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2021年1月30日发(作者：再将双手舞动)
初中数学三角形难题汇编含答案


一、选择题

1
．
如图，
□ABCD
的对角线
AC
、
BD
交于点
O
，
AE
平分
BAD
交
BC
于点
E
，且∠
ADC
＝
60°
，
AB
＝
＝1
BC
，连接
OE
．下列结论：
①AE
＝
CE
；
②S
△
ABC
＝
AB•AC
；
③S△
ABE
＝
2S
△
AOE
；
④OE
2
1
BC,
成立的个数有（

）

4

A
．
1
个

【答案】
C

【解析】

【分析】

B
．
2
个

C
．
3
个

D
．
4

利 用平行四边形的性质可得∠
ABC=
∠
ADC=60°
，∠
BAD= 120°
，利用角平分线的性质证明
△
ABE
是等边三角形，然后推出
AE=BE=
线合一进行推理即可．

【详解】

∵四边形
ABCD
是平行四边形，

1
BC
，再结合等腰三角形的性质：等边对等角、三
2


∴∠
ABC=
∠
ADC=60°
，∠
BAD=120°，

∵
AE
平分∠
BAD
，

∴∠
BAE=
∠
EAD=60°

∴△
ABE
是等边三角形，

∴
AE=AB=BE
，∠
AEB=60°
，

∵
AB=
1
BC
，

2
1
BC
，

2
∴
AE=BE=
∴
AE=CE
，故
①
正确；

∴∠
EAC=
∠
ACE=30°

∴∠
BAC=90°
，

∴
S
△
ABC< br>=
1
AB•AC
，故
②
错误；

2
∵
BE=EC
，

∴
E
为
BC
中点，
O
为
AC
中点，

∴
S
△
ABE
=S
△
ACE=2
S
△
AOE
，故
③
正确；

∵四边形
ABCD
是平行四边形，

∴
AC=CO
，

∵
AE=CE
，

∴
EO
⊥
AC
，

∵∠
ACE=30°
，

∴
EO=
∵
EC =
∴
OE=
1
EC
，

2
1
AB
，

2
1
BC
，故
④
正确；

4
故正确的个数为
3
个，

故选：
C
．

【点睛】

此题考查平行四边形的性 质，等边三角形的判定与性质．注意证得
△
ABE
是等边三角形是
解题关键．


2
．
下列长度的三条线段能组成三角形的是（

）

A
．
2, 2,5

【答案】
D

【解析】

【分析】

三角 形的任何一边大于其他两边之差，小于两边之和，满足此关系的可组成三角形，其实
只要最小两边的和大 于最大边就可判断前面的三边关系成立．

【详解】

根据三角形三边关系可知，三角形两边之和大于第三边．

A
、
2+2=4
＜
5
，此选项错误；

B
、
1+
3
＜
3
，此选项错误；

C
、
3+4
＜
8
，此选项错误；

D、
4+5=9
＞
6
，能组成三角形，此选项正确．

故选：
D
．

【点睛】

此题考查三角形三边关系 ，解题关键在于掌握三角形两边之和大于第三边．即：两条较短
的边的和小于最长的边，只要满足这一条 就是满足三边关系．

B
．
1,
3,3

C
．
3,
4,8

D
．
4,5,6


3
．
如图，在菱形< br>ABCD
中，
AB
＝
10
，两条对角线相交于点
O< br>，若
OB
＝
6
，则菱形面积是
（


）


A
．
60
【答案】
D

【解析】

【分析】

B
．
48
C
．
24
D
．
96

由菱形的性质可得
AC
⊥
BD
，
AO
＝
CO
，
BO
＝
DO
＝
6
，由勾股定理可求
AO
的长，即可求解 ．

【详解】

解：∵四边形
ABCD
是菱形，

∴
AC
⊥
BD
，
AO
＝
CO
，< br>BO
＝
DO
＝
6
，

AB
2

OB
2

100

36

8
，

∴
AC
＝
16
，
BD
＝
12
，

12

16
∴菱形面积＝
＝
96
，

2
故选：
D
．

【点睛】

∴
A O
＝
本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的对角线互相垂直平分是本题的关键．


4
．
如图，
1
1
∥
l
2< br>，∠
1
＝
100°
，∠
2
＝
135°
，则∠
3
的度数为
(


)


A
．
50°

【答案】
B

【解析】

【分析】

B
．
55°

C
．
65°

D
．
70°

如图 ，延长
l
2
，交∠
1
的边于一点，由平行线的性质，求得∠
4
的度数，再根据三角形外角
性质，即可求得∠
3
的度数．

【详解】

如图，延长
l
2
，交∠
1
的边于一点，


∵
1
1
∥
l
2
，

∴∠
4
＝
180°
﹣∠
1
＝
180°
﹣
100 °
＝
80°
，

由三角形外角性质，可得∠
2
＝∠
3+
∠
4
，

∴∠
3
＝∠
2﹣∠
4
＝
135°
﹣
80°
＝
55°
，

故选
B
．

【点睛】

本题考查了平 行线的性质及三角形外角的性质，熟练运用平行线的性质是解决问题的关
键．

5
．
如图，在

ABC
中，
AB
的垂直平分线 交
BC
于
D
，
AC
的中垂线交
BC
于E
，

DAE

20
o
，则

BAC
的度数为
( )


A
．
70
o

【答案】
D

【解析】

【分析】

B
．
80
o

C
．
90
o

D
．
100
o

根据线段垂直平分线的性质得到
D A=DB,EA=EC,
在由等边对等角，根据三角形内角和定理求
解
.

【详解】

如图所示：


∵
DM
是线段
AB
的垂直平分线，

∴
DA=DB,

B


DAB
,

同理可得：

C


EAC
,

∵


DAE

20
o
，< br>
B


DAB


C


EAC


DAE

180

，

∴

DAB


EAC

80


∴

BAC

100


故选：
D

【点睛】

本题考查了线段的垂直平分线和三角 形的内角和定理，解题的关键是掌握线段垂直平分线
上的点到线段两端的距离相等
.


6
．
如图，在

ABC
中，

B

33

，将

ABC
沿直线
m
翻折，点
B
落在点
D
的位置，则

1

2
的度数是（

）


A
．
33


【答案】
D

【解析】

【分析】

B
．
56


C
．
65


D
．
66


由折叠的性质得到∠
D=
∠
B
，再利用外角性质即可求出所求角的度数．

【详解】

解：如图，由折叠的性质得：∠
D=
∠
B=33°
，


根据外角性质得：∠
1=
∠
3+
∠
B
， ∠
3=
∠
2+
∠
D
，

∴∠
1=
∠
2+
∠
D+
∠
B=
∠
2+2
∠
B=
∠
2+66°
，

∴∠
1-
∠
2=66°
．

故选：
D
．

【点睛】

此题考查了翻折变换以及 三角形外角性质的运用，熟练掌握折叠的性质是解本题的关
键．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折 叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，
对应边和对应角相等．


7．
如图，在
△
ABC
中，
AB=AC
，∠
A= 30°
，
E
为
BC
延长线上一点，∠
ABC
与∠< br>ACE
的平分线
相交于点
D
，则∠
D
的度数为（

）


A
．
15°

【答案】
A

【解析】

【分析】

B
．
17.5°

C
．
20°

D
．
22.5°

先根据角平分线的定义得到∠
1
＝∠
2
，∠
3
＝∠
4
，再根据三角形外角性质得∠
1
＋∠
2
＝∠
3
＋∠
4
＋∠
A
， ∠
1
＝∠
3
＋∠
D
，则
2
∠
1< br>＝
2
∠
3
＋∠
A
，利用等式的性质得到∠
D
＝
然后把∠
A
的度数代入计算即可．

【详解】

解答：解：∵∠
ABC
的平分线与∠
ACE
的平分线交于点
D
，

1
∠
A
，
2

∴∠
1
＝∠
2
，∠
3
＝∠
4
，


∠
ACE
＝∠
A
＋∠
ABC
，

即∠
1
＋∠
2
＝∠
3
＋∠
4
＋∠
A
，

∴
2
∠
1
＝
2
∠
3
＋∠
A
，

∵∠
1
＝∠
3
＋∠
D
，

∴∠< br>D
＝
1
1
∠
A
＝
×30°
＝
15°
．

2
2
故选
A
．

【点睛】

点评：本题考查了三角形内角和定理，关键是根据三角形内角和是
180°
和三角形外角性质
进行分析．


8
．
如 图，⊙
O
过点
B
、
C
，圆心
O
在等腰直角
△
ABC
的内部，∠
BAC
＝
90°
，
O A
＝
1
，
BC
＝
6
，则⊙
O
的半 径为（

）


A
．
2
3





B
．
13






C
．
4
D
．
3
2

【答案】
B

【解析】

【分析】

如下图，作
AD
⊥
BC
，设半径为
r
，则在
Rt
△
OBD
中，
OD=3
－
1
，
OB=r
，
BD=3
，利用勾股 定
理可求得
r.

【详解】

如图，过
A
作
AD
⊥
BC
，由题意可知
AD
必过点
O
，连接
OB
；



∵△
BAC
是等腰直 角三角形，
AD
⊥
BC
，

∴
BD=CD=AD=3
；

∴
OD=AD- OA=2
；

Rt
△
OBD
中，根据勾股定理，得：

OB=
BD
2

OD
2

13

故答案为：
B.

【点睛】

本题考查了等腰直角三角形的 性质和勾股定理的应用，解题关键是利用等腰直角三角形
ABC
判定点
O
在< br>AD
上
.


9
．
如图，
△
ABC
中，
AB
＝
AC
＝
10
，
BC< br>＝
12
，
D
是
BC
的中点，
DE
⊥
AB
于点
E
，则
DE
的长
为（


）


A
．
6

5
B
．
8

5
C
．
12

5
D
．
24

5
【答案】
D

【解析】

【分析】

连接
AD
，根据已知等腰三 角形的性质得出
AD
⊥
BC
和
BD=6
，根据勾股定理求出
AD
，根据
三角形的面积公式求出即可．

【详解】

解：连接
AD


∵
AB=AC
，
D为
BC
的中点，
BC=12
，

∴
AD
⊥
BC
，
BD=DC=6
，
在
Rt
△
ADB
中，由勾股定理得：
AD=
∵
S
△
ADB=
∴
DE=
AB
2
BD
2
10
2

6
2

8
，

1
1
×AD×BD
＝
×AB×DE
，

2
2
AD

BD
8

6
24

，

AB
10
5
故选
D
．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质（等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、 底边上的高相
互重合）、勾股定理和三角形的面积，能求出
AD
的长是解此题的关键．


10
．
如图，
△
ABC
中，
AB=4
，
AC=3
，
AD
、
AE
分别是其角平分 线和中线，过点
C
作
CG
⊥
AD
于
F
，交
AB
于
G
，连接
EF
，则线段
EF
的长为 （

）


A
．
1
【答案】
D

【解析】

【分析】

B
．
3

4
C
．
2

3
D
．
1

2
由等腰三角形的判定方法可知
△
AGC
是等腰三角形，所以
F
为
GC
中点，再由已知条 件可得
EF
为
△
CBG
的中位线，利用中位线的性质即可求出线段< br>EF
的长．

【详解】

∵
AD
是
△
ABC
角平分线，
CG
⊥
AD
于
F
，< br>
∴△
AGC
是等腰三角形，

∴
AG=AC=3
，
GF=CF
，

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