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2021年1月30日发(作者：职高学校)
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最新三角形知识点归纳、典型练习题及考点分析



一、三角形相关概念





















1
．三角形的概念

由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形

要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接．

2
．三角形的表示

通常用三个大写字母表示三角形的顶点，如用

A
、
B
、
C
表示三角形的三个顶点时，此

三角形可记作△
ABC
，其中线段
AB
、
BC
、
AC
是三角形的三条边，∠
A
、∠
B
、∠
C
分别表

示三角形的三个内角．

3
．三角形中的三种重要线段

三角形的角平分线、中线、高线是三角形中的三种重要线段．

（

1
）三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶
点和交点之间 的线段叫做三角形的角平分线．



注意：

①三角形的 角平分线是一条线段，可以度量，而角的平分线是经过角的顶
点且平分此角的一条射线．



②三角形有三条角平分线且相交于一点，这一点一定在三角形的内部．③三角形的角平分线画法与角平分线的画法相同，可以用量角器画，也可通过



尺规作图来画．



（

2
）三角形的 中线：在一个三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三
角形的中线．



注意：

①三角形有三条中线，且它们相交三角形内部一


点．②画三角形中线时只需连结顶点及对边的中点即可．

（
< br>3
）三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的限度叫
做三角 形的高线，简称三角形的高．

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注意：

①三角形的三条高是线段





②画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连结顶点与垂足的线


段就是该边上的高．













练习题：



A

F

E

C

1
、图中共有（

A
：
5


）个三角形。




D



B
：
6
C
：
7
D
：
8

B


2
、如图，
AE
⊥
BC
，
BF
⊥
AC
，
CD
⊥
AB
，则△
ABC
中
AC
边上的高是（



）

A

A
：
AE


B
：
CD

C
：
BF
D
：
AF

）。

B
：必在三角形的边上

D
：以上三种情况都有可能


B



D


3
、三角形一边上的高（

A
：必在三角形内部

C
：必在三角形外部





CE

F

4
、能将三角形的面积分成相等的两部分的是（



）。

A
：三角形的角平分线

C
：三角形的高线

B
：三角形的中线

D
：以上都不对

）。




5
、具备下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（

A
：∠
A+
∠
B=
∠
C




B
：∠
A=
∠
B=

∠
C

2

1
C
：∠
A=90
°
-
∠
B

D
：∠
A-
∠
B=90

6
、一个三角形最多有





个直角，有

个钝角，有

个锐角。

7
、△
ABC
的周长是
12 cm
，边长分别为
a
，
b ,
c ,
且
a=b+1 , b=c+1
，则
a=








cm ,

b=

cm ,
c=

cm
。

8
、如图，
AB
∥
CD
，∠
ABD
、∠
BDC
的平分线交于

E
，试判断△
BED
的形状？

B

A

E

D

C

----
-----

9
、如图，在

4
×
4
的方格中，以

AB
为一边，以小正方形的顶点为顶点，画出符合下



列条件的三角形，并把相应的三角形



用字母表示出来。



（
1
）钝角三角形是



。

。

。

（
2
）等腰直角三角形是



（
3
）等腰锐角三角形是



（二）三角形三边关系定理



①三角形两边之和大于第三边，故同时满足△





ABC
三边长
a
、
b
、
c
的不等式有：

a+b>c
，
b+c>a
，
c+a>b
．

ABC
三边长
a
、
b
、
c
的不等式有：

②三角形两边之差小于第三边，故同时满足△





a>b-c
，
b>a-c
，
c>b-a
．

注意：判定这三条线段能否构成一个三角形，只需看两条较短的线段的长度之和是否



大于第三条线段即可



练习题：



1
、以下列线段为边不能组成等腰三角形的是（





）。

A
：
2
、
2
、
4

B

：
6
、
3
、
6

C

：
4
、
4
、
5

D

：
1
、
1
、
1

2
、现有两根木棒，它们的长度分别为





40 cm
和
50 cm
，若要钉成一个三角架，则在下

列四根棒中应选取（







）。










A
：
10 cm

的木棒




B
：
40 cm

的木棒



C
：
90 cm

的木棒




D
：
100 cm

的木棒







3
、三条线段

a=5,b=3,c

为整数，从

a
、
b
、
c

为边组成的三角形共有（












）
.


A
：
3

个


B

：
5

个





C

：无数多个







D

：

无法确定




4
、在△
ABC
中，

a=3x




，
b=4x

，
c=14

，则

x

的取值范围是（





）。


A
：
2
B: x>2

C: x<14

D: 7
----
-----







5
、如果三角形的三边长分别为






m-1, m , m+1(m
为正数
)
，则

m
的取值范围是（





）。


A
：
m>0


B: m>-2

C: m >2



D: m < 2





6
、等腰三角形的两边长为


25cm
和
12cm
，那么它的第三边长为






cm

。


7
、工人师傅在做完门框后．为防变形常常像图


4
中所示的那样上两条斜拉的木条这样

做根据的数学道理是












。


8
、已知一个三角形的周长为

15 cm
，且其中的两边都等于第三边的





2
倍，求这个三角

形的最短边。

9
、如果
a ,b ,c
为三角形的三边，且

(a
b)

(a
c)

b
c



2
2
0
，试判断这个三角形的

形状。








（三）三角形的稳定性



三角形的三边确定了，那么它的形状、 大小都确定了，三角形的这个性质就叫做三角
形的稳定性．例如起重机的支架采用三角形结构就是这个道 理．三角形内角和性质的
推理方法有多种，常见的有以下几种：



（四）三角形的内角



结论
1
：三角形的内角和为
180
°．表示：

在△
ABC
中，∠
A+
∠
B+
∠
C=180
°

（
1
）构造平角



①可过
A
点作
MN
∥
BC(
如图
)
②可过一边上任一
点，作另两边的平行线（如图）



（
2
）构造邻补角，可延长任一边得



邻补角（如图）

构造同旁内角，过任一顶点作射线平行于对边（如图）

----
-----






































（结论
2
）





（图
3
）

结论
2
：在直角三角形中，两个锐角互余．表示：

如图，在直角三角形

ABC
中，∠

C=90
°，那么∠

A+
∠
B=90
°

（因为∠
A+
∠
B+
∠
C=180
°）



注意：

①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角
如：在△
ABC
中，∠
C=180
°－（∠
A+
∠
B
）



②在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角．



如：△
ABC
中，已知∠
A
：∠
B
：∠
C=2
：
3
：
4
，



求∠
A
、∠
B
、∠
C
的度数．



（五）三角形的外角



1
．意义：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．



如图
3
，∠
ACD
为△
ABC
的一个外角，∠
BCE
也是△
ABC
的一个外
角，这两个角为对顶角，大小相等．



2
．性质：



①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和



.

.

②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角



如图中，∠
ACD=
∠
A+
∠
B ,

∠
ACD>
∠
A ,

∠
ACD>
∠
B.

----
-----

③三角形的一个外角与与之相邻的内角互补



3
．外角个数



过三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角（相等），可见一个三角形



共有六个外角．



练习：



1
、三角形的三个外角中，钝角最多有（



）。

A
：
1
个





B
：
2
个

C
：
3
个

）。

D
：
4
个

2
、下列说法错误的是（



A
：一个三角形中至少有两个锐角

B
：一个三角形中，一定有一个外角大于其中的一个内角

C
：在一个三角形中至少有一个角大于

60
°

90
°

）。







D
：锐角三角形，任何两个内角的和均大于

3
、一个三角形的外角恰好等于和它相邻的内角，则这个三角形是（





A
：锐角三角形

B
：直角三角形

C
：钝角三角形

D
：不能确定

）。

4
、直角三角形两锐角的平分线相交所成的钝角是（



A
：
120
°

B
：
135
°

C
：
150
°

3B
，则

B

D
：
165
°

__________ _ .



5
、△

ABC

中，

A 100
0
, C





6
、在△
ABC
中，∠
A=100
°，∠
B-
∠
C=40
°，则∠
B=


















，∠
C=

。

7
、如图
1
，∠
B=50
°，∠
C=60
°，
AD
为△
ABC
的角平分线，求∠
ADB
的度数。

8
、已知：如图




3
，
AE
∥
BD
，∠

C
B=28
°，∠

A=95
°，求∠

C

的度数。



E

D

B

----
-----
A

----
-----











A

B

D

C




图

1



图
3






（六）多边形



①多边形的对角线


n(n

3)
条对角线


2


②

n

边形的内角和为（
n
－
2
）×
180
°

③多边形的外角和为
360
°



练习题：



1
、若四边形的四个内角大小之比为

1
：
2
：< br>3
：
4
，则这四个内角的大小为




。

2
、如果六边形的各个内角都相等，那么它的一个内角是

3
、在各个内角都相等的多边形中，一个外角等于一个内角的


。

1
3

，则这个多边形的每个

内角为





度。

）。

4
、（
n+1
）边形的内角和比
n
边形的内角和大（



A
：

180
°

B
：

360
°

C
：
n
×
180
°

）个锐角。

D: n
×
360
°

5
、
n
边形的内角中，最多有（





A
：
1
个

B
：
2
个

C
：
3
个

D
：
4
个

7
、若多边形内角和分别为下列度数时，试分别求出多边形的边数。



①

1260
°



②
2160
°


















考点
1

----
-----

1.

对下面每个三角形，过顶点
A
画出中线，角平分线和高
.




A

A

A






C

B



B



B

C

(2)




(3)

(1)

考点
2



1
、下列说法错误的是
(
).



A
．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点



B
．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点



C
．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点



D
．三角形的三条高可能相交于外部一点



2
、下列四个图形中，线段

BE
是△
ABC
的高的图形是
( )




B

B

B

B



E

E

A

C

A
EC

A

C

E

A

C



A

B

C

D


2
题图



3
．如图
3
，在△
ABC
中，点
D
在
BC
上，且
AD=BD=CD
，
AE
是
BC
边上的高，若沿

所



在直线折叠，点

C
恰好落在点
D
处，则∠B
等于（

）



A
．
25
°
B
．
30
°
C
．
45
°
D
．
60
°






















----
C

AE
-----

4.

如图

4
，已知

AB=AC=BD
，那么∠1
和∠2
之间的关系是（

）

----
-----



5.

如图
5
，在△
ABC
中，已知点
D
，
E
，
F
分别为边
BC
，
AD
，
CE
的中点，且

S

ABC
= 4
cm
2

，



则

S
阴影

等于
( )


A.

∠
1=2
∠
2 B. 2
∠
1+
∠
2=180
°
C.
∠
1+3
∠
2=180
°
D. 3
∠1
-
∠
2=180
°

A
．
2
cm
2



B. 1
cm
2


C.

1

cm
2

2

D.


1

cm
2

4

6.
如图
7
，
BD=DE=EF=FC
，那么，
AE
是
_____

的中线。






A




A





A

E

F

BDC

















BDEFC


BD

6
题图


C










5
题图

7.
如图
6
，
BD=


1

BC
，则

2




边上的中线为


BC

0

，
S
ABD

=__________
。

______



7
题图













0


0

8.
如图
1
，在△
ABC
中，∠
BAC=60
，
∠
B=45

∠
ADB=




0

，
AD
是△
ABC
的一条角平分线，则∠
DAC=


，


















9.

如图
2
，在△
ABC
中，
AE
是中线，
AD
是角平分线，
AF
是高，则根据图形填空：

1

1

0



⑴
BE==


2

A




；⑵∠
BAD=


=



2



⑶∠
AFB=



=90
；




A













C












D


C


E

B

F

D


C







1
题




0

2
题




AD


B


10.
如图在△
ABC
中，∠
ACB=90
，
CD
是边
AB
上的高。那么图中与∠
A
相等的角是
（
















）

A
、

∠
B

B
、

∠
ACD

C
、

∠
BCD

D
、

∠
BDC




11.

在△
ABC
中，∠
A=

∠
C=

∠
ABC
，
BD
是角平分线，求∠
A
及∠
BDC
的度数（





1
1
2

2

----
-----


A

A

B

----
-----























（
11
题）








（
12

题）

（
13

题）

12.

已知，如图，
AB
∥
CD
，
AE
平分∠
BAC
，
CE
平分∠
ACD
，求∠
E
的度数



13.

如图，在△
ABC
中，
D,E
分别是
BC
，
AD
的中点，

S

ABC
=4
cm
2

，求

S

ABE
.


考点
3



1.

关于三角形的边的叙述正确的是


（


）


A
、三边互不相等


B

、至少有两边相等



C
、任意两边之和一定大于第三边

D

、最多有两边相等


已知△
ABC
中，∠
A=20
0
，∠
B=
∠
C
，那么三角形△
ABC
是
）

2.

（

A
、锐角三角形

B
、直角三角形

）


C

、钝角三角形
D




、正三角形





3.

下面说法正确的是个数有（

①如果三角形三个内角的比是１∶２∶３，那么这个三角形是直角三角形；

②如果三角形的一个外角等于与它相邻的一个内角，则这么三角形是直角三角形；



③如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这
A
个三 角形是直




D

E

角三角形；

④如果∠
A=
∠
B=

∠
C
，那么△
ABC
是直角三角形；

2

1






B


C




⑤若三角形的一个内角等于另两个内角之差，那么这个三角形是直角三角形；

⑥在

ABC
中，若∠
A
＋∠
B=
∠
C
，则此三角形是直角三角形。





A
、
3
个

B

、
4
个

C

、
5
个

D

、
5
个

4.
一个多边形中，它的内角最多可以有

----
个锐角

-

-

-

-

-

-

-

-