-

2021年1月30日发(作者：蚂蚁人)
三角形

讲义

一、

基
础知识

（一）与三角形有关的线段

1
三角形：

由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相连所组成的图形
叫做三角形。

2
三角形的边：组成三角形的三条线段是三角形的边。

3
三角形的 角：在三角形中，相邻两边组成的角叫三角形的内角，简称三
角形的角。

4
三角形两边之和大于第三边；三角形两边之差小于第三边。

5
三角形的高、中线、角平分线的定义及性质。

6
三角形具有稳定性。

（二）与三角形有关的角

1
三角形的内角和等于（180°）

2
三角形的外角性质：
（
1
）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角
和。


（
2
）
三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个
内角。

3
三角形的外角和（360°）
。

4.
直角三角形的两个锐角互余。

（三）多边形及其内角和

1
多边形

：一般地，由
n
条不在同一直线上的线段首尾顺 次相连所组成
的平面图形称为
n
边形，又叫多边形。

2
正 多边形：像正方形这样，各个角都相等，各条边也向等的多边形叫正
多边形。

3多边形的对角线：在多边形中，连接两个不相邻角顶点的线段叫多边形
的对角线，每个多边形有
1
n
(
n

3
)

条对角线。

2
4
多边形的内角和：
n
边形的内角 和等于（
（
2
）
•
180°）

5
四边形 内角的特殊性：如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也
互补。

6
多 边形的外角和：从多边形每个内角相邻的两个外角中，分别取一个相
加，得到的和称为多边形的外角和。


任意多边形的外角和等于

（360°）
。

（四）三角形的分类

按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；

按边分类：不等边三角形、等腰三角形

（包含底边和腰不相等的等腰三
角形、等边三角形）

（五）镶嵌

1
、平面镶嵌：从数学角度看，用不重叠在一起的多边形把平面的一部分
完全覆盖，叫 做用多边形覆盖平面或平面镶嵌。

2
、用相同的正多边形镶嵌

（
1
）

围绕一点镶嵌在一起的
n
个多边形的内角 恰好是一个周角，
则这种
正多边形可以做平面镶嵌。

（
2
）

用相同的正多边形镶嵌，只有正三角形、正方形、正六边形 可以，
其他正多边形都不可以。

3
、利用多种正多边形进行镶嵌

用两种不同的正多边形镶嵌：

（
1
）
3
个正三角形和
2
个正方形

（
2
）
2
个正三角形和
2
个正六边形
< br>用三种不同的正多边形镶嵌：
正三角形、
正八边形和正二十四边形就可以
进行镶 嵌。

（二）经典例题

例
1
：
已
知
三
条
线
段
的
比
是
:
①
1 :3:4;
②
1:2:3;
③
1:4:6;
④
3:3:6;
⑤
6:6:10;
⑥
3:4:5.
其中可构成三
角形的有< br>( )
毛
A.1
个
B.2
个
C.3
个
C.4
个

[
考点透视
]
本例主要是考查三角形的三边关系：三角形的任意两边和大于第
三边，任意两边的差小于第三边

[
参考答案
]B

例
2
：如果三角形的两边长分别 为
3
和
5,
则周长
L
的取值范围是
( )

A.6
[
考点透视
]
本 例同样是考查三角形三边的关系，只不过问题是周长的取值范
围，这是本题的失分点，

[
参考答案
]D

例
3
：
现有两根木棒< br>,
它们的长度分别为
20
和
30,
若不改变木棒的长度
,
要钉
成一个三角形木架
,
应在下列四根木棒中选取
( )

A.10
的木棒
B.20
的木棒
; C.50
的木棒
D.60
的木棒

[
考点透视]
本例考查三角形三边的关系在实际生活中的应用，主要是考查学
生的应用意识

[
参考答案
]B

（三）适时训练

与三角形有关的线段过关训练

1.
下图中有几个三角形？用符号表示这些三角形．

2.
下列说法：


（
1
）等边三角形是等腰三角形；


（
2
）三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；


（
3
）三角形的两边之差大于第三边；


（
4
）三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．



其中正确的有（

）

A
．
1
个
B
．
2
个
C
．
3
个
D
．
4
个

3.
若三线段，
c
满足
a
＞
b
＞
c
，
若能构成一个三角形，
则只需满足条件
(

).

＞
c



＞
a




＞
b



≠
a

4.
若三角形三边满足
a2220.
则此三角形为
(

).

A.
不等边三角形
B.
一般等腰三角形

C.
等边三角形

、
C
都有可能

5.
现有两根木棒，它们的长分别为
40
和
50
，若要钉成一个三角形木架（
•
不计接头）
， 则在下列四根木棒中应选取（

）

A
．
10
长的木棒
B
．
40
长的木棒
C
．
90
长的木棒
D
．
100
长的木
棒

6.
下列长度的各组线段中，能组成三角形的是（

）

A
．
3
，
12
，
8 B
．
6
，
8
，
15

C
．
2.5
，
3
，
5 D
．
6.3
，
6.3
，
12.6

7.< br>已知等腰三角形的两边长分别是
3
和
6
，则它的周长等于（

）

A
．
12 B
．
12
或
15 C
．
15 D
．
15
或
18

8.
三角形两边长为
2
和
9
，周长为偶数，则第三边长为
(

).

A.7 B.8 C.9 D.10

9.
等腰三角形的底边长为
8
，则腰长的范围是
( )
A
．大于
4
且小于
8
B
．大于
4
且小于
16
C
．大于
8
且小于
16
D
．大于
4
10.
若三角形三边长是三个连续自然数，其周长< br>m
满足
10
＜
m
＜
22
，则这样的
三角形有
()
个
.
A
．
2 B
．
3 C
．
4 D
．
5
11.
已知一个三角形的两边长分别是
3
和
4
，则第三边长
x
的取值范围是．
•
若
x
是奇数 ，
则
x
的值是；
这样的三角形有个；
•
若
x
•
是偶数，
•
则
x
•
的值是；这样的三角形又有个．
12.
△周长
27
，三边长为三个连续奇数，则最长边长为，最短边长 为
.

13
为△的三边，化简
a

b
< br>c

b

c

a

c
< br>a

b
.

14.
如图，在△中，
，
D
为上一点，试说明
>
（）
．

1
2

15
．已知三角形三边的长均为整数，其中某两条边长之差为
5
，
•
若此三角
形周长为奇数，则第三边长的最小值为多少？

16
．已知：
P
为△内任意一点．求证：＋＋＞
(
＋＋
)
．

17
．
（综合题）已知
a< br>、
b
、
c
为△的三边长，
b
、
c
满 足（
2
）
2+
│
3
│
=0
，且
a
1
2
为方程│
4
│
=2
的解，求△的周长，判断△ 的形状．




答

案

1< br>．解：图中共有
8
个三角形，分别是：△、△、△、△、△、
•
△、△ 、△．


点拨：数三角形的个数，一定要按一定的次序去数．如按图形的形成过程
数，按三角形的大小顺序数等，切忌盲目，造成重复和遗漏．

2
．
B
点拨：说法（
1
）
、
（
4
）正确，故选
B
．

3. B

4. C

5
．
B

6
．
C

7
．
C
点拨：由题设知，等腰三角形的三边长可能为
3
，
3
，
6
或
6
，
但
3+3=6
， 说明以
3
，
3
，
6
为边长构不成三角形．

∴这个等腰三角形的周长为
15
，故选
C
．

8. C

9. D

10

11
．
1；
3
，
5
；
2
；
2
，
4
，
6
；
3

点拨：∵（
4-3
）
（
4+3
）
，∴
1．

∵ 若
x
是奇数，则
x
的值是
3
，
5
；

∴这样的三角形有
2
个．

∵若
x
是偶数，则
x
的值是
2
，
4
，
6
；

∴这样的三角形有
3
个．

12.11, 7

13.

14
．解：在△中，
>
，因，故
>，即
2>
．

从而可知
>
1
2
（）
．

15
． 解：设第三条边长为
c
，其余两条边长分别为
a
和
b
，且< br>a>b
，
则有为奇数，
5
，所以
25
为奇数，

故
c
为偶数．又
，故
c>5
，
c
的最小值为
6
．

16.
证明：∴＋＞，＋＞，＋＞，

∴
2(
＋＋
)
＞＋＋，

∴＋＋＞
1
2
(
＋＋
)
．

17.
解：∵（
2
）
2
≥
0
，│
3
│≥
0
，且（
2
）
2+
│
3
│
=0
，


∴
2=0
，
3=0
．


即
2
，
3
．


∵
a
为方程│
4
│
=2
的解，


∴
2
或
6
．

6
，
3
．



经检验，当
6
时，不满足三角形三边关系定理，故舍去．


∴
2
，
2
，
3
．


∴△的周长为
7
，△为等腰三角形．



三角形的高、中线与角平分线过关训练

一、填空题

1
． 如下图，是△的角平分线，则∠∠
；
E
在上，且，则是△的；是△
的高，则∠ ∠
90
°，
。

1
2

2
．如下 图，△中，边上的高是；在△中，边上的高是，在△中，边上的
高是，以为高的三角形是。


3
．如图
10
，是△的中线，
6
，
4< br>，则△和△的周长差为。


4
．如图
11
，已知∠
1=
1
∠，∠
2=
∠
3
，则∠的角平分线为，∠的 角平分
2
线为。


二、选择题

5
．下列说法中正确的是

（

）

（
1
）平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线

（
2
）三角形的中线、高和角平分线都是线段

（
3
）一个三角形有三条高、三条角平分线和三条中线

（
4
）三角形的中线是经过顶点和对边中线的直线

A
．< br>（
1
）
（
2
）
（
3
）
（< br>4
）

B
．
（
2
）
（
3< br>）
（
4
）

C
．
（
1
）
（
4
）

D
．
（
2
）
（
3
）

6
．
如图
12
，
∠>90°，
⊥，
交的延长线于D
，
⊥，
交的延长线于
E
，
⊥于点
F
，
△中边上的高为（

）

A
．

B
．

C
．

D
．


7
．至少有两条高在三角形的内部的三角形是（

）

A
．锐角三角形

B
．钝角三角形

C
．直角三角形

D
．以上都有可能

三、解答题

8
．如图
13
，是锐角△的高，是其中线，指 出图中共有几个三个角形。
若按角分类没，分别是什么三角形？


9
．
等腰三角形中，
一腰上的中线把三角形的周长分为
6
和
15的两部分，
求此三角形的底边的长。

10
．如下图所示，在△中，是边上的中线，
6
，
5
，求△的周长与△的周
长差。


四、拓展创新

11
．如图
15
，已知是△的高，是角平分线，是中线，写出图中相等的角
和 相等的线段。


五、中考热身

12
．
（200 5·长沙）请在作出△的角平分线（要求保留作图痕迹）
。



答

案

1
．∠，

∠，

∠，中线，∠，

∠

，

⊥

2
．

△

△

△

3
．
2
4
．

5
．
D
6
．
C
7
．
A 8
．图中共有
6
个三角形
.
其中△，△是锐角三角形；△，△， △是直角
三角形；△是钝角三角形。

9
．在△中，
，是中线。

设
2x
，则，

（
1
）当
15
时，
6
，即
215
，
5
，得
10
，
1
，满足两边之和大于等三边
.
（
2
）当
6
时，
15
，即
26
，
2
，
15
—
2=13
，
4
，故不能组成三 角形。

∴三角形的腰长为
10
，底边长为
1.
10.
△的周长—△的周长（）－（）————（—）
+
（－）—
6
—5=1
11.
相等的角：∠∠，

∠∠；相等的线段：
.
12.
略

三角形的稳定性应用与了解

1
．< br>现在盖高楼时要用专门铁管搭起矩形脚手架，
如图
3
，
其主要作用是：
使建筑厂人有地方立脚且能在上面施工，为什么矩形脚手架外，还要用较长
的铁管斜着和遇见的 每一根矩形的边都要加以固定
?
不加这些长的斜铁管行
吗
?
不与每一 根遇到的边固定行吗
?

2
．
矩形虽然不稳定，
但它外形 整齐，
且容易向人们所需要的方向整齐地
伸展；三角形稳定，但它有尖有棱，不易向人们所需的 方向伸展，所以很多
用钢条组合成的建筑（大桥、大型起重机、修建房屋的脚手架）都让这二者
结合起来，用矩形作为外形，把矩形再加上——条或几条线化分为几个三角
形，使其结构稳定而结实．你 能再举出既达到美观实用，又能有很好的稳定
性，且结实耐用的四边形（主要是矩形）与三角形相结合的 例子吗
?
3
．
四边形的不稳定性是它的缺点，
但我们仍可利用其” 缺点”为我们服
务。课本中提到的菱形挂衣架、放缩尺是两个很好的例子．民间艺人做成的
工艺 品仙鹤可以做不同动作，
其中仙鹤的长脖子能伸能缩很逗人喜爱
?
其脖子
是用 ——些连结白勺平行四边形构成的，除此之外，你见过其他利用四边形
不稳定性来为我们服务的例子吗< br>?

与三角形有关的角过关训练

一、选择题
:(< br>每小题
3
分
,
共
21
分
)



1.
如果三角形的三个内角的度数比是
2:3:4,
则它是
( )
毛



A.
锐角三角形
B.
钝角三角形
; C.
直角三角形
D.
钝角或
直角三角形




2.
下列说法正确的是
( )



A.
三角形的内角中最多有一个锐角
; B.
三角形的内角中最多有两
个锐角




C.
三角形的内角中最多有一个直角
; D.
三角形的内角都大于
60°



3.
已知 三角形的一个内角是另一个内角的
,
是第三个内角的
,
则这个
三角形 各内角的度数分别为
( )




A.60°,90°,75° B.48°,72°,60°




C.48°,32°,38° D.40°,50°,90°



4.
已知△中
,
∠
2(
∠∠
C),
则∠
A
的度数为
( )




A.100° B.120° C.140° D.160°



5.
已知三角形两个内角的差等于第三个内角
,
则它是
( )



A.
锐角三角形
B.
钝角三角形
C.
直角三角形
D.
等边三
角形




6.
设
α
,
β
,
γ
是某三角形的三个内角
,
则
α
+
β
,
β
+
γ
,
α
+
γ

中
( )



A.
有两个锐角、一个钝角
B.
有两个钝角、一个锐角




C.
至少有两个钝角
D.
三个都可能是锐角




7.
在△中
,
∠
∠
∠
C,
则此三角形是
( )



A.
锐角三角形
B.
直角三角形
C.
钝角三角形
D.
等腰三
角形


二、填空题
:(
每小题
3
分
,
共
15
分
)

1
．三角形中最大的内角不能小于度，最小的内角不能大于度．

2. 如图（
1
）
，∠∠∠∠∠∠；如图（
2
）
，∠∠∠∠∠ ∠．


1
2
1
3

3.
三角形中
,若最大内角等于最小内角的
2
倍
,
最大内角又比另一个内角大
2 0°
,
则此三角形的最小内角的度数是
.
4.
在△中
,< br>若∠∠∠
C,
则此三角形为三角形
;
若∠∠
B<
∠< br>C,
则此三角形是三角
形
.



5.
已知等腰三角形的两个内角的度数之比为
1: 2,
则这个等腰三角形的顶
角为
.



6.
在△中
,
∠
B,
∠
C
的平分线交于点
O,
若∠132°
,
则∠度
.



7.
如图 所示
,
已知∠
1=
20°
,
∠
2=25
°
,
∠35°
,
则∠的度数为
.


三、基 础训练
:(
每小题
15
分
,
共
30
分)



1.
如图所示
,
在△中⊥于平分∠
(
∠
C>
∠
B),
试说明∠
(
∠∠
B).

1
2



2.
在△中
,
已知∠∠5°
,
∠∠20°
,
求三角形各内角的度数
.



四、提高训练
:(
共
15
分
)



如图所示
,
已知∠
1=
∠
2,
∠
3=
∠
4,
∠32°
,
∠28°
,
求∠
P
的度数
.


五、探索发现
:(
共
15
分
)



如图所示
,
将△沿折叠
,
使点
C
落到点
C
′处
,
试探求∠
1,
∠
2
与∠
C
的关
系
.









六、中考题与竞赛题
:(
共
4
分
)



(2001
·天津
)
如图所示
,
在△中
,
∠∠⊥⊥
,
∠158°,

则∠度
.


答

案

一、
1 2 3 4 5 6 7

二、
1. 60
，
60
2. 360
°，360°

3.
40°

4.
直角

钝角


5.36
°或
90°

6.84

7
.80°

三、
1.
解
:
∵⊥
,

∴∠90°,

∴∠90°
-
∠
B,


又∵

平分∠
,

∴∠
∠

(180°
-
∠∠
C),

∴∠∠∠

=90°
-
∠

(180°
-
∠∠
C)

=90°
-
∠90°+
∠
∠
C

=
∠
∠
B

1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2

-

-

-

-

-

-

-

-