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2021年1月30日发(作者：恩弟)

分式的知识点及典型例题分析

1
、分式的定义：
9
a
2
1
5
xy
1
1
x
2< br>
1
15
5
a

b
3
a
2

b
2
2
例：下列式子中，
、
8a
b、
-
、
、
、
2-
、
、

、< br>、
、
23
2
x

y
a
m
6
x
2
2
4
x

y
3
xy
1
3
、
、
a

中分式的个数为
（




）




（
A
）


2




（
B
）


3




（
C
）


4




(D)




m
x

y
5
练习题：
（
1
）下列式子中，是分式的有
.
2
x

7
x
1
b
2

5
a
2
x
2

x

2
xy⑴
；

⑵


；⑶
；⑷
；⑸
2

；⑹
2
.
x

5
2
3
b
a

2
x

y
2
（
2
）下列式子，哪些是分式？

a
3
7
x
1
b
x

xy
y
3

；

2
；
；

；
；


.
x

4
8


4
5
5
x

2
y
y

2
、分式有，无意义，总有意义：

（
1
）使分式有意义：令分母≠
0
按解方程的方法去求解；

（
2
）使分式无意义：令分母
=0
按解方程的方法去求解；

注意：
（
x
2

1
≠
0
）

例
1
：当
x







时，分式
有意义

例
3
：
当
x
时，
分式
意义

例
5
：
x
，
y
满足关系

时，分式
x

y
无意义；

x

y
1
x
有意义。

例
4
：
当
x











时，
分式
有
x
2

1
x
2

1
2
x

1
1
有意义；




例
2
：分式
中，当
x

____
时，分式没
x

5
2

x
例
6
：无论
x
取什么 数时，总是有意义的分式是（






）

x
2
x
3
x
x

5








B.










C.











D.

2
x

1
x
2

1
x
3

1
x
2
x
x

2

B
．
x


2

C
．
x


2

D
．
x

2

例
7
：
使分式

有意义的
x
的取值范围为
（


）
A．
x

2
A
．
例
8
：
要是分 式

x

2
没有意义，
则
x
的值为
（




）
A. 2




B.-1
或
-3



C. -1




D.3
(
x

1
)(< br>x

3
)
1

同步练习题：


3
、分式的值为零：

使分式值为零：令分子
=0
且分母≠
0
，注意：当分子等于
0
使，看看是否使分母
=0
了，如果
使分母
=0
了，那么要舍去。

x
2

1
1

2
a
例
1
：当
x
时，分式
的值为
0

例
2
：当
x
时，分式
的
a

1
x

1
值为
0
例
3
：如果分式
上全不对

x
2

x
例
4
：能使分式
2
的值为零的所有
x
的值是< br>
（




）

x
< br>1
a

2
a

2
的值为为零
,则
a
的值为
(


)



A.

2





B.2




C.


2



D.
以
A

x

0




B
x

1



C
x

0

或
x

1


D
x

0
或
x


1

x
2

9
例
5
：要使分式
2
的值 为
0
，则
x
的值为（




）
A.3
或
-3




B.3




C.-3






x

5
x

6
D 2
例
6：若
a

1

0
,
则
a
是< br>(




)A.
正数






B.
负数







C.
零




D.
任意有理数

a
4
、分式的基本性质的应用：

分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于
0
的整式，分式的值不变。

A
A

C
A
A

C




B
B

C
B
B

C

C

0

例
1
：
x y
6
x
(
y

z
)
5
(
3
a

1
)
5

成立
,
则
a
的取值范围是
________
；



；



；
如果


2
7
(
3
a

1
)
7
a
abyy

z
3
(
y

z
)
ab< br>2
例
2
：
3
3

(
a
b< br>
b

c
b

c




a
(
)
)












a

2
b
例
3
：如果把分式
中的
a
和
b
都扩大
10
倍，那么分式的值（

）

a

b
1
A
、扩大
10
倍
B
、缩小
10
倍
C
、是原来的
20
倍
D
、不变

例
4
：如果把分式
10
x
中的
x
，
y
都扩 大
10
倍，则分式的值（

）

x

y
2


A
．扩大
100
倍
B
．扩大
10
倍
C
．不变
D
．缩小到原来的
例
5
：如果把分式
1

10xy
中的
x
和
y
都扩大
2
倍，即分式的值（< br>





）

x

y
A
、扩大
2
倍；





B
、扩大
4
倍；





C
、不变；






D
缩小
2
倍

例
6
：如果把分式
x

y
中的
x
和
y
都扩大< br>2
倍，即分式的值（






）

x

y
A
、扩大
2
倍；





B
、扩大
4
倍；





C
、不变；






D
缩小
2
倍

例
7
：如果把分式
x

y
中的
x
和
y
都扩大< br>2
倍，即分式的值（






）

xy
1
倍

2
A
、扩大
2
倍；





B
、扩大
4
倍；





C
、不变；





D
缩小
例
8
：若把分式
x

3
y的
x
、
y
同时缩小
12
倍，则分式的值（


2
x
）

A
．扩大
12
倍

B
．缩小
12
倍

C
．不变


D
．缩小
6
倍

例
9
：若
x、
y
的值均扩大为原来的
2
倍，则下列分式的值保持不变的是（

）

3
x
3
x
3
x
2
3
x
3
A
、
B
、
2
C
、
D
、
2

2
y
2< br>y
2
y
2
y

a
可变形为（

）

a

b
a
a
a
a
A
B
C

D



a

b
a

b
a

b
a

b
0
.
2
x

0
.
012









；
例
11
：
不改变分式的值，使分式的分子、
分母中各项系数都为整数，


x

0
.
05
1

x
例
12
：
不改变分 式的值，
使分子、
分母最高次项的系数为正数，


=
。

2
1

x

x
例
1 0
：根据分式的基本性质，分式
5
、分式的约分及最简分式：

①约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分

②分式约分的依据：分式的基本性质．

③分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式．

④约分的结果：最简分式（分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式）

约分主要分为两类：第一类：分子分母是单项式的，主要分数字，同字母进行约分。

第二类：分子分母是多项式的，把分子分母能因式分解的都要进行因式分解，再去找共同的
因式约去。< br>
例
1
：
下列式子
（
1
）
b

a
b

a
a

b
x

y
1

x

y
x

y



1
；
（
2
）
；
（
3
）
；
（
4
）


2
2
c

a
a

c
a

b
x

y
x

y

x

y
x

y
中正确的是（




）
A
、
1
个





B
、
2
个





C
、

3
个




D
、

4
个

例
2
：下列约分正确的是（






）


3

x
6
x

y
x

y
1
2
xy
2
1
3
A
、
2

x
；





B
、

0
；




C
、
2

；





D
、
2


x

y
x
x

xy
x
4
x
y
2
例
3
：下列式子正确的是
(





)
A
y
z
y

z
c

d
c

d
c

d

c

d
2
x

y

a

y



0



1




C.




0





B.




D.
x
x

x
a
a
a
a

y
2
x

y
例
4
：下列运算正确的是（

）

a
a
2
4
1
1
1
1
a
2
a





A
、
B
、


C
、
2

D
、
a

b
a

b
x
x
2
2
m
m
m
b
b
例
5
：下列式子 正确的是（

）

a

b

a

b
0
.
1
a

0
.
3
b
a

3
b
b
b
2

0
C
．


1
D
．

A
．

2
B
．

a

b
a

b
0
.
2
a

b
2
a

b
a
a
m
m
m
m
m
2

3
m

例
6
：
化简
的结果是
（

）
A
、




B
、





C
、





D
、

m

3
m

3
3

m
m

3
9

m
2
1
1
x

y
3

x



1
；

4
x
y
5
3

3
x

5
y
。
例
7
：
约 分：

；
=
；




0
.
6
x

y

3
xy
2
xy
x
2

9
6
xy
2
2
a
(
a

b
)
x
y
4
xy










；















例
8
：约分：
2
＝

；

2









；
2
a

4
a

4
b
(
a

b
)
16
x
y
(
x

y
)

a
2

4
x
2

16
x
2

9
ax

ay
< br>14
a
2
bc
3













；












___________












；
2
21
a
3
bc
2
x

6
x

8
x

16
x
2

y2
5
ab
9

m
2
x
2
< br>9

__________
2

__________

__________
。

20
a
2
b
m

3
x

6
x

9
例
9
：分式
a

2
a

b
4
a< br>1
，
，
，
中，最简分式有
( )
2
2
2
12
(
a

b
)
a

3
a

b
x

2
A
．
1
个
B
．
2
个
C
．
3
个
D
．
4
个


6
、分式的乘，除，乘方：

a
c
ac
〃
=
.
b
d
bda
c
a
d
ad
分式的除法：除法法则：
÷
=< br>〃
=

b
d
b
c
bc
分式的乘法： 乘法法测：
分式的乘方：求
n
个相同分式的积的运算就是分式的乘方，用式子表示就是
(
a
n
)
.
分式的乘
b

4

a
n
a
n
方，是把分子、分母各自乘方
.
用式子表示为：
(
)
=
n
(n
为正整数
)
b
b
例题：

1
16
x
3
y4
56
x
4
26
x
2

25
x
4
a

a


计算：
（
1）

（
2
）

（
3
）


10
13
6
7
a
125
a
100
a
15
x
39
ya
2

1
a

1
a

ba
2
b
2

a
4
x

2x
2

25



计算：
（
4
）
2

（
5
）

（
6
）










x

5
x
2

4
a
2

4
a

4
a

2
a

ab
ab

a
2
3
b
2

4
x
xy
计算：
（
7
）
6
x
y

3

（
8
）

6
ab


（
9
）

xy

x
2



x

y
2
a
3
y
2
2
x
2

1
x

3
2
x
2
5
y
10
y

(1

x
)
< br>计
算
：（
10
）



（
11
）

（
12
）



2
2
2
2
x

6
x

9
x

x
3
y
6
x
21
xa
2

1
a

2

a
1








a
2

4
a

4
a

1
2
a

6
3

a
a

1
a
2

4
1




a

3


2

2
计算：
（
13< br>）

（
14
）

2
2
4
4
a

a
a

a

6a

2
a

2
a

1
a
1
x
3
x
2

y
2
xy< br>
y
2
求值题：
（
1
）已知：

， 求
2
的值。


2
2
y
4
x
2
xy

y
x

xy
x
2

y
2

（
2
）已知：
x
9
y

y

3
x
，求
2< br>的值。

x

y
2

（
3
）已知：
例题：


3
y
3
2
y
2
3

2
a

)


（
2
）



=
（
3
）

计算：
（
1
）
(

2
x
2
3
x

b

2
2


b

2


a

b

4





ab
计算：
（
4
）


2


=
（
5
）








b
a
2
a










1
1
2
x

3
xy

2
y


3
，求
的值。

x
y
x

2
xy

y
3
5



=
< br>3
3
a

a
2

a

< br>a

1


（
6
）
2







a
1

a

1


a

1
求值题：
（
1
）已知：
x
y
z
xy

yz

xz



求
2
的值。

2
3
4
x

y
2

z
2
2
2

5
x
2

x
（
2
）已知：
x

10
x

25

y

3

0求
的值。

2
xy

2
y
2
1
x
2
x
2

y
x
例题：
计算< br>(
x

y
)

的结果是
（




）
A

2




B
x
2

y




C





D


2
y
x

y
x
x

y
2
1

1

y
例题：
化简
x

x

y
y
x
1
的结果是
（






）
A.

1







B.

xy






C.







D .

x
y
x2
a

2
a

1
2
x
3
8
x
x

2
x
2

2x

1
2

2
x
2

计算：
（
1
）
2
；
（
2
）


（
3
）
(
a
－
1)·
÷

2
2
a

2
a

1
2
a

2
x

1
x

4
x

4
2
x

4
x

1


7
、分式的通分及最简公分母：

通分：主要分为两类：第一类：分母是单项 式；第二类：分母是多项式（要先把分母因式分
解）

分为三种类型：
“二、 三”型；
“二、四”型；
“四、六”型等三种类型。

“二、三”型：指几个分母之间没有关系，最简公分母就是它们的乘积。

例如：2
x

最简公分母就是

x

2

x

2

。

x

2
x

2
“二、四”型：指其一个分母完全包括另一个分母，最简公分母就是其一的那个分 母。

例如：
2
x

2
最简公分母就是
x
2

4


x

2

x

2


x

2
x

4


“四、六”型：指几个分母之间有相同的因式，同时也有独特的因式，最简公分 母要有独特
的；相同的都要有。

例如：
x
2

最 简公分母是：
2
x

x

2


2

x

2

x

x

2

这些类型自己要在做题过程中仔细地去了解和应用，仔细的去发现之间的区别与联系。
例
1
：分式
1
1
2
,
2
,
的最简公分母是（

）

m

n< br>m

n
2
m

n
A
．
(< br>m

n
)(
m
2

n
2
)
B
．
(
m
2

n
2
)
2
C
．
(
m

n
)
2
(
m

n
)
D
．
m
2

n
2


6

例
2
：对分式
y
x
1
，
2，
通分时，

最简公分母是（

）
2
x
3
y
4
xy
A
．２４
x
2
y
３

B
．１２
ｘ
２
ｙ
２



Ｃ．２４
ｘ
ｙ
２


Ｄ．１２
ｘ
ｙ
２


x
2
1
x

y

x

1
x
2
y
2
例
3
：下面各分式：
2
,
,< br>,
，其中最简分式有（

）个。

x

x
x
2

y
2
x

1
x
2

y
2
A. 4
例
4
：分式



B. 3



C. 2



D. 1
1
a
，
的最简公分母是










.
2
a

4
2
a

4
1
例
5
：分式
a
与
的最简公分母为
_____________ ___
；

b
例
6
：分式

1

1
,
的最简公分母为

。

2
2
2
x

y
x

xy
8
、分式的加减：

分式加减主体分为：同分母和异分母分式加减。

1
、同分母分式不用通分，分母不变，分子相加减。

2
、异分母分式要先通分，在变成同分母分式就可以了。

通分方法：先观察 分母是单项式还是多项式，如果是单项式那就继续考虑是什么类型，找出
最简公分母，进行通分；如果是 多项式，那么先把分母能分解的要因式分解，考虑什么类型，
继续通分。

分类：第一类：是分式之间的加减，第二类：是整式与分式的加减。


2< br>2
n
2
a
2

3
a
2
< br>4

2
例
1
：

=
例
2
：
2
= < br>m
m
a

1
a

1
例
3< br>：
y
x
x

2
y
y
2
x< br>
=
例
4
：
2
=
< br>
x

y
y

x
x

y< br>2
y
2

x
2
x
2

y< br>2
a
b
4
m

1
a
2
b< br>2


计算：
（
1
）

（
2
）

（
3
）


a

b
b

a
m

3m

3
(
a

b
)
2
(b

a
)
2
5
a
2
b
3
3
a
2
b

5
8

a2
b
（
4
）

－
－
.

ab
2
ab
2
ab
2

1
311
5
1
1
1
例
5
：化简
+
+
等于（

）
A
．
2
x
B
．
2
x
C
．
6
x
D
．
6
x

x
2
x
3
x
b
c
a
2
a
1
3
x
x

例
6
：



例
7
：
2

例
8
：


a
b
c
a

4
a

2
(
x

3
)
2
3

x


7

例
9
：
a
x
x

6
1
2
a

1
a

2

2


a

1

－








例
11
：

2
2< br>a

4
x

3
x

3
x< br>x
a

a

2
a

1
例< br>10
：
x
2

x

1

例
12
：
x

1
练习题：
（
1< br>）

b
ab
1
4
x

1
1 2
2

2



（
2
）


（
3
）

+
.

a
2

9
3

a
a

b
b

a
2
2

x
x
2

4
2

x
b
2
x
y

a

b

（
5
）

2


（
4
）



a
-
b< br>x

y
y

x
a
1
1
a< br>2

a

1
例
13
：计算
a

1

的结果是（




）
A





B




C



D
a

1

a

1
a

1
a

1
a

1
1
2
x

2
，然后选择一个使原式有意义而又喜欢的数代入求值
.

x

2
x

4
x
1

2
x

2
例
15
：已知：
x
2

4
x

3

0

求
的值。

x< br>
2
x

4
x

4
例
14
：请先化简：

9
、分式的混合运算：

4
2x
1
x

3
x
2

2
x
1




例
1
：
2
例
2
：

x

16< br>x

4
x

4
x

1
x< br>2

1
x
2

4
x

3< br>x

2
x

2
x
2

2< br>x
4

x


)

例
3< br>：
(

例
4
：

2




x

2
x

2
x
2
x

3

x

1

1

x
x

y
x
2

y
2

例
5
：

1


例
6
：
1



2


2
x

2
y
x

4
x y

4
y

1

x

x

1
1
1
2
y

)

2
2

x

1
x

y
x

y
x

2
xy

y
例
7

例
8
：


2

(

x

x
x

1


< br>2
x

2
x

1

x
例< br>9
：

(
x

2
x

1
x

4

)


x
x2

2
x
x
2

4
x
4

练习题：



10
、分式求值问题：

例
1
：已知
x
为 整数，且
例
2
：已知
x
＝
2
，
y
＝

2
2
2
x

18
+
+
2
为整数，求所有符合条件的
x
值的和
.
x

3
3

x
x

9

24
1
24


1
1

，求

÷
< br>


的值
.
2
2

2

(
x

y
)
(
x

y
)


x

y
x

y

8

-

-

-

-

-

-

-

-