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2021年1月30日发(作者：李雷和韩梅梅mv)

分式有意义的条件及基本性质



1.
分式有意义的条件

分式有意义的条件：分式的分母不等于零。

分 式的值为零的条件：
（
1
）分子为
0
；
（
2
）分母不为
0
。这两个条件缺一不可。

2.
分式的基本性质

分式的分子与分母都乘（或除）以同一个不等于
0
的整式，分式的值不变。用式子表示为：

A
A

C
AA

C

，

，

C
0

，其中
A
、
B
、
C
都是整式。< br>
B
B

C
B
B

C
注意 条件：

①
C
是一个不等于
0
的整式，如
1
2
x

1

2
，其中必须满足
2
x
1

0
；

2
x

14
x

1
②要深刻理解“都”
“同一个”两个关键的含义，避免 犯只乘分子（或分母）的错误；

③若分式的分子或分母是多项式，要先用括号把分子或分母括 上，再乘（或除）以同一整式
C
；

④分式的基本性质是分式进行约分、通分和符号变化的依据。

3.
分式的约分、通分


解析定义

利用分式的基本性质，
一般要约去分子和分母
约分

所有的公因式，使所得
结果成为最简分式或者
整式。

方法技巧

找公因式方法：

①约去系数的最大公约数；

②约去分子、
分母相同因式的
最低次幂。

确定最简公分母的方法：

利用分式的基本性质，
是把几个异分母的分式
通分

分别化成相同分 母的分
式。通分保证：
（
1
）各
注意条件

约分时 ，分子或分母若
是多项式，能分解则必
须先进行因式分解，再
找出分子和分母的公因< br>式进行约分。

通分时，①要先确定各
①各分母系数的最小公倍数；

分式的公分母，一般取
②各分母所含有的因式；

③各分母所含相同因式的最
高次幂；

各分母的所有因式的最
高次幂 的积作公分母；
②
分
子
或
分
母
是
多
项
式，能分解则必先进行
因式分解，再确定最简
公倍数进行通分。

分式与原分式相等；
（
2
）
④所得的系数与各字母
（或因
各分式分母相同。

式）
的最高次幂的积
（其中系
数都取正数）
。




例题
1

若分式
x
-
1< br>的值为零，则
x
的值为
________
。

x+
1
解析：
分式的值为零的条件是：
（
1
）分子＝0
；
（
2
）分母不等于零；两个条件需要同时具备，缺
一不可， 从而可以解答本题。

答案：
解：
x
-
1
=
0

x+
1
则
x
-
1
=
0
，即
x< br>

1
，

且
x

1
< br>0
，即
x


1
，

故
x
＝
1
。

所以若分式
x
-< br>1
的值为零，则
x
的值为
1
。

x
+
1
点拨：
本题考查了分式值为零的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：
（
1
）分式无意义

分母为零；

（
2
）分式有意义

分母不为零；

（
3
）分式值为零

分子为零且分母不为零。


1
1
2
-
4
a
-
+
+
例 题
2
＝
_____________
。

1
+
a
a
-
1
-
1
-
a
2
a
4
+
1
解析
：
先将前两个分式通分，将所得的结果再与后面 的式子通分，依次计算即可。

2
2
1
1
2
4a
-
-
2
-
4
答案：
解：原式＝
< br>a
+
1
a
-
1
a
+
1
a< br>+
1
=
=
-
2
a
-
1
-< br>4
a
4
2
2
-
-
2
a
+< br>1
4
a
4
2
2
-
4
a
4< br>2
a
+
1

a
-
1
8
a< br>8
a
+
1
6
=
-
a
-
1< br>点拨：
本题考查了通分，解决此题的关键是找到各分母的最简公分母。




巧用整体代入求值技巧

在解答给定条件下求分式的值这类问题 时，需要把待求值的分式进行恒等变形，转化成能用已
知条件表示的形式，再代入计算，或先把条件进行 化简再采用上述方法求值。

拓展：
（芜湖中考）已知
1
1
2
x
-
14
xy
-
2
y
的值为
_ _________
。

-
=
3
，则代数式
xy
x
-
2
xy
-
y
解析：
由
1
1
-
=
3
，通分可得：
y
－
x
＝
3xy
，然后将其代入原式变化后的式子即可求值。

x
y
1
1
-
=
3

x
y
答案：
解：

y

x

3
xy< br>
又
原式
=
2
x
-
2
y
-
14
xy
2(
x
-
y
)
-
14< br>xy
，

=
(
x
-
y
)
-
2
xy
(
x
-
y
)
-
2
xy
将
y
－
x
＝
3xy
代入得：


原式

2

(

3
xy
)< br>
14
xy

20
xy


4

3
xy

2
xy

5
x y
故答案：
4
点拨：
解决本类题型的关键是根据分式的基本性质化简分式， 运用整体代入的数学思想，比如
本题将

1
1
-
=
3
，变形为
y
－
x
＝
3xy
，代入求值。

x
y

（答题时间：
45
分钟）

一、选择题

*1.
如果代数式
A.
x

0

**2.
若分式
A.
m
³
3.
把
x
有意义，那么ｘ的取值范围是（


）

x
-
1
B.
x

1



C.
x
>
0



D.
x

0
且
x

1


1
不论
x
取何值总有意义，则
m
的取值范围是（

）

2
x

2
x

m
B. m>1

C.
m
£
1

1

D. m<1
1
1
2
,
,

通分过程中，不正确是（


）

2
x
-
2
(
x
-
2
)(
x
+
3
)
(
x
+
3
)
2
A.
最简公分母是(
x
-
2
)(
x
+
3
)





2
1
(
x
+
3
)
B.

=
2
x
-
2
(
x
-
2
)(x
+
3
)
C.
1
x
+
3



=
2
(
x
-
2
)(
x
+
3
)
(
x
-
2
)(
x
+
3
)
D.
2
(
x
+
3
)< br>2
=
2
x
-
2
(
x
-
2< br>)(
x
+
3
)
2

4.
分式：①
A. 1
个

a

2
a
b
1
4
a
，②
，③
，④
中，最简分 式有（


）

2
2
2
x
2
a

3
a

b
12

a< br>
b



B. 2
个



C. 3
个


D. 4
个

5.
若
3
x
－
2
y
=0
，则< br>x
等于（


）

y
3


2
C.

A.

2

3
B.
2
2

D.
或无意义

3
3
二、填空题

*6.
若 分式
2
2
a
中的
a
、
b
的值同时扩大到原 来的
10
倍，则分式的值是

。

a
+
b
2
7.
化简
a
-
b2
的结果为
_________
。

a
+
ab
b
2

c
2
8. 已知
a
：
b
：
c=2
：
3
：
5
，则
的值为

。

2
a

三、解答题

*9.
（
1
）当
x
为什么数时，分式
x
+
2
x
-
1
有意义？（
2
）当
x
为什么数时，分式
的值为
0< br>？
2
2
x
-
5
x
-
1
（< br>3
）当
x
为什么数时，分式
x
-
2
的值为负 数？

x
+
3
**10.
在学习“分式”时，小明和小丽 都遇到了“当
x
取何值时，
x
+
2
x
-
4
2
有意义”的问题。

小
明
的
做
法
是
：
先
化
简
x
+
2
x
-
4
2
=
1
x
+
2
1
，
要
使
有
意
义
，
必
须
=
x
-
2
(
x
-
2
)(
x
+
2
)x
-
2
x
-
2
?
0,
即
x< br>?
2
；

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