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2021年1月30日发(作者：512地震图片)
一共有多少个正三角形？

陕西省兴平市阜寨镇教委



张晨

把正六边形的各边
n
等分，
用线段依次连接相隔一边 的两边上的
对应分点
,
使与所夹边平行。这样，正六边形就变成了由许多相同的
小正三角形组成的网格状图形。
那么，
一共有多少个大小不同的正三
角形呢？这是一 个有趣又有一定难度的数数问题。

这个问题如何解答？我们可以从研究分析简单的情形入手，
最后
归纳出一般的结论。

如图，
把正六边形的各边
2等分，
用线段依次连
接相隔一边的两边上的对应分点
,
使与所夹边平行。 这样，正六边形
就变成了由有限个相同的小正三角形组成的网格状图形。
图中一共有
多 少个大小不同的正三角形呢？

通过观察分析可以发现，图中既有正立（△）的正三角形，又有
倒立（
▽
）的正三角形；既有边长为
1
（图中小正三角形的边长规定
为
1
个单位长度）的小正三角形，又有边长为
2
和
3
的大正三角形。
而且，
由于正六边形的对称性，
所有正立正三角形的个数和倒立正三
角形的个数相等。

下面我们从上到下逐行数出所有正立正三角形的个数。

第一步，边长为
1
的正立正三角形有：

3+4+3+2=12
（个）

1 / 6
第二步，边长为
2
的正立正三角形有
:
3+2+1=6
（个）

第三步，边长为
3
的正立正三角形有
1
个。

所以正立正三角形的个数是：
12+6+1=19
（个）

因为正立 正三角形的个数和倒立正三角形的个数相等，
所以图中
一共有
19
×
2=38
（个）大小不同的正三角形。

通过进一步的观察和分析，
我们发现 正六边形各边的等分数
n
分
偶数和奇数两种情形，即当
n=2m
和< br>n=2m+1
时正六边形中正三角
形的个数有不同的结论。

先看当
n=2m
时正六边形中正三角形的个数。

同上，我们只要先 从上到下逐行求出边长为
1
～
3m(
边长为
3m
的正立正三 角形是正六边形中最大的正立正三角形
)
的正立正三角形
的个数，再乘
2，就可以得出正六边形中全部正三角形的个数。


第一步，边长为
i( 1
≤
i
≤
2m)
的正立正三角形的个数是：

(2 m+1)+(2m+2)+
…
+
（
4m+1-i
）
+(4m -i)+
…
+(2m+1-i)
=
［
(2m+1)+(2m+2) +
…
+(4m-i)
］
×
2+
（
4m+1-i）
+2m+(2m-1)+
…
+(2m+1-i)
=(6m+1-i )(2m-i)+
（
4m+1-i
）
+
i(4m+1-i)
=12m
2
+2m-8mi-i+i
2
+4m+1-i+2mi+
i-
i
2

=12m
2
+6m+1+
i
2
-6mi-
1
i
第二步，边长为
2m+j(1
≤
j
≤
m)
的正立正三角形的个数是：

(2m+1-2j)+ (2m-2j)+
…
+1
2 / 6
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
=(2m+1-2j+1)(2m +1-2j)
÷
2
=(m+1-j)(2m+1-2j)

=2m
2
+3m+1+2j
2
-4mj-3j
第三步，边长为
1
～
2m
的正立正三角形的个数是
: 
i

1
2
m
(12m
2
+6m+1 +
i
2
-6mi-
1
i)
1
2
1
2
1
2
1
2
=2m(12m
2
+6m+1)+
［
1
2
+2
2
+
…
+(2m)
2
］
-(6m+
1
)(1+2+
…
+2m)
11
6
2
1
1
1
=24m
3
+12m< br>2
+2m+
1
m
3
+m
2
+
m-1 2 m
3
-9m
2
-
1
m
3
6
2
1
2
=13
m
3
+4m
2
+
m
3
3
=24m
3
+12m
2
+2m+
m( 2m+1)(4m+1)-m(2m+1)(6m+
1
)
注
1
6
：

1
1
3
2
+ 2
2
+
…
+(2m)
2
=
(2m)(2m+1)( 4m+1)=
m(2m+1)(4m+1)
1+2+
…
+2m=
(2m)(2m+1)=m(2m+1)
第四步，边长为
2m+1
～
3m
的正立正三角形的个数是：

1
2

j

1
m
（
2m
2
+3m+1+2j
2
-4mj-3j
）

=m
（
2m
2
+3m+1
）
+2
×
(1
2
+2
2
+
…
+m
2
)-(4m+3)(1+2+
…
+m)
=m
（
2m
2
+3m+1
）
+
m(m+1)(2m+1)-
m(m+1)(4m+3)
=2m
3
+3m
2
+m+
m
3
+m
2
+
m-2m< br>3
-
3
m
2
-
1
m

=
m
3
+
m
2
-
m
所以当
n=2m
时正六边形中大小不同的正三角形的总数是：

（< br>13
m
3
+4m
2
+
m+
m
3+
m
2
-
m
）×
2
3 / 6
1
3
1
2
2
3
1
3
1
2
1
2
2
3
1
2
1
6
1
3
2
3
2
3
1
2
1
6

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