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2021年1月30日发(作者：一出好戏结局)




圆
锥
线
全
部
公
式
及
概
念

曲
精品资料


圆锥曲线


x

a
cos

x
2
y
2
c
b
2
1.
椭圆
2

2

1(
a

b

0)
的参 数方程是


离心率
e


1

2
，

a
b
y

b
sin

a
a
< br>b
2
a
2
b
2
准线到中心的距离为
，焦点到 对应准线的距离（
焦准距
）
p

.
通径的一半
(
焦参数
)
：
.
c
c
a
x
2
y
2
2.
椭圆
2

2< br>
1(
a

b

0)
焦半径公式及两焦半径 与焦距构成三角形的面积
:
a
b
a
2
a
2< br>
F
PF
PF
1

e
(
x

)

a

ex
，
PF
2
e
(

x
)

a

ex
；< br>S

F
1
PF
2

b
2
t an
1
.
c
c
2
2
2
x
0y
0
x
2
y
2
3.
椭圆的的内外部
:
（
1
）点
P
(
x
0
,
y
0
)
在椭圆
2

2

1(
a
< br>b

0)
的内部

2

2

1
.
a
b
a
b
2
2
x
0y
0
x
2
y
2
（
2
）点
P< br>(
x
0
,
y
0
)
在椭圆
2

2

1(
a

b

0)
的外部

2

2

1
.
a
b
a
b
x
2
y
2
a
2
c
b
2
4.
双曲线
2

2

1(
a

0,
b

0)
的离心率
e


1

2
，准线到中心的距离为
，焦点到
a
b
c
a
a
b
2
b
2
对应准线的距离（
焦准距
）
p


通径的一半
(
焦参数
)
：

c
a
a
2
a
2
焦半径公式
PF
1

|
e
(
x

)
|

|
a

ex
|
，
PF
2

|
e
(
x
)
|

|
a

ex
|
，< br>
c
c

F
PF
两焦半径与焦距构成三角形的面积< br>S

F
1
PF
2

b
2
c ot
1
.
2
2
2
x
0
y
0x
2
y
2
5.
双曲线的内外部
: (1)
点
P
(
x
0
,
y
0
)
在双曲线2

2

1(
a

0,
b

0)
的内部

2

2

1
. < br>a
b
a
b
2
2
x
0
y
0< br>x
2
y
2
(2)
点
P
(
x
0
,
y
0
)
在双曲线
2

2
< br>1(
a

0,
b

0)
的外部
< br>2

2

1
.
a
b
a
b
6.
双曲线的方程与渐近线方程的关系
:
x
2
y
2
x
2
y
2
b
( 1
）若双曲线方程为
2

2

1

渐近线 方程：
2

2

0

y

x
.
a
b
a
b
a
x
2
y< br>2
x
y
b
(2)
若渐近线方程为
y


x



0

双曲线可设为
2

2


.
a
b
a
b
a
x
2
y
2
x
2
y
2
(3)< br>若双曲线与
2

2

1
有公共渐近线
,可设为
2

2



a
b
a
b
（


0
,
焦点在
x
轴上;


0
,
焦点在
y
轴上）
. (4)
焦点到渐近线的距离总是
b

7.
抛物线
y
2

2
px
的焦半径公式
:
p
p
p< br>抛物线
y
2

2
px
(
p

0)
焦半径
CF

x
0

.
过焦点 弦长
CD

x
1


x
2

x
1

x
2

p
.
2< br>2
2
2
y

2
8.
抛物线
y

2
px
上的动点可设为
P
(
,
y
< br>)
或
P
(2
pt
2
,
2
pt
)
P
(
x
,
y
)
，其中

y
2

2
px
.
2
p
b
2
4
ac

b
2
2
(
a
0)
的图象是抛物线：（
1
）顶点坐标为
9.
二次函数
y

ax

bx

c

a
(x

)

2
a
4
a
b
4ac

b
2
b
4
ac

b
2

1
4
ac

b
2

1
(

,
)
；（
2
）焦点的坐标为
(
,
)
；（
3
）准线方程是
y

.
2
a
4
a
2
a
4
a
4
a
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2
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10.
以抛物线上的点为圆心，焦半径为半径的圆必与准线相切；以抛物线焦点弦为直径的圆，必与准线相切；以抛物线的焦半径为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切
.
11.
直线与圆锥曲线相交的弦长公式
:
AB

(
x
1

x
2
)
2

(
y
1

y
2
)
2
或

AB
(1

k
2
)(
x
2

x
1
)
2

|
x
1

x
2
|
1

tan
2


|
y
1

y
2
|
1

co
t
2


y

kx

b
（弦端点
A
(
x
1
,
y
1
),
B
(
x2
,
y
2
)
，由方程


消去
y
得到
ax
2

bx

c

0
，


0
,

为直

F
(
x
,
y
)

0
线
AB
的倾斜角 ，
k
为直线的斜率，
|
x
1

x
2
|

(
x
1

x
2
)
2

4
x
1
x
2
.
12.
圆锥曲线的两类对称问题
:
（
1
）曲线
F
(
x
,
y
)

0
关于点
P
(
x
0
,
y
0
)
成中心对称的曲线是
F
(2
x
0
-
x
,
2
y
0

y
)

0
.
（
2
）曲线
F< br>(
x
,
y
)

0
关于直线
Ax
By

C

0
成轴对称的曲线是

2
A
(
Ax

By

C
)
2B
(
Ax

By

C
)
,
y

)

0
.
2
2
2
2
A

B
A

B
特别地，曲线
F
(
x
,
y
)

0
关于原点
O
成中心对称的曲 线是
F
(

x
,

y
)

0
.

曲线
F
(
x
,
y
)

0
关于直线
x
轴对称的曲线是
F
(
x
,

y
)

0
.

曲线
F
(
x
,
y
)

0
关于直线
y
轴对称的曲线是
F
(

x
,
y
)

0
.




曲线F
(
x
,
y
)

0
关于直线
y

x
轴对称的曲线是
F
(
y
,
x
)

0
.




曲线
F
(
x
,
y
)

0
关于直线
y

x
轴对称的曲线是
F
(

y
,< br>
x
)

0
.
13.
圆锥曲线的第二定义 ：动点
M
到定点
F
的距离与到定直线
l
的距离之比为常数< br>e
，若
0

e

1
，
M
的 轨
迹为椭圆；若
e

1
，
M
的轨迹为抛物线；若< br>e

1
，
M
的轨迹为双曲线
.
注意：1
、还记得圆锥曲线的两种定义吗？解有关题是否会联想到这两个定义？

2
、还记得圆锥曲线方程中的：

c
（
1
）在椭圆 中：
a
是长半轴，
b
是短半轴，
c
是半焦距，其中
b
2

a
2

c
2
，
e

,(0

e

1)
是离
a
a
2
b
2
b
2
心率，
是准心距，
是准焦距，

是半通径
.
c
c
a
c
（
2
）在 双曲线中：
a
是实半轴，
b
是虚半轴，
c
是半焦距，其中< br>b
2

c
2

a
2
，
e< br>
,(
e

1)
是离
a
a
2
b
2
b
2
心率，
是准心距，
是准焦距，

是半通径
.
c
c
a
（
3
）在抛物线中：
p
是准焦距，也是半通径
.
3
、在利用圆锥曲线统一定义解题时， 你是否注意到定义中的定比的分子分母的顺序？（到定点
的距离比到定直线的距离）

4
、离心率的大小与曲线的形状有何关系（圆扁程度，张口大小）？等轴双曲线的离心率是多
少 ？（
e

2
）

5
、在用圆锥曲线与直线联立求解 时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零？判
别式
的限制
.
（ 求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在
下进行）
.
注意：尤其在求双曲 线与直线的交点时：当


0
时：直线与双曲线有两个交点（包括直线与双< br>曲线一支交于两点和直线与双曲线两支各交于一点两种情况）；当


0
时，直线与双曲线有且
只有一个交点（此时称指向与双曲线相切），反之，当直线与双曲线只有一个交 点时，直线与
双曲线不一定相切，此时直线与双曲线的一条渐近线平行，当


0
时，直线与双曲线没有交点
.
F
(
x

6< br>、椭圆中，注意焦点、中心、短轴端点所组成的直角三角形
.
此时
a
2

b
2

c
2
.

7
、 通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦
.
（想一想在双曲线中的结论？）

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3
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8
、你知道椭圆、双曲线标准方程中
a
,
b
,
c
之间关系的差异吗？

9
、如果直线与双曲线的渐 近线平行时
,
直线与双曲线相交
,
只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时
,
直线与抛物线相交
,
只有一个交点
.
此时两个 方程联立，消元后为方程变为一次方程
.

椭圆练习

x
2
y
2
1.
过椭圆
2

2

1< br>(a>b>0)
的左焦点
a
b
F
1
任做一条不与长轴 重合的弦
AB,F
2
为椭圆的右焦点
,
则
△ABF
1
的周长是（

）
(A)2a (B)4a (C)2b (D)4b
2.
设
a
,
b

R
,
a
2

2
b
2

6
,
则
a

b
的最小值是（

）


(A)

2
2

(B)

5
3

3
(C)
－
3
(D)


7
2
3.
椭圆的两个焦点和短轴的两个 顶点
,
是一个含
60
0
角的菱形的四个顶点
,
则椭 圆的离心率为
（

）

（
A
）

（
B
）
1
2
1
3
3
3

（
C
）

（
D
）
或
< br>2
2
3
2
4.
设常数
m>0
，椭圆
x
2
+m
2
y
2
=m
2
的长轴是短轴的两 倍，则
m
的值等于（

）

（
A
）
2
（
B
）
2

（
C
）
2
或

（
D
）
2
或
1
2
2

2
x
2
y
2
5.
过椭圆
2

2
1
(
a

b

0
)
的左焦 点
F
1
作
x
轴的垂线交椭圆于点
P
，
F< br>2
为右焦点，若
a
b

F
1
PF
2

60
，则椭圆的离心率为
( ) (A)
2
3
1
1
(B)
(C)
(D)

2
3
2
3
6.如果椭圆的两个焦点将长轴分成三等份，那么这个椭圆的两条准线间的距离是焦距的（

）

（
A
）
18
倍

（
B
）
12
倍

（
C
）
9
倍

（
D
）
4
倍

7.
当关于
x,y
的方程
x
2
sin

－
y
2
co s

=1
表示的曲线为椭圆时
,
方程
(x+cos

)
2
+(y+ sin

)
2
=1
所
表示的圆的圆心在（

）

（
A
）第一象限

（
B
）第二象限

（
C
）第三象限

（
D
）第
四象限

8.
已知椭圆的焦点为
F
1
,F
2
,P
是椭圆上的一个动点
,
如果延长< br>F
1
P
到
Q,
使得
|PQ|=|PF
2|,
那么动点
Q
的轨迹是（

）

（
A
）圆

（
B
）椭圆

（
C
）直线

（
D
）其它

x
2
y
2
9.
已知椭圆


1
与圆
(x-a)
2
+y
2
=9
有公共点
,
则
a
的取值范围是
( )
9
4
(A)-
62
<25 (D)|a|≤6

10.
设椭圆的两个焦 点分别为
F
1
、
、
F
2
，过
F
2
作椭圆长轴的垂线交椭圆于点
P
，若△F
1
PF
2
为等腰直
2
2

1
角三角形，则椭圆的离心率是（

）

（
A
）

（
B
）

（
C
）
2

2

（
D
）
2
2
2

1

x
2
y
2
11.
在椭圆
2

2
< br>1
上取三点，其横坐标满足
a
b
x
1
+x
3
=2x
2
,
三点依次与某一焦点连结的线段长为
1
1
2



（
C
）
r
1
,r
2
,r
3
成等比数列

r
1
r
3
r
2
r
1
,r
2
,r
3
,则有（

）

（
A
）
r
1,r
2
,r
3
成等差数列

（
B
）
（
C
）以上都不对

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4

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