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2021年1月30日发(作者：车站歌曲)
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13
、分式总复习


【知识精读】

A

定义：
（
A
、
B
为整式，
B
中含有字母）

B



A
A

M


通分：

(
M

0
)


B
B

M

性质



约分：
A

A

M
(
M

0
)


B
B

M



5
1

分式

定义：分母含有未知数的方程。如



x

1
x

3



思想：把分式方程转化为整式方程< br>






方法：两边同乘以最简公分 母

分式方程

解法




依 据：等式的基本性质



注意：必须验根





应用：列分式方程解应用题及在其它学科中的应用









【分类解析】

1.
分式有意义的应用



例
1.
若
ab

a

b

1

0
，试判断
1
1
，
是否有意义。

a

1
b

1




分析：
要判断
1
1
，
是否有意义，须看其分母是否为零，由 条件中等式左边因
a

1
b

1
式分解，即可判断
a

1
，
b

1
与零的关系。





解：

ab

a

b

1

0






a
(
b

1
)

(
b

1
)

0





即
(
b

1
)(
a

1
)

0






b

1

0
或
a

1

0






1
1
，
中至少有一个无意义。

a

1
b

1



2.
结合换元法、配方法、拆项法、因式分解等方法简化分式运算。

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a
2

a

1
a
2

3
a

1



例
2.
计算：

a

1
a

3




分析：
如果先通分，
分子运算量较大，
观察分子中含分母的项与分母的关系，
可采取
“分
离分式法”简化计算。





解：
原式

a
(
a

1
)

1
a
(
a

3
)

1


a

1
a

3
1
1

(
a

)
a

1
a

3

a















1
1

a

1
a

3

(
a

3
)

(
a

1
)


(
a

1
)(
a

3
)


2
a

2
(
a

1
)(
a

3
)

1
x
2

5
x

5

2


例
3.
解方程：
1

2

x

7
x

6
x

5
x

6




分析：
因为
x
7
x

6

(
x

1
)(< br>x

6
)
，
x

5
x
< br>6

(
x

2
)(
x

3
)
，所以最简公
分母为：
(
x

1
)(< br>x

6
)(
x

2
)(
x

3
)
，若采用去分母的通常方法，运算量较大。由于
2
2
x
2

5
x

5
x
2

5
x

6

1
1


1

故可得如下解法。

2
2
2
x

5x

6
x

5
x

6
x
5
x

6
x
2

5
x
6

1
1

1





解：


x
2

5
x

6
x
2

5
x

6




原方程变为
1

1
1

1

< br>x
2

7
x

6
x
2
< br>5
x

6

1
1

x
2< br>
7
x

6
x
2

5
x< br>
6
2
2





x< br>
7
x

6

x

5
x< br>
6


x

0




经检验，
x

0
是原方程的根。




3.
在代数求值中的应用

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例
4.
已知
a

6
a

9
与
|
b

1
|
互为相反数，求代数式

2
4
a

b
a
2

ab

2
b
2
b
(
2

)

2

的值。

a
a
b
2
ab
2

a
2
b
a< br>b

2
ab
2




分
析
：
要
求
代
数
式
的
值
，
则
需
通
过
已
知
条
件
求
出
a
、
b
的
值
，
又
因
为
a
2

6
a

9

(
a

3
)
2

0
，
|
b

1
|

0
，利用非负数及相反数的性质可求出
a
、
b
的值。





解：
由已知得
a

3

0
，
b

1

0
，解得
a

3
，
b

1
4
a

b
a
2

ab

2< br>b
2
b

]







原式

[
(
a

b
)(
a

b
)
ab
(
b

a)
ab
(
a

2
b
)
a
< br>(
a

b
)
2
a
2

b< br>2

ab

b
2
b

[
]


ab
(
a

b
)(
a

b
)
ab
(
a

2
b
)a

(
a

b
)
2
ab
(< br>a

2
b
)
b











ab
(
a

b
)(
a

b
)
(
a

b
)(
a

2
b
)
a

1
a

a

b
b
1

12





把
a

3
，
b

1
代入得：原式




4.
用方程解决实际问题



例
5.
一列火车从车站开出，预计行程
450
千米，当它开出
3
小时后，因特殊任 务多停一
站，耽误
30
分钟，后来把速度提高了
0.2
倍，结果准时 到达目的地，求这列火车的速度。





解：
设这列火车的速度为
x
千米
/
时





根据题意，得
450
1
450
< br>3
x

3


x
2
12
.
x




方程两边都乘以
12x
，得
5400

42
x
< br>4500

30
x





解得
x

75





经检验，
x

75
是原方程的根





答：
这列火车原来的速度为
75
千米
/
时。




5.
在数学、物理、化学等学科的学习中，都会遇到有关公 式的推导，公式的变形等问题。
而公式的变形实质上就是解含有字母系数的方程。



例
6.
已知
x

2
y
3
，试用含
x
的代数式表示
y
，并证明
(
3< br>x

2
)(
3
y

2
)

13
。

3
y

2




解：
由
x

2
y

3
，得
3
xy

2
x

2
y
3

3
y

2
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
3
xy

2
y
< br>2
x

3





(< br>3
x

2
)
y

2
x
< br>3


y

2
x

3
3< br>x

2
3
(
2
y

3
)< br>6
y

9

6
y

4
13

2


3
y

2
3
y

2
3
y

2


(
3
x

2
)






(
3
x

2
)(
3
y

2
)

13
6
、中考原题：

M
2
xy

y
2
x

y
2



例
1
．已知
2
， 则
M
＝
__________
。

x

y
x

y
2
x

y
2




分析：
通过分式加减运算等式左边和右边的分母相同，
则其分子 也必然相同，
即可求出
M
。

2
xy

y
2
x

y





解：

2

2
x

y
x

y
2
xy

y
2

x
2

2
xy

y
2
x
2

y
2
x
2









2
x

y
2

M
x
2

y
2
2






M

x


(
x

1
)
3

x
2

1


例
2
．已知
x

3
x

2

0
，那么代数式
的值是
_______ __
。

x

1
2




分析：先化简所求分式，发现把
x

3
x
看成整 体代入即可求的结果。





解：原式
(
x

1
)

(
x

1)

x

2
x

1

x
1

x

3
x






x

3
x

2

0





原式

x

3
x

2


7
、题型展示：

2
2
2
2
2
2

x
2

3
x

2

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