
3
）
．

2
2
x
< br>1
x

5
x
2
【答案与解析】

解 ：
（
1
）当
x

1

0
，即x


1
时，分式有意义．

∵

x
为非负数，不可能等于－
1
，

∴

对于任意实数
x
，分式都有意义；

当
x

0
时，分式的值为零．

（
2）当
x

0
即
x

0
时，分式有意义 ；

当

2
2
2

x

0,
即
x

5
时，分式的值为零


x< br>
5

0,
（
3
）当
x

5

0
，即
x

5
时，分式有意义；
< br>
x

5

0,
①
当

时 ，分式的值为零，

2
x

10

0
②< br>
由①得
x

5
时，由②得
x

5
，互相矛盾．

∴

不论
x
取什么值，分式2
x

10
的值都不等于零．

x

5
【总结升华】
分母不为零时，分式有意义；分子的值为零，而分母的值不为零时，分式的值< br>为零．

举一反三：

【变式
1
】若分式
【答案】
－
2
；
< br>x

2
x

5
x

6
2< br>的值为
0
，则
x
的值为
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提示：由题意


|
x
|

2

0
2

x

5
x

6

0
，



|
x
|

2

0
，所以
x


2
.


x

3

x

2
< br>
0
【变式
2
】当
x
取何值时，分式
【答案 】

x

2
的值恒为负数？

2
x
6

x

2

0,

x< br>
2

0,
解：

由题意可知

或


2
x

6< br>
0,
2
x

6

0.


解不等式组


x

2

0,
该不等式组无解．


2
x

6

0,< br>
x

2

0,
解不等式组

得< br>
3

x

2
．

2
x< br>
6

0.

所以当

3

x

2
时，分式
类型三、分式的基本性质

【高清课堂
403986
分式的概念和性质

例
4
】

3
、不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数
.


(1)
【答案与解析】

解：
(1)
；

；
(2)
；
(3)
.
x

2
的值恒为负数．

2
x

6
(2)



a
1

a

1
；


a
2

2
a
2

2
.
(3 )
【总结升华】
(1)
、
根据分式的意义，
分数线代表除号，
又起括号的作用；
(2)
、
添括号法则：
当括号前添“＋”号，括号内各项 的符号不变；当括号前添“—”号，括号内各项都变号
.
举一反三：

【变式】下列分式变形正确的是（

）

x
x
2
m

n
(
m

n
)
2
(
m

n
)
2
A
．

2
B
．



y
y
m

n
(
m

n
)(
m

n
)
m
2

n
2
C
．
1

x
1
b
ab


2

D
．
2x

2
x

1
x

1
aa
【答案】
D
；

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提示：将分式 变形时，注意将分子、分母同乘（或除以）同一个不为
0
的整式这一
条件．其中
A
项分子、分母乘的不是同一整式，
B
项中
m

n

0
这一条件不知是
否成立，故
A
、
B
两项均是 错的．
C
项左边可化为：
项亦错，只有
D
项的变形是正确的．

类型四、分式的约分、通分

1

x
1
1，故
C


(1

x
)
2
1

x
x

1
a
2

2
a

1
2
n
2

m
4
、约分：（
1
）
；
（
2
）
；

a2

1
2
mn

4
n
3
通分 ：
（
3
）
【答案与解析】

3
a

b
1
4
x
2
与
；
（
4
）
，
，
．

2
2
2
x

4
2
a
b
ab
c
x

2
x
2
a
2

2
a

1
(
a
1)
2
a

1
解：
（
1
）
；



a
2

1
(
a

1)(
a

1)
a

1
12
n
2

m
2
n
2

m
(
m

2
n
2
)

（
2
）
；



3
2
22
n
2
mn

4
n
2
n
(< br>m

2
n
)
2
n
(
m
< br>2
n
)
（
3
）最简公分母是
2
a
b
c
．

2
2
3
3

bc
3
bc
a

b
(
a

b
)

2
a
2
a
2

2
ab
．

2

2
2
，
2

2
2
2
2
2
a
b
2
a
b
bc
2
a
b
c
ab
c
ab
c

2
a
2
a
b
c
（
4
）最简公分母是
(
x

2)(
x

2)
，

4
x
4
x
1
x

2
x

2
2
2(
x

2)
2
x

4

2


2


2
，
2
，
．

x

2
(
x

2)(
x

2)
x

4
x

4
x

4
x

2
(
x

2)(
x

2)
x

4
【总结升华】如果分子、分母都是单项式，那么可直接约去分子、分母的公因式，也就是分
子、
分母系数 的最大公约数与相同字母的最低次幂．
通分的关键是确定几个分式的最简公分
母，
若分 母是多项式，
则要因式分解，
要防止遗漏只在一个分母中出现的字母以及符号的变
化情 况．

类型五、分式条件求值

x
x
2

2
xy

3
y
2
5
、若

< br>2
，求
2
的值．

2
y
x

6
xy

7
y
【思路点拨】
本题可利用分式的基本性质，
采用整体代入法，
或把分式的分子与分母化成只
含同一字母的因式，使问题得到解决．

【答案与解析】

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