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2021年1月30日发(作者：北京石油化工学院地址)

八年级华师大版数学（下）

第
16
章

分式

§
16.1
分式及基本性质

一、分式的概念

1
、
分式的定义：
如果
A
、
B
表示两个整式，
并且
B
中含有字母，
那么式子
叫做
分式
。

2
、对于分式概念的理解，应把握以下几点：

（
1
）分式 是两个整式相除的商。其中分子是被除式，分母是除式，分数线
起除号和括号的作用；
（
2
）分式的分子可以含有字母，也可以不含字母，但分式
的分母一定要含有字母才是分式；< br>（
3
）分母不能为零。

3
、分式有意义、无意义的条件

（
1
）分式有意义的条件：分式的分母不等于
0
；

（
2
）分式无意义的条件：分式的分母等于
0
。

4
、分式的值为
0
的条件：

当分式的分子等于
0
，而分母不等于
0
时，分式的值为
0
。即，使
=0
的条
件是：
A=0
，
B
≠
0
。

5
、有理式

整式和分式统称为有理式。整式分为单项式和多项式。




单项
式
整式

分类：有理式




多
项项



分式


A
B
A
B
单项式：由数与字母的乘积组成的代数式；

多项式：由几个单项式的和组成的代数式。

二、分式的基本性质

1
、分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零

1

的整式，分式的值不变。

A
·
M
A
A÷
M
用式子表示为：
B

=

=
B÷
M

，其中
M
（
M
≠
0
）为整式。

B
·
M
2
、通分：利用分式的基本性质，使分子和分母都乘以适当的整式，不 改变
分式的值，把几个异分母分式化成同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通
分。

通分的关键是：
确定几个分式的最简公分母。
确定最简公分母的一般方法是：（
1
）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数、相同
字 母的最高次幂、所有不同字母及指数的积。
（
2
）如果各分母中有多项式，就先
把分母是多项式的分解因式，再参照单项式求最简公分母的方法，从系数、相同
因式、不同因式三个方 面去确定。

3
、约分：根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母的公因式，不改 变
分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。

在约分时要注意：
（
1
）如果分子、分母都是单项式，那么可直接约去分子、
分母的公因式，
即约去分子 、
分母系数的最大公约数，
相同字母的最低次幂；
（
2
）
如 果分子、分母中至少有一个多项式就应先分解因式，然后找出它们的公因式再
约分；
（
3
）约分一定要把公因式约完。

三、分式的符号法则
：

－
a
a
-a
a
-a
a
a
（
1）
b

=

=
－
b

；
（
2
）

=
b

；
（
3
）－


=
b


-b
-b
-b
§
16.2
分式的运算

一、分式的乘除法

1
、法则：

（
1
） 乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积
的分母。
（意思就是，分式 相乘，分子与分子相乘，分母与分母相乘）
。

a
c
ac
•

b
用式子表示：
d
bd


2

（
2
）除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，再与被
除式相乘。


a
c
a
d
ad
用式子表示：

b

d

b
•
c

bc
2
、应用法 则时要注意：
（
1
）分式中的符号法则与有理数乘除法中的符号法
则相同，即 “同号得正，异号得负，多个负号出现看个数，奇负偶正”
；
（
2
）当
分子分母是多项式时，应先进行因式分解，以便约分；
（
3
）分式乘除法的结果要< br>化简到最简的形式。

二、分式的乘方

1
、法则：根据乘方 的意义和分式乘法法则，分式的乘方就是把将分子、分
母分别乘方，然后再相除。


a
n

a

用
式
子
表
示
：



n
b

b

n
（其中
n
为正整数，
a
≠
0
）

2
、注意事项：
（
1
）乘方时，一定要把分式加上括号；
（
2
）在一个算式中同
时含有乘方、
乘法、
除法时，
应先算乘方，再算乘除，
有多项式时应先因式分解，
再约分；
（
3
）最后结果 要化到最简。

三、分式的加减法

（一）同分母分式的加减法

1
、法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。


a
c
a

c















用式子表示：








b
b
b
2
、注意事项：
（
1
）
“ 分子相加减”是所有的“分子的整体”相加减，各个分
子都应有括号；当分子是单项式时括号可以省略， 但分母是多项式时，括号不能
省略；
（
2
）分式加减运算的结果必须化成最简 分式或整式。

（二）异分母分式的加减法

1
、法则：异分母分式相加减，先通分，转化为同分母分式后，再加减。用

3

a
c
ad
bc
ad

bc




bd
。

式子表示：
b
d
bd
bd
2
、注意事项：
（
1
）在异分 母分式加减法中，要先通分，这是关键，把异分
母分式的加减法变成同分母分式的加减法。
（< br>2
）若分式加减运算中含有整式，应
视其分母为
1
，然后进行通分。< br>（
3
）当分子的次数高于或等于分母的次数时，应
将其分离为整式与真分式之和 的形式参与运算，可使运算简便。

四、分式的混合运算

1
、运算 规则：分式的加、减、乘、除、乘方混合运算，先乘方，再乘除，
最后算加减。遇到括号时，要先算括号 里面的。

2
、注意事项：
（
1
）分式的混合运算关键是弄 清运算顺序；
（
2
）有理数的运
算顺序和运算规律对分式运算同样适用，要灵 活运用交换律、结合律和分配律；
（
3
）分式运算结果必须化到最简，能约分的要约分 ，保证运算结果是最简分式
或整式。

§
16.3
可化为一元一次方程的分式方程

一、分式方程基本概念

1
、定义：方程中含有分式，并且分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

2
、理解分式方程要明确两点：
（
1
）方程中含有分式；
（
2
）分式的分母含有
未知数。

分式方程与整式方程最大区别就在于分母中是否含有未知数。

二、分式方程的解法

1
、解分式方程的基本思想：化分式方程为整式方程。 途径：
“去分母”
。
转
分
分式方程

去分母




整式方程

方法是：方程两边都乘以各分式的最简公分母，约去分母，化为整式方程求
解。

2
、解分式方程的一般步骤：

（
1
）去分母。即在方程两 边都乘以各分式的最简公分母，约去分母，把原
分式方程化为整式方程；


4

（
2
）解这个整式方程；

（
3< br>）验根。验根方法：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不
等于
0
的 根是原分式方程的根，使最简公分母为
0
的根是原分式方程的增根，必
须舍去。这种验 根方法不能检查解方程过程中出现的计算错误，还可以采用另一
种验根方法，即把求得的未知数的值代入 原方程进行检验，这种方法可以发现解
方程过程中有无计算错误。

3
、分式 方程的增根。意义是：把分式方程化为整式方程后，解出的整式方
程的根有时只是这个整式的方程的根而 不是原分式方程的根，这种根就是增根，
因此，解分式方程必须验根。

三、分式方程的应用

1
、意义：分式方程的应用就是列分式方程解应用题， 它和列一元一次方程
解应用题的方法、步骤、解题思路基本相同，不同的是，因为有了分式概念，所列代数式的关系不再受整式的限制，列出的方程含有分式，且分母含有未知数，
解出方程的解后还要 进行检验。

2
、列分式方程解应用题的一般步骤如下：

（
1
）审题。理解题意，弄清已知条件和未知量；

（
2< br>）设未知数。合理的设未知数表示某一个未知量，有直接设法和间接设
法两种；

（
3
）找出题目中的等量关系，写出等式；

（
4
）用含已知量和未知数的代数式来表示等式两边的语句，列出方程；

（
5
）解方程。求出未知数的值；

（
6
）检验。 不仅要检验所求未知数的值是否为原方程的根，还要检验未知
数的值是否符合题目的实际意。
“ 双重验根”
。

§
16.4
零指数幂与负整数指数幂

一、零指数幂

1
、定义：任何不等于零的实数的零次幂都等于
1< br>，即
a
0
=1
（
a
≠
0
）
。


5

2
、特别注意：零的零次幂无意义。即
0
0
无意义。若问当
x=_____
时，
(x-2)
0< br>有意义。答案是：
x
≠
2
。

（
2
）按照定义分为：


二、负整数指数幂
< br>1
、定义：任何不等于的数的
-n
（
n
为正整数）次幂，都等 于这个数的
n
次幂
的倒数，

即
a
-n
=
1
（
a
≠
0
，
n
为正整数）

a
n
2
、注意事项：

（
1
）负整数指数幂成立的条件是底数不为
0
；

（
2
）正整数指数幂的所有运算法则均适用于负整式指数幂，即指数幂的运
算可以扩大 到整数指数幂范围；

（
3
）
要避免像
5
-2=-2
×
5=-10
的错误，
正确算法是：
。

5

2

1
2

1
5
25三、用科学计数法表示绝对值小于
1
的数

1
、规则：绝对值小 于
1
的数，利用
10
的负整式指数幂，把它表示成
a
×10
-n
（
n
为正整数）
，其中
1
≤
|a|
＜
10
。

2
、注意事项：

（< br>1
）
n
为该数左边第一个非零数字前所有
0
的个数（包括小数 点前的那个
零）
。如
-0.00021=-2.1
×
10
- 4

（
2
）注意数的符号的变化，在数前面有负号的，其结果也要写符号。
（
3
）写科学记数法的关键的是确定
10
n
的指数
n< br>的值。

第
17
章

函数及其图象

§
17.1
变量与函数

一、变量与常量

1、变量：在某一变化过程中，可以取不同的数值，级数值发生变化的量，
叫做变量。




常量：在某一变化过程中，取值（数值）始终保持不变的量，叫做常量。


6

2
、注意事项：

（
1
）常量和变量是相对的，在不同的研究过程中有些是可以相互转化的；

（
2
）离开具体的过程抽象地说一个量是常量还是变量是不允许的；

（
3
）在各种关于变量、常量的例子中，变量之间有一定的依赖关系。如三
角形的面 积，当底边一定时，高与面积之间是有关联的，不是各自随意变化。

二、函数概念

1
、定义：在某个变化过程中，如果有两个变量
x
和
y
，对 于
x
的每一个确定
的值，
y
都有唯一的值与其对应，那么，我们就说
y
是
x
的函数，
其中
x
叫做自变量，
y< br>叫做因变量。

2
、对函数概念的理解，主要抓住三点：

（
1
）有两个变量；

（
2
）一个变量的数值随另一个变量的数值的变化而变化；

（
3
）自变量每确定一个值，因变量就有一个并且只有一个值与其对应。
< br>三、函数的表示法
：
（
1
）列表法；
（
2
） 图象法；
（
3
）解析法。

四、求函数自变量的取值范围

1
．实际问题中的自变量取值范围

按照实际问题是否有意义的要求来求。

2
．用数学式子表示的函数的自变量取值范围

例
1
．求下列函数中自变量
x
的取值范围


(1)
解析式为整式的，
x
取全体实数；

(2)
解析式为分式的，分母必须不等于
0
式子才有意义；

(3)
解析式的是二次根式的被开方数必须是非负数式子才有意义；

(4)
解析式是三次方根的，自变量的取值范围是全体实数。

3
． 函数值：指自变量取一个数值代入解析式求出的数值，称为函数值；实
际上就是以前学的求代数式的值。



7

§
17.2
函数的图象

一、平面直角坐标系

1
、定义：平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角
坐标系。其中水平的数 轴叫做横轴（或
x
轴）
，取向右为正方向；竖直的数轴叫
做纵轴（
y
轴）
，取向上为正方向；两轴的交点
O
叫做原点。在平面内，原点的
右边为正，左边为负，原点的上边为正，下边为负。

2
、坐标平面内被
x< br>轴、
y
轴分割成四个部分，按照“逆时针方向”分别为第
一象限、第二象限、第 三象限、第四象限

注意：
x
轴、
y
轴原点不属于任何象限。

3、平面直角坐标系中的点分别向
x
轴、
y
轴作垂线段，
在
x
轴上垂足所显示的数称为该点的横坐标，
在
y
轴上垂足
所显示的 数称为该点的纵坐标。
点的坐标反映的是一个点在
平面内的位置。

写坐标的 规则：横坐标在前，纵坐标在后，中间用“，
”隔开，全部用小括
号括起来。

如
P
（
3
，
2
）横坐标为
3
，纵坐标为
2
。

特别注意坐标的顺序不同，表示的就是不同位置的点。

所以点的坐标是一对有顺序的实数，称为有序实数对。

4
、平面直角坐标系中的点与有序实数对一一对应。

5
、坐标的特征

(1)
在第一象限内的点
,
横坐 标是正数
,
纵坐标是正数；在第二象限内的点
,
横坐标是负数
,纵坐标是正数；

在第三象限内的点
,
横坐标是负数
,
纵坐标是负数；在第四象限内的点
,
横坐标是正数
,
纵坐标是负数；

(2)x
轴上点的纵坐标等于零；
y
轴上点的横坐标等于零．

6
、对称点的坐标特征


8

(1)
关于
x
轴对称的两点：横坐标相同，纵坐标绝对值相等，符号相反；

(2)
关于
y
轴对称的两点：横坐标绝对值相等，符号相反，纵坐标相同；

(3)
关于原点对称的两点：横坐标绝对值相等，符号相反，纵坐标也绝对
值相等，符号相反 。

(4)
第一、三象限角平分线上点：横坐标与纵坐标相同；

(5)
第二、四象限角平分线上点：横坐标与纵坐标互为相反数。

7
、点到两坐标轴的距离

点
A
（
a
，< br>b
）到
x
轴的距离为
|b|
，点
A
（
a
，
b
）到
y
轴的距离为
|a|
。

二、函数的图象

1
、意义：对于一个函数，如果把自变量
x
与函数值
y
的每对对应值分别作
为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出相应的点 ，这些点所组成的图形，就
是这个函数的图象。

2
、作函数图象的方法：描 点法。步骤：
（
1
）列表；
（
2
）描点；
（
3
）连线。

3
、一般函数作图象，要求横轴和纵轴上的单位长度一定要一 致，按照对应
的解析式先计算出一对对应值，就是坐标，然后描点，再连线；画实际问题的图
象 时，必须先考虑函数自变量的取值范围．有时为了表达的方便，建立直角坐标
系时，横轴和纵轴上的单位 长度可以不一致。

§
17.3
一次函数

一、一次函数的概念

之所以称为一次函数，是因为它们的关系式是用一次整式表示的 。学习此概
念要从两个方面来理解。

（
1
）从其表达式上：

一次函数通常是指形如：
y=kx +b(k
、
b
为常数，
k
≠
0)
的函数，凡是成这 种形
式的函数都是一次函数。
而当
b=0
时，
即
y=kx( k
≠
0
的常数
)
，
则称为正比例函数，
其中
k
为比例系数。

（
2
）从其意义上：


9

它们表示的是两个变量之间的关系，这种函数关系具有特定的意义，如，如果说两各变量之间具有一次函数关系，我们就可按照概念设出函数关系式，成正
比例关系的也同样， 如，若
s
与
t
成正比例关系，我们便可设
s=kt
（
k
≠
0
，
t
为自
变量）

“正比例函数”与“成正比例”的区别：

正比例函数一定是
y=kx
这种形式，而成正比例则意义要广泛得多，它反映
了两个量之间的固定正比例关系，如
a+3
与
b-2
成正比例，则可表示为：
a+3=k
（
b-2）
（
k
≠
0
）

二、一次函数的图象

正比例函数和一次函数的图象都是一条直线，所以对于其解析式也称为“直
线
y=kx +b
，直线
y=kx
”
。
因为一次函数的图象是一条直线，所以在画 一次函数的
图象时，只要描出两个点，在通过两点作直线即可。

1
、
画正比例函数
y=kx(k
≠
0
的常数
)
的图象时，只需要这两个特殊点：
（
0
，
0
）
和（
1，
k
）两点；

2
、画一次函数
y=kx+b(k、
b
为常数，
k
≠
0)
的图象时，只需要找出它与坐标
轴的两个交点即可。一次函数与
x
轴的交点坐标是：
（
0
，
b
）
，与
y
轴的交点坐标
b
是：
（－k

，
0
）

3
、若两个不同的一次函数的一次项的系数相同，则这它们的图象平行。

4
、将
y=kx
的图象沿着沿着轴向上（
b>0
）或向下（
b <0
）平移
|b|
各单位长度
即可得到
y=kx+b
。
5
、求两一次函数的交点坐标：联立解两各函数解析式得到的二元一次方程
组， 求的自变量
x
的值为交点的横坐标，求出的
y
的值为交点的纵坐标。

三、一次函数的性质

一次函数的性质是由
k
来决定的。

1
、正比例函数
y=kx(k
≠
0
的常数
)
的性质

（
1
）当
k>0
时，图象经过一、三象限，y
随
x
的增大而增大，这时函数图象

10

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