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2021年1月30日发(作者：活动策划公司)
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三角形解的个数问题

学了正、 余弦定理后，不少同学为判断三角形的解的个数而烦恼．知道
3
边，
2
角1
边，
2
边及其夹
角时不会出现两解；在已知三角形的两边及其中一边的 对角（即“边边角”）的条件下解三角形时，解的
个数有几个呢一解，二解还是无解《必修
5< br>》在第
8
页到第
9
页的“探究与发现”《解三角形的进一步讨
论》有详细说明．即

在已知

ABC
中的边长
a
，
b
和角
A
，且已知
a
，
b
的大小关系， 常利用正弦定理求出
sin
B
的值，

①若该值大于
1，与
sin
B

1
矛盾，则无解；

②若该值 小于或等于
1
，则要考虑
a
，
b
的大小关系及
A< br>为锐角还是钝角：

若
A
是钝角，且该值小于
1
，则 有
1
解，若该值等于
1
，则无解；

若
A
是锐角，且
b

a
，则有
1
解；

若b

a
，且该值小于
1
，则有
2
解；
b

a
，且该值等于
1
，则有
1
解．
< br>但分类层次多，分类种数多，注重形，又指定边角，不易被学生所接受．即本节能理解，操作应用起
来也很不方便．下面提供“几招”供同学们选择，希望能帮助同学们顺利破解．

第一招：大角对大边

在已知

ABC
中的边长
a
，
b
和角
A
，
且已知
a
，
b的大小关系，
常利用正弦定理结合
“大边对大角”

来判断三角形解的个 数，一般的做法如下，首先利用大边对大角，判断出角
B
与角
A
的大小关系， 然后求

出
B
的值，根据三角函数的有界性求解．

【例< br>1
】在

ABC
中，已知
a

解：由正弦定 理，得
sin
A

3
，
b

2
，
B

45

，求
A
、
C
及
c
．

a
sin
B
3sin
45
3
，∵
B

45


90

，
b

a
，∴
A

60

或120

．



b
2
2
b
sin
C
2
sin
75

6

2


当
A

60

时，
C

75

，
c

；

sin
B
sin
45

2
b
sin
C
2
s in15

6

2


当
A
< br>120

时，
C

15

，
c
．

sin
B
sin
45

2点评：在三角形中，
a

b

A

B

sin
A

sin
B
这是个隐含条件，在使用时我们要注 意挖掘．

第二招：二次方程的正根个数

一般地，在

A BC
中的边长
a
，
b
和角
A
，常常可对角
A
应用余弦定理，并将其整理为关于
c
的一元

二次方程
c

2
bc
cos
A

b

a
0
，
若该方程无解或只有负数解，
则该三角形无解；
若方程有 一个正数

解，则该三角形有一解；若方程有两个不等的正数解，则该三角形有两解．

【例
2
】如图，在四边形
ABCD
中，已知
AD

CD
，
AD

10
，
AB

14
，

2
2
2
D

C


BDA

60

，

BCD

1 35

，求
BC
的长．

解：在

ABD
中，设
BD

x
，由余弦定理得
14

x

10

2

10
x
cos60

，

A

整理得
x

10
x< br>
96

0
，解得
x

16
．
由正弦定理，得
BC

2
2
2
2
B

BD
sin

CDB
16sin30



8
2
．

sin

BCD
s in135

点评：
已知三角形两边和其中一边的对角，
我们可以采用正弦定 理或余弦定理求解，
从上述例子可以看出，

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1
页

共
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