边长为整数的直角三角形
余年寄山水
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2021年01月30日 19:16
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边长为整数的直角三角形，若其两直角边长是方程
x
2
-
（
k+2
）
x+4k=0
的两根，求
k
的值并确定直角三角形
三边之长．
考点：
解一元二次方程
-
公式法
；
解 二元一次方程组
；
根的判别式
；
勾股定理
．
专题：
计算题
．
分析：
根据方程的根为整数，得到根的判 别式为平方数，然后进行讨论求出
k
值，得到三角形三边的长．
解答：解：设直角边为
a
，
b
，（
a
＜
b
） 则
a+b=k+2
，
ab=4k
，
因方程的根为整数，故其判别式为平方数，
设△
=
（
k+ 2
）
2
-16k=n
2
⇒
（
k-6+n
） （
k-6-n
）
=1
×
32=2
×
16=4
×
8
，
∵
k-6+n
＞
k-6-n
，
∴
k-6+n=32
k-6-n=1
或
k-6+n=16
k-6-n=2
或
k-6+n=8
k-6-n=4
，
解得
k
1
=
45
2
（ 不是整数，舍去），
k
2
=15
，
k
3
=12，
当
k
2
=15
时，
a+b=17
，
ab=60
⇒
a=5
，
b=12
，
c=13，
当
k
3
=12
时，
a+b=14
，
ab=48
⇒
a=6
，
b=8
，
c=10
．
∴当
k=15
时，三角形三边的长为：
5
，
12
，
13
．
当
k=12
时，三角形三边的长为 ：
6
，
8
，
10
．
点评：
本题 考查的是解一元二次方程，根据直角三角形的直角边是整数，得到方程的根是整数，所以判别
式是平方数 ，讨论求出
k
的值．然后求出直角三角形三边的长．
某班参加一次智力竞赛，
共
A,B,C
三题，
每题或者得满分或者得
0
分，
其中题
A
满分
20
分，题
B
，题< br>C
满分分别为
25
分，竞赛结束，每个学生至少答对了一
题，三题全对 的有
1
人，答对其中两题的有
15
人，答对题
A
的人数于答 对题
B
的人数之和为
29
人，答对题
A
的人数于答对题B
的人数之和为
25
人，答对题
B
的人数与答对题
C< br>的人数之和为
20
人。问这个班的平均成绩是多少分？
（请写清过程，
O(∩_∩)O
谢谢）
我来帮他解答
满意回答
2009-02-10 16:03
解：设：答对
A< br>题
x
人，答对
B
题
y
人，答对
C
题
z
人。
则：
x+y=29
（
1
）；
x+z=25
（
2
）；
y+z=20
（
3< br>）
（
1
）
-
（
2
）得 ：
y-z=4
（
4
）
（
3
）
+
（
4
）得：
2*y=24
，所以
y=12
代入（
2
）（
3
）得：
x=17
，
z=8
又
A
为
20
分，
BC
为
25< br>分
所以：总分
=17*20+12*25+8*25=840
我们可以假设所有人都只做对一题，那么我们
x+y+z
的总做对题数扣除 全对的
同学多对的两题，以及对两题的同学多对的一题，剩余的便是学生数了
即
x+y+z-2-15=17+8+12-2-15=20
所以，平均分
=840/20=42
九年级（
1）班为即将到来的“五•一”国际劳动节排练节目时需要
3
个底面圆半径为
10< br>厘米，母线长为
20
厘米的圆锥形小红帽（不计接缝损失）．
（
1
）试确定这种圆锥形小红帽侧面展开图（扇形）的圆心角的度数；
（
2
）现有宽为
40
厘米的矩形布料可供选用，按照题目要求在图
1
中画出使布料能充分利用（最省料）的
示意图，并求出矩形布料的长至少为多少厘米．
考点：
圆锥的计算
；
勾股定理
；
相切两圆的性质．
分析：
（
1
）利用圆锥底面圆的周长等于展开图的扇形弧长 求出圆心角即可；
（
2
）利用扇形的圆心角为
180
°， 圆锥母线长为
20
厘米，所以这个扇形的半径为
20
厘米的半圆，结合⊙O
1
，⊙
O
2
，⊙
O
3
两两外切，由 两圆外切的性质得出和勾股定理求出
O
3
E
的长，进而得出
EO3
=O
1
D
，以及矩形
布料的长至少应为
(20+20
3
)
厘米．
解答：
则
解：（
1
）设圆心角的度数为
n
°，
n
π
×20
180
=2
π
×
10
．（
3
分）
所以
n=180
．所以此圆锥形小红帽侧面展开图的圆心角度数为
180
°．（< br>5
分）
（
2
）因为扇形的圆心角为
18 0
°，圆锥母线长为
20
厘米，所以这个扇形的半径为
20
厘米的半 圆．
如图
1
所示，
当三个半圆所在圆两两外切，
且半圆的 直径与长方形的边垂直时，
能使布料得以充分利用．
（
10
分）
< br>如图
2
，连接
O
1
O
2
，
O
2
O
3
，
O
3
O
1
．
因为⊙
O
1
，⊙
O
2
，⊙
O
3
两两外切，
AO
1
=BO
2
=CO
3
=20
，
所以
O
1
O
2
=O
2
O< br>3
=O
3
O
1
=O
1
A+CO
3< br>=40
．
过点
O
3
作
O
3
E
⊥
O
1
O
2
，垂足为
E
．
因为
O
2
O
3
=O
1
O
3
，
所以
O
1
E=O
2
E=
1
2
O
1
O
2
=20
．
在△< br>O
1
EO
3
中，∠
O
1
EO
3=90
°，
根据勾股定理
EO
3
=
O
O
-O
E
1
2
3
2
1
=
40
-20
2
2
=20
3
．（
15
分）
因为四边形
ABCD
是矩形，
所以
AD
∥
BC
，
AD=BC
，∠
A=
∠
D=90
°．
因为
AO
1
=BO
2
，
AO
1∥
BO
2
，
所以四边形
ABO
2
O
1
是矩形．
所以∠
AO
1
O
2
=90
°．
所以
O
1
E
∥
DO
3
．
又因为
O
1
E=DO
3
，
所以四边形
O
1
EO
3
D
是平行四边形．
所以
EO
3
=O
1
D
．
所以
AD=AO
1
+O
1
D=20+20
3
．（
20
分）
因此矩形布料的长至少应为
(20+20
3
)
厘米．
点评：
此题主要考查了圆锥的有关计算以及 两圆外切的性质和勾股定理等知识，利用相切两圆性质得出
EO
3
=O
1D
的长是解题关键．
在对口扶贫活动中，企业甲将经营状 况良好的某消费品专卖店，以
5.8
万元的优惠价转让给了尚有
5
万元
无息贷款还没有偿还的小型残疾人企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月
最低生活费的开支
3600
元后，逐步偿还转让费（不计利息）．从企业甲提供的相关资料中 可知这种消费品