-

2021年1月30日发(作者：尹馨)
考点一、利用正余弦定理求多边形的边或角

例
1.
如下图所示，在 四边形
ABCD
中，已知
AD

CD
,
AD

10,
AB

14,

BDA

60
，

BCD

135
，求
BD
及
BC
的长
.



题型
2
：三角形面积

例
2
．在

ABC
中，
sin
A

cos
A

2< br>，
AC

2
，
AB

3
，求
tan
A
的值和

ABC
的面积。

2
解法一：先解三角方程，求出角
A
的值。


s in
A

cos
A

2
cos(
A

45

)



cos(
A< br>
45

)



1
.
2
2
,
2

又
0

A

180
,

A
45

60
,
A

105.

tan
A

tan(45

60
)

1

3


2

3
,
1

3





sin
A

sin
105

sin(
45
60
)

sin
45
cos
60

cos
45
sin
60



2

6
.

4

S

ABC

1
1
2

6
3
AC

ABsin
A


2

3


(
2

6
)
。

2
2
4
4

解法二：由
sin
A< br>
cos
A
计算它的对偶关系式
sin
A

cos
A
的值。



sin
A

cos
A

2

①

2

(sin
A

cos
A
)
2


2sin
A
cos
A


1
2
1
2


0
A

180
,

sin
A

0,co s
A

0.
1
另解
(sin
2
A


)
2
2


(sin
A

cos
A
)

1

2
sin
A
cos
A

3
,
2


sin
A

cos
A

6

②

2

①
+
②得
sin
A

2

6
。

4
2

6
。

4

①－② 得
cos
A

从而
tan
A

sinA
2

6
4




2
3
。

cos
A
4
2

6
以下解法略去。
点评：本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，着重数学考查运算能力，是一道三角的< br>基础试题。两种解法比较起来，你认为哪一种解法比较简单呢？

题型
3
：三角形中的三角恒等变换问题

例
3
．在 △
ABC
中，
a
、
b
、
c
分别是∠
A
、∠
B
、∠
C
的对边长，已知
a
、
b
、
c
成等比数列，且
a
－
c
=
ac
－
bc
，
2
2
b
sin
B
求∠
A
的大小及
c
的值。

2
分析：因给出的是
a、
b
、
c
之间的等量关系，要求∠
A
，需找∠
A
与三边的关系，故可用余弦定理。由
b
=
ac
b
2
b
sin
B
可变形为
=
a
，再用正弦定理可求
的 值。

c
c
解法一：∵
a
、
b
、
c
成等比数列，∴
b
=
ac
。

又
a－
c
=
ac
－
bc
，∴
b
+
c
－
a
=
bc
。

2
2
2
2
2
2
b
2

c
2

a
2
bc
1
在△
ABC
中，由余弦定理得：
cos
A
=
=
=
，

2
bc
2
bc2
∴∠
A
=6
在△
ABC
中，由正弦定理得
s in
B
=
∠
A
=60
°，

b
s in
A
2
，∵
b
=
ac
，

a< br>b
sin
B
b
2
sin
60

3< br>
∴
=sin60
°
=
。

2
c
ac
解法二：在△
ABC
中，

由面 积公式得
2
1
1
bc
sin
A
=
acsin
B
。

2
2
2
∵
b
=
ac
，∠
A
=60
°，∴
bc
sin
A< br>=
b
sin
B
。

∴
b
sinB
=sin
A
=
3
。

c
2
评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理。

题型
4
：正、余弦定理判断三角形形状

例
4
．在 △
ABC
中，若
2cos
B
sin
A
＝
s inC
，则△
ABC
的形状一定是（

）

A.
等腰直角三角形

C.
等腰三角形

答案：
C
解析：
2sin
A
cos
B
＝
sin
C
=sin
（
A
＋
B
）
=sinAcosB+cosAsinB
∴
sin
（
A
－
B
）＝
0
，∴
A
＝
B

另解：角化边

点评：本题考查了三角形的基本性质，要求通过观察、分析、判断明确 解题思路和变形方向，通畅解题途径

题型
5
：三角形中求值问题

例
5
．

ABC
的三个内角为
A
、
B
、
C
，求当
A
为何值时，
cos
A

2cos
大值。

B+C
π
A
B+C
A< br>解析：由
A+B+C=
π
，得
=

－
，所以有
cos
=sin
。

2
2< br>2
2
2
B+C
A
A
A
1
2
3
2
A
cosA+2cos
=cosA+2sin
=1
－
2sin
+ 2sin
=
－
2(sin

－

)
+
；

2
2
2
2
2
2
2
A
1
π
B+C
3
当sin
=
，即
A=

时
, cosA+2cos
取得最大值为
。

2
2
3
2< br>2
点评：运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数的形式，通过三角函数的 性质求得结
果。

题型
6
：正余弦定理的实际应用

例
6
．
（
2009
辽宁卷文，理）如图，
A,B,C,D
都在同一个与水平面垂直的平面内，
B
，
D
为两岛上的两座灯塔的塔
顶。
测量船于水面
A
处测得
B
点和
D
点的 仰角分别为











B.
直角三角形

D.
等边三角形

B

C
取得最大值，并求出这个最
2
75
0
，
30
0
，
于水面
C
处测得
B
点和D
点的仰角均为
60
0
，
AC=0.1km
。试探究图 中
B
，
D
间距离与另外哪两点间距离相等，然后求
B
，D
的距离（计算结果精确到
0.01km
，

解
:
在△ABC
中，∠DAC=30°, ∠ADC=60°－∠DAC=30,

所以
CD=AC=0.1
又∠BCD=180°－60°－60°=60°，

2

1.41 4
，
6

2.449
）

AB< br>A
C

,
故
CB
是△CAD
底边
A D
的中垂线，所以
BD=BA
，







在△ABC
中，
sin

BCA< br>sin

ABC
即

ACsin60
3
2< br>
6

,
AB=
sin
15

< br>20
3
2

6

0
.
33
km
。
因此，
BD=

20
故
B
，
D
的距离约为
0.33km
。

点评：解三角形等内容提到高中来学习，又近年加强数形结合思想的考查和对三角变换要求的降低，对三角的综< br>合考查将向三角形中问题伸展，但也不可太难，只要掌握基本知识、概念，深刻理解其中基本的数量关系即 可过
关。

考点四、正、余弦定理及三角形面积公式的综合应用

例
8.
在

ABC
中，内角
A
,
B
,
C
的对边长分别为
a
,
b
,
c
，已知< br>c

2,
C



3
（
1
）

若

ABC
的面积为
3
，求
a
,
b
的值
.
（
2
）

若
sin
C

sin(
B

C
)

2sin
2
A
,求

ABC
的面积
.





例
9.
在

ABC
中，角
A
,
B
,
C
的对边长分别为
a
,
b
,
c
，且
（
1
）

求角
B
的大小；

（
2
）

若
b

13,
a

c

4
，求

ABC
的面积
.


三、思维总结

cos
B
b


.
cos
C
2
a

c
1
．解斜三角形的常规思维方法是：

（< br>1
）已知两角和一边（如
A
、
B
、
C
），由
A
+
B
+
C
=
π
求
C
，由正弦定理求
a
、
b
；

（
2
）已知两边和夹角（如
a
、
b
、
c< br>）
，应用余弦定理求
c
边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利

-

-

-

-

-

-

-

-