最新北师大版七年级数学下册三角形难题全解
巡山小妖精
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2021年01月30日 19:22
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来源：
2011-2012
学年广东省汕头市潮南区中考 模拟考试数学卷（解析版）
考点：
三角形
如图 ，已知，等腰
Rt△OAB
中，∠AOB=90
o
，等腰
Rt△EO F
中，∠EOF=90
o
，连结
AE
、
BF
．
求证：（
1
）
AE=BF
；（
2
）AE⊥BF．
【答案】
见解析
【解析】解：（
1
）证明：在△
AEO
与△
BFO
中，
∵Rt△
OAB
与
Rt△
EOF
等腰直角三角形，
∴
AO=OB
，
OE=OF
，∠
AOE
=90ｏ
-
∠
BOE
=∠
BOF
，
∴△
AEO
≌△
BFO
，
∴
AE=BF
；
（
2
）
延长
AE
交
BF
于
D
，
交
OB
于
C
，
则∠
BCD
=∠
ACO
，
由（
1
）知：∠
OAC
=∠
OBF
，
∴∠
BDA
=∠
AOB
=90
ｏ
，
∴
AE
⊥
BF
．
（
1
）可以把 要证明相等的线段
AE
，
CF
放到△AEO，△BFO
中考虑全等的 条件，
由两个等腰直角三角形得
AO=BO
，
OE=OF
，再找夹角 相等，这两个夹角都是直角
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减去∠BOE
的结果，所以相等，由此可以证明△AEO≌△BFO；
（< br>2
）由（
1
）知：∠OAC=∠OBF，∴∠BDA=∠AOB=90°，由此 可以证明
AE⊥BF
来源：
2012-2013
学年吉林省八年级上期中考试数学试卷（解析版）
考点：
四边形
如图，在正方形
ABCD
中，
E
是
AD
的中点，
F
是
BA
延长线上的一点，
AF=
已知△ABE≌△ADF.
AB,
（1
）在图中，可以通过平移、翻折、旋转中哪一种方法，使△ABE
变到△ADF
的位置；
（
2
）线段
BE
与
DF
有什么 关系？证明你的结论
.
【答案】
（
1< br>）绕点
A
旋转
90°；（
2
）
BE=DF
， BE⊥DF．
【解析】本题考查的是旋转的性质，全等三角形的判断和性质
（
1
）根据旋转的概念得出；
（
2
）根据旋转的 性质得出△ABE≌△ADF，从而得出
BE=DF
，再根据正方形的性
质得出
BE⊥DF．
（
1
）图中是通过绕点
A
旋转
9 0°，使△ABE
变到△ADF
的位置．
（
2
）
BE=DF
，BE⊥DF；
延长
BE
交
DF
于
G
；
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由△ABE≌△ADF，得
BE=DF
，∠ABE=∠ADF；
又∠AEB=∠DEG；
∴∠DGB=∠DAB=90°；
∴BE⊥DF．
来源：
2012
年江苏省东台市七年级下学期期中考试数学试卷（解析版）
如图，
在△a
bc
中，
已知∠abc=30°，
点
d
在
bc
上，
点
e
在
ac
上，
∠ bad=∠ebc，
ad
交
be
于
f.
1.
求
的度数；
2.
若
eg
∥
ad
交
bc
于
g
，
eh
⊥
be
交
bc
于
h
，
求
∠
heg
的度数
.
【答案】
1.∠BFD=∠ABF+∠BAD （三角形外角等于两内角之和）
∵∠BAD=∠EBC，
∴∠BFD=∠ABF+∠EBC，
∴∠BFD=∠ABC=30°；
2.∵EG∥AD，∴∠BFD=∠BEG=30°（同位角相等）
∵EH⊥BE，
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∴∠HEB=90°，
∴∠HEG=∠HEB
-
∠BEG=90°
-
30°=60°．
【解析】
1.∠BFD
的度数可以利用角的等效替换转化为∠ABC
的大小，
2.
在直角三角形中，有平行线，利用同位角即可求解．
三角形强化训练和深化
☣
1
、如 图
a
是长方形纸带，∠
DEF=25
°，将纸带沿
EF
折叠 成图
b
，再沿
BF
折叠成图
c
，则图
c
中 的∠
CFE
的度数是
_________
°．
解
析：
由题
意可
知折
叠前，由
BC//AD
得：
∠
BFE=
∠DEF=25°将纸带沿
EF
折叠成图
b
后，
∠
GEF=
∠DEF=25°
所以图
b
中，∠< br>DGF=
∠
GEF+
∠BFE=25°+25°=50°
又在四边形
CDGF
中，∠
C=
∠D=90°
则由：∠
DGF+
∠GFC=180°
所以：∠GFC=180°－50°＝130°
将纸带再沿
BF
第二次折叠成图
C
后
∠
GFC
角度值保持不变
且此时：∠
GFC
＝∠
EFG+
∠
CFE
所以： ∠
CFE=
∠
GFC-
∠EFG=130°
-
25°=10 5
2
、
在
Rt
△
ABC
中，
∠
A
＝
90
°，
CE
是角平分线，
和高
AD
相交于
F
，
作
FG
∥
BC
交
AB
于
G
，
求证：
AE
＝
BG
．
解法
1
：
【解析】证明：∵∠
BAC=900
AD
⊥
BC
∴∠
1=
∠
B
∵
CE
是角平分线
∴∠
2
＝∠
3
∵∠
5
＝∠
1+
∠
2
∠
4
＝∠
3+
∠
B
∴∠
4
＝∠
5
∴
AE
＝
AF
过
F
作
FM
⊥
AC
并延长
MF
交
BC
于
N
∴
MN//AB
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∵
FG//BD
∴四边形
GBDF
为平行四边形
∴
GB=FN
∵
AD
⊥
BC,CE
为角平分线
∴
FD=FM
在
Rt
△
AMF
和
RtNDF
中
∴△
AMF
≌△
NDF
∴
AF
＝
FN
∴
AE
＝
BG
解法
2
：
解：作
EH
⊥
BC
于
H
，如图，
∵
E
是角平分线上的点，
EH
⊥
BC
，
EA
⊥
CA
，
∴
EA=EH
，
∵
AD
为
△
ABC
的高，
EC
平分∠ACD
，
∴∠
ADC=90°
，∠
ACE=
∠
ECB
，
∴∠
B=
∠
DAC
，
∵∠
AEC=
∠
B+
∠
ECB
，
∴∠
AEC=
∠
DAC+
∠
ECA=
∠
AFE< br>，
∴
AE=AF
，
∴
EG=AF
，
∵
FG
∥
BC
，
∴∠
AGF=
∠
B
，
∵在
△
AFG
和
△
EHB
中，
∠
GAF=
∠
BEH
∠
AGF=
∠
B
AF=EH
，∴△
AFG
≌△
EHB
（
AAS
）
∴
AG=EB
，
即
AE+EG=BG+GE
，
∴
AE=BG
．
3
、如图，等腰直角三角形< br>ABC
中，∠
ACB
＝
90
°，
AD
为腰< br>CB
上的中线，
CE
⊥
AD
交
AB
于
E
．求
证∠
CDA
＝∠
EDB
．
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解：作
CF
⊥
AB
于
F
，交
AD
于
G
，
如图，
∵△
ABC
为等腰直角三角形，
∴∠
ACF=
∠
BCF=45°
，即∠
ACG=45°
，∠
B=45°
，< br>
∵
CE
⊥
AD
，
∴∠
1+∠
ACE=
∠
2+
∠
ACE=90°
，
∴∠
1=
∠
2
，
在
△
AGC
和
△
CEB
中
∠
1=
∠
2
AC=CB
∠
ACG=
∠
CBE
，∴△
AGC
≌△
CEB
（
ASA
）
，
∴
CG=BE
，
∵
AD
为腰
CB
上的中线，
∴
CD=BD
，
在
△
CGD
和
△
BED
中
CG=BE
∠
GCD=
∠
B
CD=BD
，∴△
CGD
≌△
BED
（
SAS< br>）
，
∴∠
CDA=
∠
EDB
．
4
、如图，已知
AD
和
BC
相交于点
O
， 且
均为等边三角形，以
平行四边形
ODEB
，连结
AC
，< br>AE
和
CE
。
求证：
也是等边三角形
证明：∵△
OAB
和
△
OCD
为等边三角形，
∴
CD=OD
，< br>OB=AB
，∠
ADC=
∠
ABO=60°
．
∵四边形
ODEB
是平行四边形，
∴
OD=BE
，
OB=DE
，∠
CBE=
∠
EDO
．
∴
CD=BE
，
AB=DE
，∠
ABE=
∠
CDE
．
∴△
ABE
≌△
EDC
．
∴
AE=CE
，∠
AEB=
∠
ECD
．
∵
BE
∥
AD
，
∴∠
AEB=
∠
EAD
．
∴∠
EAD=
∠
ECD
．
在
△
AFE
和
△
CFD
中
又∵∠
AFE=
∠
CFD
，
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