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2021年1月30日发(作者：徐闻白沙湾)
《三角形》专题训练


一．选择题

1
．若三角 形三边长分别为
2
，
x
，
3
，且
x
为正整 数，则这样的三角形个数为（


）

A
．
2

B
．
3

C
．
4

D
．
5

2
． 如图，在△
ABC
中，∠
A
＝
36
°，
AB
＝
AC
，
BD
平分∠
ABC
，则图中等腰三角形的个数< br>是（


）


A
．
0
个

B
．
1
个

C
．
2
个

D
．
3
个

3
．如图，在∠
MON
中，以点
O
为 圆心，任意长为半径作弧，交射线
OM
于点
A
，交射线
ON
于点
B
，再分别以
A
，
B
为圆心，
OA
的 长为半径作弧，两弧在∠
MON
的内部交于点
C
，作射线
OC
．若
OA
＝
10
，
AB
＝
12
，则点< br>B
到
AC
的距离为（


）


A
．

B
．

C
．
10

D
．
12

4
．如图，在△
ABC
中，∠
ACB
＝
90
°，
D
为
AB
边的中点，连 接
CD
并延长至点
E
，使
DE

＝
CD< br>．
连接
AE
，
过点
B
作
BF
∥DE
交
AE
的延长线于点
F
，
若
BF
＝
7
，
则
AB
的长为
（


）

A
．
3.5

B
．
7

C
．
10

D
．
14

5
．如图，
AB
＝
A C
，
AE
＝
EC
＝
CD
，∠
A
＝
60
°，若
EF
＝
2
，则
DF
＝（


）


A
．
3

B
．
4

C
．
5

D
．
6

6
．如图，点
A
，
B< br>，
C
，
D
顺次在直线
l
上，以
AC
为底边向下作等腰直角三角形
ACE
，
AC
＝
a
．以
BD
为底边向上作等腰三角形
BDF
，
BD
＝
b
，
FB
＝
FD
＝
b
，记△
CDE
与△ABF
的面积的差为
S
，当
BC
的长度变化时，
S始终保持不变，则
a
，
b
满足（


）


A
．

B
．

C
．

D
．

7
．
如图，
已知△
ABC
的面积为
8
，
在
BC
上截取
BD
＝
BA
，
作∠
ABC
的平分线交
AD
于点
P
，
连接
PC
，则△
BPC
的面积为（

）


A
．
2

B
．
4

C
．
5

D
．
6

8
．如图，△
ABC
中，
AB
＝
AC
，
DE
垂直平分
AC
，若△
BCD
的周长是
14
，
BC
＝
6
，则
AC
的长是（


）


A
．
6

B
．
8

C
．
10

D
．
14

9
．如图，
Rt
△
ACB
中，∠
ACB
＝
90°，
AB
＝
13
cm
，
AC
＝
5cm
，动点
P
从点
B
出发沿射线
BC
以
2
cm
/
s
的速度运动，设运动时间为
ts
，当△
APB
为等腰三角形时，
t
的值为（


）


A
．
C
．
或
或

或
12

B
．
D
．
或
12
或
4

或
12
或
4


10
．
若△ABC
三边长
a
，
b
，
c
，
满足A
．等腰三角形

C
．直角三角形

+|
b< br>﹣
a
﹣
1|+
（
c
﹣
9
）
2
＝
0
，
则△
ABC
是
（


）

B
．等边三角形


D
．等腰直角三角形

11
．如图，在△
ABC
中 ，∠
A
＝
90
°，
AB
＝
6
，
A C
＝
8
，∠
ABC
与∠
ACB
的平分线交于点O
，
过点
O
作
OD
⊥
AB
于点
D
，若则
AD
的长为（


）


A
．

B
．
2

C
．

D
．
4

12
．在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到 如下指令：从原点
O
出发，按向右，向上，
向右，向下的方向依次不断移动，每次移动
1
m
．其行走路线如图所示，第
1
次移动到
A
1< br>，第
2
次移动到
A
2
，…第
n
次移动到A
n
．则△
OA
6
A
2020
的面积是（

）


A
．
505
m
2

二．填空题

B
．
504.5
m
2

C
．
505.5
m
2

D
．
1010
m
2

13
．如果三角形的 两个内角∠
α
与∠
β
满足
2
α
+
β
＝
90
°，那么，我们将这样的三角形称为
“准互余三角形”．在△
ABC
中，已知∠
C
＝
90
°，
BC
＝
3
，
AC
＝
4
（如图所示），点
D
在
AC
边上，
联结
BD
．
如果△
ABD
为
“准互余三角形 ”
，
那么线段
AD
的长为





（写
出一个答案即可）．


14
．如图，在< br>Rt
△
ABC
中，∠
ACB
＝
90
°，点< br>D
、
E
、
F
分别是
AB
、
AC、
AD
的中点，若
AB
＝
8
，则
EF
＝





．


15
．△
ABC
的面积为
S
，作△
ABC
的中线
AC
1
，取
AB
的中点
A
1
，连接
A
1
C
1
得到第一个三
角形△
A
1
BC
1< br>，作△
A
1
BC
1
中线
A
1
C2
，取
A
1
B
的中点
A
2
，连接A
2
C
2
，得到第二个三角形
△
A
2
BC
2
……重复这样的操作，则
2019
个三角形△
A
20 19
BC
2019
的面积为





．

16
．如图，已知点
A
的坐标为（
4
，
0
），点
B
的坐标为（
0
，
3
），在第 一象限内找一点
P
（
a
，
b
），使△
PAB
为等边三角形，则
2
（
a
﹣
b
）＝





．


17
．如图，半圆
O
的直径
AB
＝
18
，
C
为半圆
O
上一动点，∠
CAB
＝
a
，点
G
为△
ABC的重
心．则
GO
的长为





．


18
．如图，在
Rt
△
ABC，∠
ACB
＝
90
°，
AD
在△
ABC
外，
AD
＝
AC
，∠
CAD
＝∠
ABC
，连
接
BD
．若
AB
＝
5
，
AC
＝
3
，则
BD
＝





．


19
．△
ABC
与△
DEF
是两个全等的等腰直角三角形，
．现
将△
DEF
与△
ABC
按如图所示的方式叠放在一起，
使△
ABC
保持不动，
△
DEF< br>运动，
且
C
重合）
EF
与
AC
交于点
M
．
满足点
E
在边
BC
上运动
（不与
B
，
，
边
DE
始终经过点
A
，
在
△
DEF
运动过程中，若△
AEM
能构成等腰三角形，则
BE
的长为





．



三．解答题

20
．如图所示，在平面直角坐标系中，点
A
，
B
的坐标分别为
A
（
a
，
0
），
B
（
b
，
0
），且
a
，
b
满足
|
a
+3|+
＝
0
，点
C
的坐标为（0
，
3
）．

（
1
）求
a
，
b
的值及
S
△
ABC
；

（
2< br>）若点
M
在
x
轴上，且
S
△
ACM
＝
S
△
ABC
，试求点
M
的坐标．



21
．如图，在平面内给定△
ABC
，
AB
＝< br>AC
，点
O
到△
ABC
的三个顶点的距离均等于
c< br>（
c
为常数）
，
到点
O
的距离等于
c
的所有点组成图形
G
，
过点
A
作
AB
的垂线交< br>BC
于点
E
，
交图形
G
于点
D
，延 长
DA
，在
DA
的延长线上存在一点
F
，使得∠
A BF
＝∠
ABC
．

（
1
）依题意补全图形；

（
2
）判断直线
BF
与图形
G
交点的个数并证明；

（
3
）若< br>AD
＝
4
，
cos
∠
ABF
＝
，求
DE
的长．


22
．我们知道，
演绎推理的过程 称为证明，证明的出发点和依据是基本事实．证明三角形全
等的基本事实有：两边及其夹角分别相等的两 个三角形全等，两角及其夹边分别相等的
两个三角形全等，三边分别相等的两个三角形全等．

（
1
）请选择利用以上基本事实和三角形内角和定理，结合下列图形，证明：两角分别 相
等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等．

（
2
）
把三角形的三条边和三个角统称为三角形的六个元素．
如果两个三角形有四对对应
元素相等， 这两个三角形一定全等吗？请说明理由．



23
．思维启迪：

（
1
）如图
①
，A
，
B
两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量
A
，< br>B
间的距离，
但绳子不够长，他出一个办法：先在地上取一个可以直接到达
B< br>点的点
C
，连接
BC
，取
BC
的中点
P（点
P
可以直接到达
A
点）
，利用工具过点
C
作
CD
∥
AB
交
AP
的延长线于
点
D，此时测得
CD
＝
200
米，那么
A
，
B间的距离是





米．

思维探索：

（
2
）在△
ABC
和△
AD E
中，
AC
＝
BC
＝
4
，
AE
＝
DE
＝
，∠
ACB
＝∠
AED
＝
90°，将△
ADE
绕点
A
顺时针方向旋转，把点
E
在AC
边上时△
ADE
的位置作为起始位置（此时点
B
和点
D
位于
AC
的两侧）
，
设旋转角为
α
，
连接
BD
，
点
P
是线段
BD
的中点，
连接
PC
，
PE
．

①
如图
②
，当△
ADE
在起始位置时，求证：
PC
⊥
PE
，
PC< br>＝
PE
．

②
如图
③
，当
α
＝
90
°时，点
D
落在
AB
边上，
PC
与
PE
的数量关系和位置关系分别
为





．

③
当
α
＝
135
°时，直 接写出
PC
的值．



24
．数学课上，张老师出示了如下框中的题目．

已知，在△
AB C
中，∠
A
＝
90
°，
AB
＝
AC
，点
D
为
BC
的中点，点
E
和点
F
分别 是边
AB
和
AC
上的点，且始终满足
DE
⊥
DF< br>，试确定
DE
与
DF
的大小关系．


小明与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：

（
1
）
【特殊 情况，探索结论】如图
1
，若点
E
与点
A
重合时，点
F
与点
C
重合，容易得
DE





DF

到
DE
与
DF
的大小关系．请你直接写出结论：
（填
“＞”
，
“＜”
或
“＝”）
．
（
2
）【特例启发，解答题目】如图
2
，若点E
不与点
A
重合时，
DE
与
DF
的大小关系< br>是：
DE





DF
（填“＞ ”，“＜”或“＝”）．理由如下：连结
AD
，（请你完成剩
下的解答过程）

（
3
）
【拓展结论，设计新题】在△
ABC
中∠
A
＝
90
°，
AB
＝
AC
，点
D
为
BC
的中点，点
E
和点
F
分别是直线
AB
和直线
AC
上的点，且始终满足
DE
⊥
DF
，若
A B
＝
AC
＝
1
，
BE
＝
2
，求< br>CF
的长．（请你直接写出结果）







25
．问题提出：

AB
＝
b
，
（
1
）
如图
1
，
点
A
为线段
BC
外一动点，
且
BC
＝
a
，
填空：当∠
ABC
＝





时，
线段
AC
的长取得最大值，且最大值为





（用含
a
，
b
的式子表示）．

问题探究：

（
2
）点
A
为线段
BC外一动点，且
BC
＝
6
，
AB
＝
3
， 如图
2
所示，分别以
AB
，
AC
为边，
作等边三角 形
ABD
和等边三角形
ACE
，连接
CD
，
BE< br>，找出图中与
BE
相等的线段，请
说明理由，并直接写出线段
BE长的最大值．

问题解决：

（
3
）如图
3< br>，在平面直角坐标系中，点
A
的坐标为（
2
，
0
）， 点
B
的坐标为（
5
，
0
），
点
P
为线段
AB
外一动点，且
PA
＝
2
，
PM
＝
PB
，∠
BPM
＝
90
，求线段
AM
长 的最大值及
此时点
P
的坐标．



参考答案

一．选择题

1
．解：由题意可得，
4
﹣
2
＜
x
＜
4+2
，

解得
2
＜
x
＜
6
，

∵
x
为整数，

∴
x
为
4
、
5
、
3
，

∴这样的三角形个数为
3
．

故选：
B
．

2
．解：∵
AB
＝
AC
，

∴△
ABC
为等腰三角形，

∴∠
ABC
＝∠C
＝
（
180
°﹣∠
A
）＝
（
180
°﹣
36
°）＝
72
°，

∵
BD
平分∠
ABC
，

∴∠
ABD＝∠
CBD
＝
×
72
°＝
36
°，

∴∠
ABD
＝∠
A
，

∴△
ABD
为等腰三角形，

∵∠
BDC
＝∠A
+
∠
ABD
＝
72
°，

∴∠
BDC
＝∠
C
，

∴△
BDC
为等腰三角形．

故选：
D
．

3
．解：作
AH
⊥
OB
于
H
，连接
AB
交
OC
于
D
，如图，

由作法得
OC
平分∠
AOB
，

而
OA
＝
OB
＝
10
，

∴
OD
⊥
AB
，

∴
AD
＝BD
＝
AB
＝
6
，

在
Rt
△
AOD
中，
OD
＝
∵
AH
•
OB
＝
OD
•
AB
，

＝
8
，

∴
AH
＝
∵
AO
＝
AC
，

＝
，

∴∠
AOC
＝∠
ACO
，

∴∠
ACO
＝∠
BOC
，

∴
AC
∥
OB
，

∴点
B
到AC
的距离为
故选：
A
．

．


4
．解：∵
D
为
AB
边的中点，

∴
AD
＝
BD
，

在△
BCD
和△
AED
中，

∵
，

∴△
BCD
≌△
AED
（
SAS
），

∴∠
CBD
＝∠
EAD
，

∴
BC
∥
AE
，即
BC
∥
EF
，

又∵
BF
∥
CE
，

∴四边形
BCEF
是平行四边形，

∴
CE
＝
BF
＝
7
，

∴
CD
＝
CE
＝
3.5
，

故选：
A
．

5
．解：如图，过点
E
作< br>EG
⊥
BC
，交
BC
于点
G

< br>∵
AB
＝
AC
，∠
A
＝
60
°
∴△
ABC
是等边三角形

∴∠
ACB
＝
60
°

∵
EC
＝
CD

∴∠
CED
＝∠
CDE
＝
∠
ACB
＝
30
°

∴∠
AEF
＝
30
°

∴∠
AFE
＝
90
°，即
EF
⊥
AB

∵△
ABC
是等边三角形，
AE
＝
CE

∴
BE
平分∠
ABC

∴
EG
＝
EF
＝
2

在
Rt△
DEG
中，
DE
＝
2
EG
＝
4
∴
DF
＝
EF
+
DE
＝
2+4＝
6

故选：
D
．

6
．解：过点< br>F
作
FH
⊥
AD
于点
H
，过点
E< br>作
EG
⊥
AD
于
G


∵△
ACE
是等腰直角三角形，
AC
＝
a

∴
EG
＝
AC
＝

∵
BD
＝b
，
FB
＝
FD
＝
b
，
FH
⊥
AD

∴
BH
＝
BD
＝

在
Rt
△
BHF
中

FH
＝
设
BC
＝
x

则
S
△
ABF
＝
AB
•
FH
＝
（
a
﹣
x
）×
b









S
△
CDE
＝
CD
•EG
＝
（
b
﹣
x
）×

∴
S
△
CDE
﹣
S
△
ABF
＝
（
b< br>﹣
x
）×
﹣
（
a
﹣
x
）×
b

＝（
﹣
）
x
﹣

＝
＝

∵当
BC
的长度变化时，
S
始终保持不变

∴
﹣
＝
0

∴
a
＝

故选：
A
．

7
．解：∵
BD
＝
BA
，
BP
是∠
ABC
的平分线，

∴
AP
＝
PD
，

∴
S
△
BPD
＝
S
△
ABD
，
S
△
CPD＝
S
△
ACD
，

∴
S
△
B PC
＝
S
△
BPD
+
S
△
CPD
＝
S
△
ABD
+
S
△
ACD
＝
S
△
ABC
，

∵△
ABC
的面积为
8
，

∴
S
△
BPC
＝
×
8
＝
4
．

故选：
B
．

8
．解：∵
DE
垂直平分
AC
，

∴
AD
＝
CD
．

∵△
BCD
的 周长是
14
，
BC
＝
6
，

∴
A B
＝
BD
+
CD
＝
14
﹣
6
＝< br>8
，

∵
AB
＝
AC
，

∴
AC
＝
8
．

故选：
B
．

9
．解：∵∠
C
＝
90
°，
AB
＝
13
cm
，
AC
＝
5
cm
，

∴
BC
＝
12
cm
．

①
当BP
＝
BA
＝
13
时，∴
t
＝
s．

②
当
AB
＝
AP
时，
BP
＝
2
BC
＝
24
cm
，∴
t
＝
12
s
．

③
当
PB
＝
PA
时，
PB
＝
PA
＝
t

cm
，
CP< br>＝（
12
﹣
t
）
cm
，
AC
＝5
cm
，

在
Rt
△
ACP
中，< br>AP
2
＝
AC
2
+
CP
2
，

∴（
t
）
2
＝
5
2
+
（12
﹣
t
）
2
，解得
t
＝
综上，当△
ABP
为等腰三角形时，
t
＝
故选：
C
．

10
．
解：
∵△
ABC
三边长
a
，
b
，
c
满足
|
b
﹣
a
﹣
1|< br>≥
0
，（
c
﹣
9
）
2
≥
0

∴
a
+
b
﹣
81
＝
0
，
b
﹣
a
﹣
1
＝
0
，
c
﹣
9
＝
0
，

∴
a
＝
40
，
b
＝
41
，
c
＝
9
，
∵
9
2
+40
2
＝
41
2
，

∴△
ABC
是直角三角形．

故选：
C
．

11
．解：过
O
作
OE
⊥
CB
，
OF
⊥
AC
，

又∵∠
BAC
＝
90
°，

∴四边形
ADOF
是矩形，

∵∠
ABC
与∠ACB
的平分线交于点
O
，

∴
DO
＝
EO
＝
FO
，

∴四边形
ADOF
是正方形，

∴
AD
＝
DO
，

∵∠
BAC
＝
90
°，
AB
＝
6
，
AC
＝
8< br>，

∴
BC
＝
10
，

∴
S
△
ABC
＝
连接
AO
，
< br>设
DO
＝
x
，则
FO
＝
EO
＝x
，

＝
24
，

+|
b
﹣
a
﹣
1|+
（
c
﹣
9
）
2
＝
0
，
且
≥
0
，
s
．

s
或
12
s
或
s
，

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