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2021年1月30日发(作者：微妙玄通)
苏教版八年级下册数学

重难点突破

知识点梳理及重点题型巩固练习

分式的概念和性质（基础）


【学习目标】

1.
理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为
0
的条件
.

2
．掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式恒等变形，进而进行条件 计算
.

【要点梳理】

【
403986

分式的概念和性质

知识要点】

要点一、分式的概念
< br>一般地，如果
A
、
B
表示两个整式，并且
B
中含有字 母，那么式子
叫做分子，
B
叫做分母
.

要点诠释：
（
1
）分式的形式和分数类似，但它们是有区别的
.
分数是整式，不是分式 ，
分式是两个整式相除的商式
.
分式的分母中含有字母；分数的分子、分
母中 都不含字母
.










（
2
）分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不 同的数，所
以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情
况
.< br>








< br>（
3
）分母中的“字母”是表示不同数的“字母”
，但π表示圆周率，是一个< br>常数，不是字母，如
A
叫做分式
.
其中
A
B
a
是整式而不能当作分式
.












（
4
）分母中含有 字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式
x
2
y
不能先化简， 如
是分式，与
xy
有区别，
xy
是整式，即只看形式，
x< br>不能看化简的结果
.

要点二、分式有意义，无意义或等于零的条件





1.
分式有意义的条件：分母不等于零
.

2.
分式无意义的条件：分母等于零
.

3.
分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零
.

要点诠释 ：
（
1
）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，
就
必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零
.










（
2
）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分
式中分母的值不等于零< br>.










（
3
）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值
.

要点三、分式的基本性质

分式的分子与分母同乘
(
或除以
)
一个不等于
0
的整式，分式的值不变，这个性质叫做分
式的基本性质，用式 子表示是：
A
A

M
A
A

M
（ 其中
M
是不等于零的整式）
.


，

B
B

M
B
B

M
要点诠释：
（< br>1
）基本性质中的
A
、
B
、
M
表示的是整式
.
其中
B
≠
0
是已知条件中隐含着
的条件，一般在 解题过程中不另强调；
M
≠
0
是在解题过程中另外附加
的条件，在运用分式的基本性质时，
必须重点强调
M
≠
0
这个前提条件< br>.

（
2
）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不 变，但分式
中字母的取值范围有可能发生变化
.
例如：
字母
x
的取值范围变大了
.

要点四、分式的变号法则

对于分式中的分 子、
分母与分式本身的符号，
改变其中任何两个，
分式的值不变；
改变
其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数
.

要点诠释：
根据分式的 基本性质有
，在变形后，

b
b

b
b

，

.
根据有理数除法的符号法则有

a
a
a

a

b
b
b
a
a



.
分式
与

互为相反数
.
分式的符 号法则在以后关于分式的运算中起着
a

a
a
b
b
重要的作用
.

要点五、分式的约分，最简分式

与分数的约分类似 ，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的
值，
这样的分式变形叫做分式 的约分
.
如果一个分式的分子与分母没有相同的因式
（
1
除外），
那么这个分式叫做最简分式
.

要点诠释：
（
1）约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分
母再没有公因式
.< br>
（
2
）
约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式
.分子、
分母的公因式是
分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积；当分式的
分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之转化为分子与
分母是不能再分解的因式积 的形式，然后再进行约分
.

要点六、分式的通分

与分数的通分类 似，
利用分式的基本性质，
使分式的分子和分母同乘适当的整式，
不改
变分式 的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分
.

要 点诠释：
（
1
）
通分的关键是确定各分式的最简公分母：
一般取各分 母所有因式的最高
次幂的积作为公分母
.










（
2
）如果各分母都是单项式 ，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与
相同字母的最高次幂的乘积；
如果各分母都是多项 式，
就要先把它们分
解因式，然后再找最简公分母
.














（
3
）约分和通分恰好是相反的两种变形，约分是对一个分式而言，而通分
则是针对多个分式而言
.

【典型例题】

类型一、分式的概念

1
、下列式子中，哪些是整式哪些是分式


2
x
m

1
2
5
a
2
2
，
，
，
3

x
，
，
，

．

a
a
3
m
3

【 思路点拨】
x
5
2
5
，
，

虽具有分式的 形式，但分母不含字母，其中
的分母中

表示
3

3

一个常数，因此这三个式子都不是分式．

【答案与解析】

x
2
5
2
m

1
a
2
2
解 ：整式：
，

，
，
3

x
，分式：
，
，
．

a
3
3

a
m
【总结升华】
判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不
含有 字母则不是分式．


类型二、分式有意义，分式值为
0

2
、下列各式中，
m
取何值时，分式有意义

（
1
）
1
m
3
m
；
（
2
）
；
（
3
）
．

|
m
|

2
m

2

m
2

9
【答案与解析 】

解：
（
1
）由
m

2
0
得
m


2
，

故当
m


2
时分式
m
有意义．

m

2
（
2
）由
|
m
|

2

0
得
m


2
，

故当
m


2
时分式
1
有意义．

|
m
|

2
2
（
3
）
由

m

9


(
m

9 )

0
，
即无论
m
取何值时

m

9
均不为零，
故当
m
为任
2
2
意实数时 分式
3
m
都有意义．


m
2

9
【总结升华】
首先求出使分母等于零的字母的值，
然后让未知数不等于这些值，便可使分式
有意义．这是解答这类问题的通用方法．

举一反三：
【变式
1
】
（
2016
·丹东一模）若分式
【答案】< br>
解：由题意得：
x

1

0
，解得
x


1
，故答案为：
x


1
．

【变式
2
】当
x
为何值时，下列各式的值为
0
．

x

1
有意义，则
x
的取值范围是








．

x

1
x
2

x
2
x

1
x

2
（
1
）
；
（
2
）
2
；
（
3
）
2
．

x

1
3
x

2
x

4
【答案】

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