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2021年1月30日发(作者：首套房证明怎么开)




















































(
微

lily2064)
高中数学

三角形形状的判定

判断三角形的形状的特征，必须深入地研究边、角间的关系，解决这类问题：

1
、

基本知识点：
（
1
）等腰三角形

a=b
或
A=B















（
2
）直角三角形

a

b

c
或
A=
90
















（
3
）钝角三角形

a

b

c
或
A

90
















（
4
）
锐角三角形

若
a
为最大边且
a
b

c
或
A
为最大角且
A

90

2
、基本思想方法：从条件出发，利用正弦定理（或余弦定理）进行代换、转 化。逐步化为
纯粹的边与边或角与角的关系，即通过考虑如下两条途径：

（
1
）

统一成角进行判断，常用正弦定理及三角恒等变换；

（
2
）

统一成边进行判断，常用余弦定理、面积公式等；

常见的题型有：

一、

利用三角形三边的代数关系直接判断

1
、

在三角形ABC
中，三边
a
、
b
、
c
满足
a< br>:
b
:
c

2:
6
:(
3

1
)
，试判断三角形的形状。

2
解析：

a

b

c



则
c
边最大，且
c

4
< br>2
3
，
a

b

8
，
< br>2
2
2
2
2
2
2
2

2< br>2
2

2
2
2








c

a

b
， 则最大角
C
为锐角，所以三角形为锐角三角形。

二、运用三角函数的关系直接判断

2
、
（
05
北 京）在

ABC
中已知
2sin
A
cos
A

sin
C
,
那么

ABC
一定是（




）

A
、直角三角形





















B
、等腰三角形

C
、等腰直角三角形三角形











D
、正三角形

解析：






C



(
A

B
) ,

sin
C

sin(
A

B
)

2sin
A
cos
B

sin(
A< br>
B
),

sin
A
cos
B
< br>cos
A
sin
B

0

sin(
A

B
)

0
又
A
,
B
,
C
是三角形的内角

A-B=0,
则选
B
3
、在△
ABC
中，已知
sin
B
sin
C< br>＝
cos
A
，试判断此三角形的类型
.


2
1

cos
A
2
A
解析：

∵
sin
B
sin
C
＝
cos

∴
sin
B
sin
C
＝

2
2< br>2
∴
2
sin
B
sin
C
＝
1＋
cos[180

(
B

C
)]

将
cos(B+C)=cosBcosC-sinBsinC
代入上式得

cosBcosC+sinBsinC=1


∴
cos
（
B
－
C
）＝
1




1
又
0
＜
B
，
C
＜
π
，∴－
π
＜
B
－
C
＜
π
∴
B
－
C
＝
0
∴
B
＝
C

故此三角形是等腰三角形
.


评述：
(1)
此 题在证明过程中，要用到余弦二倍角公式
cos
A
＝
2cos
2A
－
1
的逆用
.


2
(2)
由于已知条件就是三角函数关系式，故无需向边的关系转化，而是进行三角函数式的恒
等变形

三、运用向量进行判断

→
→
→
→
1
AB
AC
AB
AC
→
→
→
4
、
(06
陕西卷
)
已知非零向量
AB
与
AC
满足
(

+

)
·
BC
=0
且

·

=

,
则△
2
→
→
→
→
|AB
|
|AC
|
|AB
|
|AC
|
ABC
为
(



)
A
、三边均不相等的三角形










B
、直角三角形









C
、等腰非等边三角形














D
、等边三角形





AB
AC




)·
解析：
非零向量与 满足
(

=0
，即角
A
的平分线垂直于
BC< br>，∴

AB
=
AC
，
|
AB
||
AC
|





AB< br>AC
1




=
2

，∠
A
=
，所以△
ABC
为等边三角形，选
D
．

又
cos
A


3
|
AB
|
|
AC
|




< br>











5
、在

ABC
中，设
BC

a
,
CA

b
,
AB

c< br>,
若
a

b

b

c
< br>c

a
,
判断

ABC
的形状。






2

2



2





2

2


解析：

a

b

c

0
，

a

b


c
,(
a

b
)

c
，

a
b

2
a

b

c

2

2



2

2
2





2

2同理
b

c

2
b

c
< br>a
，两式相减，得
a

c

2(
a

b

b

c
)

c

a
，











2

2



a

b

b

c
，

a
=
c
，
a

c
，同理
a

b
，
a

b

c
，故

ABC
是等边三角
形。

四、运用正（余）弦定理判断

6
、在△
ABC
中，
b
cos
A

a
cos
B
试判断三角形的形状

分析
：三角形形状的判断，可以根据角的关系，也 可根据边的关系，所以在已知条件的
运用上，可以考虑两种途径：将边转化为角，将角转化为边，下面， 我们从这两个角度进行
分析
.


解法一：
利用余弦定理将角化为边
.
b
2

c< br>2

a
2
a
2

c
2
< br>b
2

a

∵
b
cos
A

a
cos
B


∴
b
·

2
bc
2
ac
∴
b
＋
c
－
a
＝
a
＋
c
－
b


∴
a
＝
b


∴
a
＝
b

故此三角形是等腰三角形
.


解法二：
利用正弦定理将边转化为角
.


∵
b< br>cos
A

a
cos
B


又
b

2
R
sin
B
,
a
2
R
sin
A


2
2
2
2
2
2
2
2
2

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